圓形有界磁場“磁聚焦” 規(guī)律再探討

廖香林

(四川省蓬安縣周口中學(xué),四川 南充 637000)

圓形有界磁場模型在歷年高考試題和模擬題中反復(fù)出現(xiàn),其中有很多試題都考查到一個(gè)重要的物理規(guī)律“磁聚焦”,即速率相等的同種帶電粒子相互平行地射入圓形有界磁場后聚焦到圓上同一點(diǎn);或者從圓上同一點(diǎn)沿不同方向發(fā)射速率相等的同種帶電粒子最后相互平行射出磁場(如圖1).當(dāng)然要實(shí)現(xiàn)“磁聚焦”過程帶電粒子的速度需要滿足一定條件．該類考題多次出現(xiàn),為了再挖掘探究“聚焦”規(guī)律,我們把原完整圓形磁場挖去部分區(qū)域并以一半圓向上凸起形成如圖2所示的“月牙形”有界磁場,已知O點(diǎn)為半圓圓心,問:從O點(diǎn)沿不同方向發(fā)射進(jìn)入磁場的帶電粒子能否相互平行地射出?如能,其速度滿足什么條件?下面我們重點(diǎn)探究這一問題以及相關(guān)規(guī)律．

1 “磁聚焦”基本規(guī)律探討

為了方便，先簡要探析完整有界圓形磁場“磁聚焦” 的條件,如圖1所示從最低點(diǎn)沿不同方向發(fā)射的帶負(fù)電粒子水平平行射出左邊圓形邊界而后聚焦在右邊圓形邊界最低點(diǎn)．帶電粒子的入射速度滿足何種條件?

圖1

(1)

即滿足條件r0=r的帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于圓形邊界的半徑,需要注意的是帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由運(yùn)動(dòng)速度決定,因而(1)式更具有物理意義．

2 “磁聚焦” 規(guī)律再探討

圖2

現(xiàn)從半徑為r圓形磁場挖去一部分區(qū)域并向上凸起半圓形成“月牙形”有界磁場,如圖2所示,已知半圓半徑為r1,且0≤r1

解析:可以先假想一個(gè)帶電粒子從O點(diǎn)沿任意θ角方向發(fā)射最后水平向右射出,根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)以及幾何關(guān)系可以得到一個(gè)含有θ數(shù)學(xué)表達(dá)式,如果滿足合適的條件該表達(dá)式對于任意θ都成立,那么說明從O點(diǎn)以不同方向射入磁場的相同帶正電粒子能相互平行射出有界磁場,而該“合適的條件”將是“月牙形”有界磁場“磁聚焦”的幾何條件,最后再根據(jù)洛倫茲力提供向心力將幾何條件轉(zhuǎn)化為物理原理即速度滿足的條件．

圖3

r1cosθ+r2sinθ=rcosα.

(2)

(3)

由(2)、(3)兩式消去α并整理得到

(4)

整理得

0.

(5)

(6)

(7)

帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿足(7)式,則從O點(diǎn)以不同方向射入磁場的帶電粒子能水平平行射出有界磁場,因而(7)式是“月牙形”有界磁場“磁聚焦”的物理?xiàng)l件．

特別注意:回歸到基本的磁聚焦對應(yīng)的條件小圓半徑為0,即r1=0,聚焦點(diǎn)也由半圓的圓心蛻變?yōu)榇髨A的最低點(diǎn)．

根據(jù)圖1可以看出從最低點(diǎn)發(fā)射的能進(jìn)入磁場的所有帶電粒子均能水平平行射出,而對于圖3中的物理現(xiàn)象是否也遵循此規(guī)律?答案是否定的．如圖4所示．設(shè)有一與水平向左成β角發(fā)射粒子恰好過邊界最高點(diǎn)并向右射出．不難看出從小于β角射入磁場的帶電粒子將從磁場左邊界射出并不會(huì)水平向右平行射出.根據(jù)圖3的證明過程可以看出從大于等于β角射入磁場的帶電粒子將水平向右平行射出,因而要水平平行發(fā)射出去發(fā)射角度只能在一定范圍內(nèi),下面計(jì)算臨界角β.由幾何關(guān)系結(jié)合(6)式可得

圖4

總結(jié):物理規(guī)律教學(xué)是物理教學(xué)的核心組成部分.我們不僅要注重物理規(guī)律所涉及物理量之間的最為本質(zhì)的聯(lián)系,更要注重規(guī)律成立和適用的條件范圍,在教學(xué)中不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識規(guī)律本身也要培養(yǎng)學(xué)生再思考、再認(rèn)識、再探究物理規(guī)律的能力．如同本文把原本完整圓形有界磁場區(qū)域挖去部分區(qū)域形成“月牙形”有界磁場后,也能發(fā)生“磁聚焦”．只是滿足的條件和聚焦點(diǎn)不同而已,但后者包含前者因而其意義更為廣泛．

特別說明:本文所涉及的帶電粒子只考慮受洛倫茲力作用,不考慮其它力的作用．另外“磁聚焦”與“磁發(fā)散”互為逆過程,本文不做區(qū)別,為了方便描述統(tǒng)一都用“磁聚焦”．