利用拉普拉斯定理計(jì)算行列式

馬佳奇

【摘要】拉普拉斯定理是行列式按行按列展開(kāi)定理的推廣，可用于簡(jiǎn)潔快速地解決某些高階行列式的計(jì)算和證明.本文首先介紹了拉普拉斯定理的內(nèi)容，然后介紹了拉普拉斯定理在證明分塊矩陣乘法方面的應(yīng)用，最后利用拉普拉斯定理計(jì)算某些高階的行列式.

【關(guān)鍵詞】行列式;拉普拉斯;子式;代數(shù)余子式

高等代數(shù)在行列式這一章中介紹了行列式按行（列）展開(kāi)定理和拉普拉斯定理，前者每次展開(kāi)只能降低一階，對(duì)計(jì)算某些高階行列式而言使用效果不佳;而拉普拉斯定理降階速度快，對(duì)計(jì)算某些高階行列式來(lái)說(shuō)十分方便，所以為了推廣這種方法，本文歸納了拉普拉斯定理，并給出了該定理在行列式計(jì)算中的應(yīng)用.

一、拉普拉斯定理

（一）拉普拉斯定理

定理1[1] 設(shè)在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）行，由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式為M1，M2，…，Mt（t=Ckn），它所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為A1，A2，…，Ai，則D=M1A1+M2A2+…+MtAi=∑ti=1MiAi.

（二）拉普拉斯定理求行列式的兩個(gè)重要結(jié)論

定理2[2] （1）m+n階行列式

Am×m0Bn×mCn×n=|An×m||Cn×n|;

（2）m+n階行列式

0Am×mCn×nBn×m=（-1）mn|Am×m||Cn×n|.

（二）拉普拉斯定理的應(yīng)用

1.利用拉普拉斯定理證明相關(guān)命題

定理3[3] 設(shè)A，B是n階方陣，則|AB|=|A||B|.

定理4 A10000A200000000As=|A1||A2|…|As|，其中Ai是ni階方陣，i=1，2，…，s.

定理4由定理2易得.

2.利用拉普拉斯定理計(jì)算行列式

例1 計(jì)算行列式D=a00b0cd00ef0g00h.

解 由于D的第一、四行中只有一個(gè)2階子式不為零，因此，取這兩行，然后根據(jù)拉普拉斯定理展開(kāi)得

D=abgh（-1）（1+4）+（1+4）cdef=acfh-adeh+bedg-bcgh.

例2 設(shè)A=34004-30000200022，求|A8|及A4.

解 若記AA100A2，其中A1=344-3，A2=2022，則A成為一個(gè)分塊對(duì)角矩陣.于是

|A8|=|A|8=（|A1||A2|）8=|A1|8|A2|8=1016;

A4=A4100A42.

因?yàn)?，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041.代入即得

A4=540000540000240002624 .

三、結(jié)束語(yǔ)

利用拉普拉斯定理對(duì)某些高階行列式計(jì)算和證明，可以對(duì)高階行列式更快地降階，并且簡(jiǎn)單易操作，因而，學(xué)習(xí)者應(yīng)重視拉普拉斯定理的學(xué)習(xí)應(yīng)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王文省.高等代數(shù)[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2004.

[2]朱亞茹，牛澤釗.談拉普拉斯定理及其應(yīng)用[J].科技信息，2009（31）：498-499.

[3]藍(lán)以中.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指南[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[4]肖馬成，周概容.線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明題500例解析[M].北京：高等教育出版社，2008.