二個(gè)常規(guī)問(wèn)題背后的新故事

晏鴻

人們對(duì)司空見(jiàn)慣的東西，常常感覺(jué)到天經(jīng)地義，對(duì)新的問(wèn)題卻無(wú)從理解，就像西方人習(xí)慣從左至右橫寫阿拉伯?dāng)?shù)字，而我們新疆的維吾爾族人卻習(xí)慣于從右到左橫寫;珠算的加法是從左到右，但小學(xué)的筆算加法卻是從右到左，看來(lái)有時(shí)從右到左研究問(wèn)題也有它的合理性，在我們的教學(xué)過(guò)程中就有這樣的事例.

一、常規(guī)問(wèn)題1

遠(yuǎn)在1799年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，在總結(jié)前人結(jié)論的基礎(chǔ)上，證明了代數(shù)基本定理：即n次方程必有n個(gè)根.對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的方程：x2=x大家都能準(zhǔn)確無(wú)誤地求出它的解來(lái)：x1=0，x2=1.

提出新問(wèn)題：隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們的思維在提醒我們，你所求的只是有窮解，那么方程x2=x有沒(méi)有無(wú)窮解呢？

解決方法：現(xiàn)在我們對(duì)方程x2=x的解從個(gè)位開(kāi)始進(jìn)行研究.要使x2=x，則x的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，5，6四個(gè)，現(xiàn)在考慮個(gè)位數(shù)字是5，6的十位數(shù)，只能是如下結(jié)果：x3=……25，x4=……6.

先求x3的百位數(shù)字k（k為0至9的自然數(shù)），

設(shè)x3=……k25，

則……k25=x3=x23=（……k）2×104+2×（……k）×102×25+252=……625，∴k=6.

接下來(lái)再令x3=……t625，

則……t625=x3=x23=（……t）2×106+2×（……t）×103×625+6252

=（……t）2×106+125×（……t）×104+390625

=……0625，

∴t=0.

以上步驟可以一步一個(gè)腳印地做下去，得到一個(gè)滿足x2=x的無(wú)限長(zhǎng)的“數(shù)”，從推導(dǎo)的過(guò)程容易看出，這個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的“數(shù)”等于（（52）2）2…….

求x4的過(guò)程稍微復(fù)雜一點(diǎn)，可令x4=……k6，

則……k6=x4=x24=（……k）2×102+2×（……k）×10×6+62

=（……k）2×102+120×（……k）+36

=（……k）2×102+（……k）×102+2·（……k）×10+36，

∴k=2k+3，0≤k≤3 或k=2k+3-10，4≤k≤9k=7，

∴x4=……76，又設(shè)x4=……k76，

則……k76=x4=x24=（……k）2×104+2·（……k）×102×76+762=（……k）2×104+15200×（……k）+5776，

∴2k+7=k+10，∴k=3，從而x4=……376，

依此類推得到x4=……7109376=（（62）2）2……，

它和x1=0=（（02）2）2……，x2=1=（（12）2）2……在形式上是統(tǒng)一的.

這說(shuō)明問(wèn)題是數(shù)學(xué)的基石，問(wèn)題推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展.

二、常規(guī)問(wèn)題2

如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形.同理對(duì)高中階段的圓錐曲線來(lái)說(shuō)，顯然圓是相似的，橢圓（或雙曲線）不是相似的.

提出新問(wèn)題：那么所有的拋物線都是否相似呢？

解決方法：對(duì)兩個(gè)不同的拋物線，當(dāng)我們對(duì)它經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)平移后總可使它們的頂點(diǎn)都移到坐標(biāo)原點(diǎn)，開(kāi)口都向上，使y軸成為它們的對(duì)稱軸（圖形如右），設(shè)兩拋物線方程為C1;y=a1x2和C2，y=a2x2，（a1≠a2，a1，a2∈R+）為定值.從原點(diǎn)O作射線y=kx交C1，C2于A，B兩點(diǎn)，可得Aka1，k2a1，Bka2，k2a2，∴|OA||OB|=k2a21+k4a21k2a22+k4a22=a2a1（為定值），

所以兩拋物線C1，C2相似.由a1，a2的任意性知所有拋物線均相似.

推廣：離心率相等的二次曲線都相似.

為什么拋物線會(huì)相似呢？是什么內(nèi)在的原因決定了它們的相似，也許你會(huì)聯(lián)想到，所有的圓確實(shí)都相似，但兩個(gè)橢圓或兩對(duì)雙曲線就不一定相似了.對(duì)圓我們可以看成橢圓逐漸變化形成的一種極端情形，即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合.這時(shí)半焦距c=0，離心率e=ca=0，也就是說(shuō)圓可以看成離心率為0的曲線.又拋物線的離心率恒為1.這兩種相似的曲線的離心率都是定值，于是我們可以得到一個(gè)猜想：離心率相等的二次曲線都相似.這一結(jié)論是否正確呢？這是需要進(jìn)行嚴(yán)格的研究證明的.為此可聯(lián)想到圓錐曲線的統(tǒng)一方程：ρ=ep1-ecosθ，對(duì)兩個(gè)離心率相同但焦參數(shù)不同的二次曲線C1：ρ=ep11-ecosθ和C2：ρ=ep21-ecosθ（其中p1，p2為非零常數(shù)且p1≠p2），過(guò)極點(diǎn)O作射線θ=θ0交C1于A，交C2于B，則|OA||OB|=ep11-ecosθ0ep21-ecosθ0=p1p2（為定值），這就說(shuō)明了離心率相等的二次曲線都相似.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不能只是關(guān)注問(wèn)題的解決，還要不斷地總結(jié)反思，提出高層次的新問(wèn)題，這樣才能幫助我們?cè)诮淌谥R(shí)的過(guò)程中去理解知識(shí)，在分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中去提升自己的思維空間，從根本上提高自己的創(chuàng)新應(yīng)用能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.