圓冪定理所蘊含的數(shù)學思想

王歡歡

【摘要】數(shù)學思想在教學過程中的滲透有利于鍛煉學生的邏輯思維與創(chuàng)造性思維.圓冪定理揭示了過同一點的弦，切線及割線之間存在的比例關(guān)系.本文主要探討圓冪定理在中學平面幾何運用中的三類數(shù)學思想，旨在對圓冪定理的教學提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】圓冪定理;數(shù)學思想;統(tǒng)一性

數(shù)學思想是對數(shù)學知識、理論、方法和規(guī)律性的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復(fù)運用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學和運用數(shù)學解決問題的指導(dǎo)思想.常見的數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、極限思想等.

圓冪定理是相交弦定理、切割線定理、割線定理及推論的統(tǒng)稱，其中相交弦定理與割線定理被歐幾里得編入了《幾何原本》（第三篇的第35個命題和第36個命題）.這三個定理可以統(tǒng)一地表示為：過一定點P向圓O作任一直線交圓O于兩點，定點P到兩交點的距離之積為定值PA·PB=|OP²·r²|（|OP²·r²|），即如下圖所示.

圓冪定理不僅在初中解平面幾何題中有所涉及，在人教A版高中數(shù)學教材選修4-1第一章第三節(jié)對圓冪定理也有詳細的介紹，是幾何中的重要定理，因此，對圓冪定理的研究有很多.參考文獻[1]-[3]從圓冪定理的應(yīng)用角度探討圓冪定理;參考文獻[4]-[6]從圓冪定理的推廣角度研究圓冪定理;參考文獻[7]-[9]從教學設(shè)計角度研究圓冪定理.本文主要從數(shù)學思想方面探究圓冪定理，總結(jié)了圓冪定理在定理所蘊含的幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，幾何中的運動變化思想，數(shù)學的統(tǒng)一思想三類數(shù)學思想，并由此提出了一些教學建議.

一、幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的思想

圓冪定理描述了滿足特定位置關(guān)系情況下的線段之間的數(shù)量關(guān)系，實質(zhì)上就是把線段之間的長度關(guān)系用代數(shù)上的比例關(guān)系表達，因此，圓冪定理本身就可以看成是幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)換.在幾何證明過程中，恰當?shù)剡\用圓冪定理可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而簡潔地解答幾何問題.例如，運用圓冪定理求線段的長可以利用比例關(guān)系設(shè)出方程，解答方程得到未知線段的長.運用圓冪定理證明線段的長相等可以利用線段之間的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化來證明.雖然學生在學習及應(yīng)用圓冪定理過程中能夠明確感受到將一個復(fù)雜的幾何問題，有時把它轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)問題會更好地解決，但這僅僅是學生的一種數(shù)感，需要教師在教學過程中不僅滲透這種幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)換的思想，還要對這種方法進行總結(jié)，以便學生在遇到幾何問題時不僅僅局限于聯(lián)想幾何方面的知識，還能有將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的思維.

二、幾何中的運動變化思想

在圓冪定理中，將弦內(nèi)分（或外分）成兩條線段的定點的位置是任意的，可以在圓內(nèi)、圓上、圓外.因此，可以把它看成一個“動點”.當這個“動點”運動到圓內(nèi)時，出現(xiàn)相交弦定理;當“動點”運動到圓外時出現(xiàn)割線定理，而這時將其中一條割線視為“動直線”變換到切線位置時就會出現(xiàn)切割線定理.在上述基礎(chǔ)上，保持切線和“動點”的位置不變，將割線繞“動點”旋轉(zhuǎn)使它經(jīng)過圓心.設(shè)“動點”P（P在圓外）與圓心O的距離為d，圓的半徑為r，切點為A.根據(jù)切割線定理可以得PA²=（d+r）（d-r）=d²-r².這就把三個定理寫成了圓冪定理的統(tǒng)一的形式.教師通過這種運動變化的思想來設(shè)計教學過程，不僅能使學生清楚明了地看到三個定理間的關(guān)系，而且還能加深學生對圓冪定理統(tǒng)一形式的理解.更重要的是讓學生體會到幾何中的許多問題都來自同一模型，雖然圖形中的某些要素的位置關(guān)系不同，但本質(zhì)是相同的，培養(yǎng)學生的辯證思維能力.

三、數(shù)學的統(tǒng)一性

（一）定理形式的統(tǒng)一性

相交弦定理、切割線定理、割線定理都能夠統(tǒng)一成一種形式，即過一定點P向圓O作任一直線交圓O于兩點，定點P到兩交點的距離之積為定值（該點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對值）.

（二）證明結(jié)果的統(tǒng)一性

歐幾里得在《幾何原本》中運用了等面積法證明相交弦定理和割線定理，在高中數(shù)學選修4-1中運用了相似三角形來證明圓冪定理，還有人用極坐標來證明圓冪定理.雖然證明方法不同，但是，最后得到了相同的結(jié)論，反映了證明結(jié)果的統(tǒng)一性.

定理形式的統(tǒng)一方便學生對公式的記憶，證明結(jié)果的統(tǒng)一讓學生感受到數(shù)學“殊途同歸”的魔力.教師在教學過程中應(yīng)帶領(lǐng)學生一起鑒賞數(shù)學的統(tǒng)一美與簡潔美，感受數(shù)學的魅力，增加學生對學習數(shù)學的興趣.

在圓冪定理的教學設(shè)計中，教師滲透幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)換的思想，運動變化思想，并引領(lǐng)學生鑒賞數(shù)學的統(tǒng)一美，筆者認為會取得好的效果.

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