妙用幾何，簡(jiǎn)化函數(shù)值域求解

王秀玲

【摘要】作為函數(shù)三要素之一的函數(shù)值域，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在高考中，因其求解涉及的知識(shí)面廣、綜合性高、解題技巧強(qiáng)的特點(diǎn)，很多學(xué)生不能很好掌握.因此，本文就從函數(shù)圖像、幾何意義、直線截距三方面，通過例子講解如何妙用幾何知識(shí)，降低函數(shù)值域求解的難度.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)值域;圖像;幾何意義;截距

運(yùn)用代數(shù)方法可以研究幾何問題，與此同時(shí)，運(yùn)用幾何知識(shí)也可以解決代數(shù)問題.代數(shù)和幾何之間沒有十分明顯的界限，依據(jù)某些結(jié)構(gòu)特征，兩者可以相互轉(zhuǎn)化，并為相關(guān)的解題帶來便捷.本文就以運(yùn)用幾何知識(shí)求解函數(shù)值域?yàn)槔箶?shù)轉(zhuǎn)化為形，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的美.

一、函數(shù)圖像，點(diǎn)亮思路

函數(shù)圖像和性質(zhì)是不分你我，相輔相成，相互促進(jìn)的，借助圖像能夠很好地理解函數(shù)性質(zhì)，憑借函數(shù)性質(zhì)又能加深對(duì)函數(shù)圖像的掌握.在某些情形下，借助函數(shù)的圖像，可以使得問題簡(jiǎn)單化，明了化，例如，在求解函數(shù)值域的問題中，函數(shù)圖像畫出來了，相關(guān)的性質(zhì)也就一目了然，如：

例1 已知函數(shù)f（x）=max{sinx，cosx}，求其取值范圍.

解析 sinx，cosx是我們比較熟悉的函數(shù)，因此，很容易畫出相關(guān)的函數(shù)圖像，又函數(shù)f（x）是sinx，cosx兩個(gè)函數(shù)之間的較大值，而且f（x）的周期仍是2π，直接用文字?jǐn)⑹霰容^煩瑣，而且很容易出現(xiàn)遺漏，十分不嚴(yán)謹(jǐn)，因此，在同一坐標(biāo)系畫出一個(gè)周期內(nèi)兩函數(shù)圖像如圖1所示，觀察圖像，易得函數(shù)值域是-22，1.

圖1

反思 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，根據(jù)題目靈活運(yùn)用可以給解題帶來意想不到的效果.此外，對(duì)基本函數(shù)的圖像一定要熟記于心，保證在需要的時(shí)候能夠隨時(shí)調(diào)閱出來.

二、幾何意義，簡(jiǎn)化求解

對(duì)具有幾何意義的函數(shù)，在對(duì)此類函數(shù)值域求解的過程中，運(yùn)用其幾何意義，不僅可以幫助學(xué)生理解題目，更能促進(jìn)問題的解決，如，

例2 函數(shù)y=sinx-1cosx+1（0

解析 此題是基于三角函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)求值域問題，觀察函數(shù)y=sinx-1cosx+1的結(jié)構(gòu)，運(yùn)用幾何知識(shí)，很容易聯(lián)想到這是求動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）和定點(diǎn)（-1，1）這兩點(diǎn)斜率的取值.又0≤x≤π，

圖2

所以動(dòng)點(diǎn)是在單位圓x2+y2=1的上半部分.由圖2易得y≤0.所以函數(shù)的值域是（-∞，0].

反思 運(yùn)用幾何意義進(jìn)行函數(shù)值域的求解，需要學(xué)生仔細(xì)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，不斷將其與所學(xué)的幾何知識(shí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，快速尋找出符合函數(shù)結(jié)構(gòu)的知識(shí)，學(xué)生需要擁有扎實(shí)的基本知識(shí);函數(shù)值域的求解之法不是固定不變的，在具體運(yùn)用時(shí)可能會(huì)用到多種方法，可以多加練習(xí)，觸類旁通，發(fā)散自己的思維.

三、直線截距，關(guān)聯(lián)求解

點(diǎn)動(dòng)成線，在運(yùn)用幾何知識(shí)求解函數(shù)值域問題中，除了利用與點(diǎn)有關(guān)的知識(shí)外，還經(jīng)常會(huì)用到與直線關(guān)聯(lián)的知識(shí)，如構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離公式、構(gòu)造直線斜率的公式等知識(shí)求解函數(shù)值域，下面結(jié)合具體例子，感受一下直線截距對(duì)函數(shù)值域求解的便利之處，如

例3 求函數(shù)y=x-5-x的值域.

圖3

解析 觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，因其有根式，因此，引入?yún)?shù)μ，設(shè)μ=x，v=5-x，則原函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為μ-v=y，μ2+v2=5， μ≥0，v≥0，此時(shí)問題轉(zhuǎn)為直線與圓弧之間的位置關(guān)系，-y代表直線與v軸的截距，由圖3知-5≤y≤5.

反思 此題除了利用到直線截距的幾何知識(shí)外，還用到了設(shè)參數(shù)、圖像，對(duì)此學(xué)生可以多加留意;此題也可利用x與5-x的平方和為定值，利用換元法，將原函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域問題，再將三角函數(shù)式變形并簡(jiǎn)化，得出三角函數(shù)值域，進(jìn)而得到原函數(shù)值域.但是此種方法比較煩瑣，耗時(shí)耗力.

求函數(shù)值域的方法眾多，除了以上幾種方法，還有配方法、觀察法、反函數(shù)法等，每種方法都有自身的特點(diǎn)，可以基于題目選擇合適的方法，在具體求解過程中，每種方法也不是孤立的，在具體題目中靈活結(jié)合多種方法，確保耗時(shí)少、正確率高.