例談幾類抽象函數(shù)問題解題策略

張才

【摘要】本文主要是通過舉例說明幾個抽象函數(shù)關于奇偶性、單調(diào)性、對稱性及周期性問題的解題策略.

【關鍵詞】奇偶性;抽象函數(shù);解題

一、抽象函數(shù)中的奇偶性

一般地，如果對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），則稱f（x）為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)或偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關于原點對稱;偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱.

例1 （1）已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），判斷f（x）的奇偶性.

（2）已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（-1）=0，判斷f（x）的奇偶性.

（3）已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足fxy=f（x）-f（y），f（-1）=0，判斷f（x）的奇偶性.

（4）已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（0）≠0，判斷f（x）的奇偶性.

解 （1）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）;

再令y=x=0，得f（0）=0;

即0=f（x）+f（-x），f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函數(shù).

（2）令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù).

（3）令y=-1，得f（-x）=f（x）-f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù).

（4）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），

再令x=y=0，可得f（0）=1，∴f（x）是偶函數(shù).

點評 解決此類問題時，只要根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，并應用賦值法（因x，y是任意實數(shù)），就不難解決.

二、抽象函數(shù)中的周期

一般地，對函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù).非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期.

常見結(jié)論：

（1）f（x+a）=f（x），則T=a（a是非零常數(shù)）.

（2）f（x+a）=-f（x），則T=2a（a是非零常數(shù)）.

（3）f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），則T=10.

例2 已知f（x）為偶函數(shù)，其圖像關于x=a（a≠0）對稱，求證f（x）是一個以2a為周期的周期函數(shù).

證明 ∵函數(shù)f（x）的圖像關于x=a（a≠0）對稱，

∴f（x+2a）=f（-x）;

又∵f（x）為偶函數(shù)，

∴f（x+2a）=f（x），即T=2a.

例3 設f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+3）=-f（x），求f（2004）的值.

解 ∵f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=f（x+3+3）=-f（x+3）=f（x），

即周期T=6.

又f（x）是R上的奇函數(shù)，有f（0）=0，

從而f（2004）=f（6×334）=f（0）=0.

點評 解決本題的關鍵是：首先，由f（x+3）=-f（x），可得6是該函數(shù)的一個周期;其次，若奇函數(shù)f（x）在x=0處有定義，則必有f（0）=0.

三、抽象函數(shù)中的單調(diào)性

一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對屬于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2），都有f（x1）f（x2）），那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

例3 定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足條件：（1）f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R;（2）當x>0時，f（x）<0，且f（1）=-2.求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值.

解 由（1）可知f（x）是奇函數(shù);又因x1>x2>0時，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0，所以f（x）是R上的減函數(shù).因而，易得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值分別是6和-6.

例4 已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞]上是增函數(shù)，解不等式f（x-1）>f（1-2x）.

解 （1）當x≤12時，x-1<0，1-2x≥0，由于f（x-1）=f（1-x），故原不等式即為f（1-x）>f（1-2x），再由f（x）在[0，+∞]上遞增，得1-x>1-2x，即0

（2）當12

（3）當x>1時，x-1>0，1-2x<0，由f（x-1）>f（1-2x）=f（2x-1），得x-1>2x-1，即x<0這與x>1矛盾.

綜合（1）（2）（3）得原不等式的解為0

點評 可見例3中判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性是關鍵;例4中解不等式f（x-1）>f（1-2x），必須設法去掉符號“f”，而去掉符號“f”只能依據(jù)f（x）的單調(diào)性.當然，也可考慮運用特殊化的思想方法，即用一個滿足條件的具體函數(shù)，代替抽象函數(shù)，使問題迎刃而解.這種特殊化方法在解客觀題時優(yōu)勢特別明顯.

四、抽象函數(shù)中的對稱性

對稱問題：

（1）點關于點對稱：點（x，y）關于點（a，b）對稱的坐標為（2a-x，2b-y）.

（2）直線關于點對稱.

（3）曲線關于點對稱：曲線f（x，y）=0關于點（a，b）對稱的曲線f（2a-x，2b-y）=0.

（4）點關于直線對稱.

（5）直線關于直線對稱.

（6）常見對稱：f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）關于y軸對稱;f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）關于原點（0，0）對稱;f（a-x）=f（a+x），即函數(shù)f（x）關于直線x=a對稱;f（a-x）=-f（a+x），即函數(shù)f（x）關于點（a，0）對稱.

例5 已知f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），x，y∈R.

（1）如f（5）=9，求f（-5）.

（2）已知當x∈[2，7]時，f（x）=（x-2）2;求當x∈[16，20]時，函數(shù)f（x）的表達式.

解 （1）方法一：∵f（x+2）=f（2-x），

即f（x）=f（4-x）=f（7-3-x）=f（3+x+7）=f（x+10），T=10，

∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9;

方法二：f（-5）=f（2-7）=f（7+2）=f（9）=f（2+7）=f（7-2）=f（5）=9.

（2）由題意知，函數(shù)f（x）關于直線x=2，x=7對稱，且周期T=10.

當x∈[16，17]時，f（x）=（x-12）2;

當x∈（17，20）時，f（x）=（x-22）2.

總之，在解決抽象函數(shù)問題時，往往不是去考慮如何求這個函數(shù)的表達式，而是應設法利用這個函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性等去把問題解決，倘若能利用數(shù)形結(jié)合的方法（如例3、例5），則抽象問題又會變得更加具體形象，更有利于問題的解決.

【參考文獻】

[1]陳睿.關于抽象函數(shù)的一點思考[J].考試周刊，2008（15）：70.

[2]邢菊義.抽象函數(shù)問題背景函數(shù)引導法[J].數(shù)學教學研究，2008（1）：39-41.