溯本探尋下的“深潛”
——以《和與積的奇偶性》為例

侍行行 蘇州市楓橋中心小學(xué)

筆者將通過對《和與積的奇偶性》這一課題的剖析和研究。嘗試探尋知識本質(zhì)，從生活的角度，讓學(xué)生在剖析生活現(xiàn)象中，探尋自然數(shù)的有趣本質(zhì)與規(guī)律。

首先，讓我們一起來解讀課題：和，即兩個或多個（兩個以上）加數(shù)相加的結(jié)果；積，即兩個或多個（兩個以上）乘數(shù)相乘的結(jié)果；奇偶性，即一個數(shù)是奇數(shù)或者是偶數(shù)。所以《和與積的奇偶性》這節(jié)課的主要目的是通過觀察，猜想，舉例，驗證等的方法，體會數(shù)運算結(jié)果的奇偶性變化規(guī)律，并對其進行學(xué)習(xí)和探究。下面，是我想與大家一起分享的對這節(jié)課探尋本質(zhì)的些許教學(xué)思考。

一、觀察生活現(xiàn)象，回歸對數(shù)的本質(zhì)的思考和探尋

生活中常用到奇數(shù)與偶數(shù)（也即單數(shù)和雙數(shù)），那么奇數(shù)、偶數(shù)的本質(zhì)是什么呢？我相信它一定存在于我們生活中的某種現(xiàn)象——那個定義背后，最初的“兩兩配對”。

為什么是兩兩配對，而不是三三配對，四四配對等等，因為只有將一些事物進行兩兩配時才會出現(xiàn)并只出現(xiàn)兩種情況：完全配對和只余1的不能完全配對。本節(jié)課，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生從游戲入手。那既然是游戲，公平性是一項游戲最基本的規(guī)則?！耙粋€成人和一個3 歲的孩子玩抓黑豆的游戲，怎樣設(shè)定游戲規(guī)則是公平的？”學(xué)生思考的時候很投入，在討論交流后，我們確定“用奇數(shù)和偶數(shù)來作為比賽規(guī)則是最公平”。

追問中引導(dǎo)學(xué)生深入思考：對于一個不太會數(shù)數(shù)的孩子來來說，如果不數(shù)數(shù)，怎樣也能知道豆子個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？兩兩配對，因為只有2 種可能，一種是始終會剩下一顆黑豆無法配對，這種情況下黑豆數(shù)是奇數(shù)個；而能兩兩完全配對的情況下，黑豆數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個。因此，這樣的游戲規(guī)則排除了個體因素，只和黑豆個數(shù)的奇偶性有關(guān)。

通過游戲的表象，學(xué)生初次觸及奇數(shù)、偶數(shù)的本質(zhì)。即，奇數(shù)的本質(zhì)就是奇數(shù)本身兩兩不能完全配對，且總是余一；偶數(shù)能的本質(zhì)就是偶數(shù)本身能都兩兩完全配對，且沒有剩余。

二、體會生活中實際，感受奇偶性對生活的影響

為什么要討論這一問題——奇數(shù)和偶數(shù)的產(chǎn)生于社會生活和生產(chǎn)密切相關(guān)。用生活現(xiàn)象來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的熱情，基于對數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系的思考，我選取的角度是：生活中常見的比賽和選舉。

比賽中，參賽的人數(shù)有什么特點？參賽的人數(shù)可多可少，不是奇數(shù)就是偶數(shù)，可是不管一個隊的參賽人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，賽場上兩個隊參賽的總?cè)藬?shù)總有一個相同的特點。就是一定是兩隊總?cè)藬?shù)一定是偶數(shù)。即：奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)。那么對于兩個加數(shù)不同的情況是不是也可以驗證呢？（可以通過舉例，和推理來說明，這兩點都是成立的。）由生活的現(xiàn)象，探知這一規(guī)律，學(xué)生對奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)的規(guī)律，學(xué)生可以建立更加清晰的“兩兩配對”的表象。同時，筆者認為想要討論“對于兩個加數(shù)不同的情況上述結(jié)論是否還是成立？”可以從拆一個偶數(shù)開始，如果把一個偶數(shù)拆出1 個偶數(shù)，那另一部分必然是偶數(shù)，把一個偶數(shù)拆出1 個奇數(shù)，那另一部分必然是奇數(shù)，這也反向驗證了奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)的規(guī)律。

在舉例的環(huán)節(jié)中，可以詢問學(xué)生舉例可以舉得完嗎？是呀，舉也舉不完，那誰能用說一說為什么奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生從奇數(shù)和偶數(shù)的本質(zhì)上來說一說：因為奇數(shù)本身兩兩配對總是余1，兩個奇數(shù)都余下1，合到一起又可以配對，因此奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)本身可以兩兩完全配對，所以兩個偶數(shù)本身還是可以兩兩完全配對的，所以偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)。

第一次追問：兩隊上場參賽的隊員的總數(shù)可以是奇數(shù)嗎？學(xué)生一定知道是不可以的，因為隊員總數(shù)不能兩兩完全配對，那么總有一隊比另一隊至少多一人，所以不公平。

第二次追問：如果多一人的隊伍的人數(shù)是奇數(shù)個，那么少一人的隊人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？如果多一個隊的人數(shù)是偶數(shù)個，那么少一人的隊人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 在不斷的追問中，促使學(xué)生思考：奇數(shù)兩兩配對總余1，而偶數(shù)總能兩兩完全配對。對此，學(xué)生可以通過已經(jīng)建立的表象，挖掘出“奇數(shù)＋偶數(shù)=奇數(shù) 或 偶數(shù)＋奇數(shù)=奇數(shù)”的本質(zhì)。

如果在比賽中出現(xiàn)這種情況可不好，那是不是說總數(shù)是奇數(shù)就不好呢？不是的，在我們對某種新決策進行投票，對選舉新的班委等等表達自己同意或者不同意時，通常投票總數(shù)是奇數(shù)的情況會更好，因為不管怎么投票，總是不會出現(xiàn)平票的現(xiàn)象。學(xué)生可以通過百圓片來表達自己的想法，另一方一定是偶數(shù)，或者一方是偶數(shù)票，另一方一定是奇數(shù)票；最不濟的情況就是一方比另一方多1 票，或者少一票。為了保持總票數(shù)的奇數(shù)票，所以不管大小關(guān)系如何，如果一方票數(shù)是奇數(shù)，那么另一方一定是偶數(shù)。所以奇數(shù)加偶數(shù)和一定是奇數(shù)。

三、探尋奇偶性的復(fù)雜性，深化學(xué)生思維

在對生活現(xiàn)象的思考與交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)的和的奇偶性，那么多個數(shù)的和的奇偶性又具有什么特點？循序漸進的學(xué)習(xí)給學(xué)生帶來的除了扎實的基本功，還有有條理的思維。但是學(xué)生自主的探究和驗證依然離不開老師有效的指導(dǎo)和點撥。因此我從以下這個點入手：

接下來可以讓學(xué)生翻開數(shù)學(xué)書，打開至任意兩頁，你有什么發(fā)現(xiàn)？那么至少幾個連續(xù)自然數(shù)的和一定是偶數(shù)呢？這里我利用百數(shù)表，讓學(xué)生自己舉例驗證。最終發(fā)現(xiàn)至少3 個不行，因為如果是偶數(shù)開頭，偶數(shù)結(jié)尾，中間只有一個奇數(shù)，那結(jié)果一定是奇數(shù)；開頭是奇數(shù)時，結(jié)尾是奇數(shù)，有2 個奇數(shù)1 個偶數(shù)，和是偶數(shù)。所以，至少4 個連續(xù)自然數(shù)，開頭是奇數(shù)，結(jié)尾一定是偶數(shù)；開頭是偶數(shù)，結(jié)尾一定是奇數(shù)。奇數(shù)一直都是有2 個。

通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想和舉例發(fā)現(xiàn)不管有多少個偶數(shù)相加，它們的和依舊是偶數(shù)，但是奇數(shù)的個數(shù)的變化會導(dǎo)致和的奇偶性的變化。那奇數(shù)個數(shù)是怎樣影響和的奇偶性的呢？學(xué)生在百數(shù)表中自行選擇奇數(shù)，記錄選擇奇數(shù)的個數(shù)，計算的結(jié)果，形成表格。通過對記錄和計算結(jié)果的觀察，比較，分類初步判斷奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，和為偶數(shù)，奇數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個時，和為奇數(shù)。舉例后，可以追問學(xué)生為什么會這樣？（兩個奇數(shù)配對成一個偶數(shù)，如果最后有一個奇數(shù)落單，其他都變成偶數(shù)，那么偶數(shù)加奇數(shù)就是奇數(shù)，如果最后沒有奇數(shù)落單，都兩兩配對成偶數(shù)，那么和就是偶數(shù)）

最后可以出現(xiàn)變式題組練習(xí)。這一練習(xí)是為了讓學(xué)生打開學(xué)生的思維，由計算驗證到尋找規(guī)律的思維的過程中，學(xué)生學(xué)會觀察和比較，歸納總結(jié)。讓學(xué)生的思維不拘泥于線性思維，而是能發(fā)散為網(wǎng)狀思維，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)系，推理能力。當(dāng)學(xué)生最終要面對不是連續(xù)的自然數(shù)時，學(xué)生需要思考問題的本質(zhì)——真正決定和的奇偶性的，其實是加法算式中奇數(shù)的個數(shù)。這樣的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提升學(xué)生的思維品質(zhì)有不可忽視的益處。

通過對生活現(xiàn)象的觀察和思考，在猜想，舉例，推理，驗證等一系列的活動中，我們已經(jīng)尋得兩數(shù)相加和的奇偶性，與多個數(shù)相加和的奇偶性的規(guī)律。那么積的奇偶性呢？你打算怎么研究？ 問題的拋出，不是為了給學(xué)習(xí)畫上句號，而是為了讓學(xué)生的思維可以飛的更久一些。使學(xué)生更進一步地去思考：“減法和除法中差和商的奇偶性又是怎樣的？”

對本節(jié)課的思考鞭策著筆者對數(shù)學(xué)課堂的不斷思考，促使筆者在今后的教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維方法，數(shù)學(xué)的眼光以及用數(shù)學(xué)的眼光來觀察、 欣賞、思考生活中的數(shù)學(xué)“味道”。