“特殊平行四邊形”的兩種開放題型解法剖析

趙萌

【摘要】本文主要是從兩種題型著手來研究“特殊平行四邊形”的.一種是給出結(jié)論探索條件的題型，另一種是已知條件來探索結(jié)論的題型.這兩種題型具有開放性，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形等之間的判定關(guān)系，是中考?？碱}型，學(xué)生必須熟練掌握.

【關(guān)鍵詞】特殊平行四邊形;判定;開放題型

一、中考分析

平行四邊形及特殊的平行四邊形是中考的重點(diǎn)之一，在中考中出題的頻率較高，命題形式靈活多樣，難度以中檔為主，熱點(diǎn)較多.而有關(guān)特殊的平行四邊形的開放探索題也成為近幾年的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題.

二、題型探討

（一）已知結(jié)論，探索條件

例1 （河南）如圖1所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MN，AN.

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形;（2）填空：① 當(dāng)M的值為時(shí)，四邊形AMDN是矩形;② 當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是菱形.

證 （1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠NDE=∠MAE.

又∵E是AD的中點(diǎn)，∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形.

（2）①解析：如圖2所示，若四邊形AMDN是矩形，則在Rt△AMD中，∠DAM=60°，∴AD=2AM.

又∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，

∴AM=1，∴當(dāng)AM的值為1時(shí)，四邊形AMDN是矩形.

②解析：如圖3所示，若四邊形AMDN是菱形，

則AM=DB.

又∵AB=AD=2，

∴AM=AB=2，

∴當(dāng)AM=2時(shí)，四邊形AMDN是菱形.

解法剖析 本題是給出問題的結(jié)論，分析探索使結(jié)論成立具備的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不是唯一的，這樣的問題是條件開放性問題，解這類題的時(shí)候，要善于從問題的結(jié)論出發(fā)，假設(shè)結(jié)論成立，以結(jié)論為條件，逆向推導(dǎo)，多途尋求解法.在本例中的第二問，先畫出結(jié)論要求的矩形，再將矩形看成條件，根據(jù)矩形的角為直角和已知條件，構(gòu)造直角三角形，解出AM的長.同理，當(dāng)AMDN為菱形時(shí)，將結(jié)論菱形轉(zhuǎn)換成條件，逆向推出AM的長.

（二）已知條件，探索結(jié)論

例2 （安順中考）如圖4所示，已知點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于F.

（1）求證：AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由.

解 （1）∵AE∥DF，DE∥AF，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形.

理由：∵四邊形AEDF平行四邊形，∴∠EAD=∠ADF.

又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAF，

∴∠DAF=∠ADF，∴AF=DF，

∴平行四邊形AEDF是菱形.

解法剖析 給定問題的條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符號(hào)條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要解題過程中學(xué)生進(jìn)行推斷，甚至要求條件在變化中的結(jié)論，這些問題都是開放性問題，解這類問題要充分利用條件進(jìn)行大膽合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論.

變式 在例2的第（2）問中，若將“AD平分∠BAC”改為“∠BAC=90°”，則四邊形AEDF形狀如何呢？

解 矩形.理由：若∠BAC=90°，由（1）知四邊形AEDF是平行四邊形.

則四邊形AEDF是矩形.

解法剖析 在變式中，當(dāng)要求在變化時(shí)，結(jié)論也在變化，由菱形變?yōu)榱司匦?

因此，上述的兩種開放題型都必須熟練掌握四邊形判定之間的關(guān)系.

【參考文獻(xiàn)】

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