W=Flcosθ適用范圍之探

劉永飛　李玉蘭　徐恒震

摘 ? 要：功的公式是定量研究功能關系的一個重要端口，但其適用范圍在實際教學中卻存在認知盲點。從大學力學的視角結合微積分對W=Flcosθ適用于曲線運動進行嚴密論證，并依托矢量運算對其在中學中的適用性進行推導，進而結合具體問題實例，從性質力與合力兩種恒力類型展開分析，并將論證結果置于中學情境中予以說明，以此對一線教師的教學、變式教育提供有價值的參考。

關鍵詞：物理教學;功的公式;適用范圍

中圖分類號：G633.7 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）29-0033-04

眾所周知W=Flcosθ是恒力下的直線運動功的表達式，也適用于重力及靜電力的做功問題，對后者在任意路徑下的求解，人們往往基于它們的保守力特征得出。經深度探究發(fā)現，其同樣適用于曲線運動，這不僅科學、適用于高中階段，還極富功能問題解決的價值。

一、W=Flcosθ適于曲線運動的論證

（一）大學力學視角的科學論證

展開矢量式，則W=Flcosθ，其中F表示力的大小，l表示位移的大小，θ表示力和位移矢量間的夾角，這與恒力在直線運動情況下所做功的公式完全相同。由此可見，只要物體受到恒力作用，無論其運動軌跡是直還是曲，均能直接應用W=Flcosθ進行求解。

二、W=Flcosθ在問題解決中的實用價值

功能教學在高中物理教學中占據舉足輕重的地位，功的計算更是定量研究能量問題的重要一環(huán)。作為其中一類重要的延伸知識，計算任意運動軌跡的物體所受恒力做功往往是難點。基于以上論證，我們認為在實際問題中運用此結論能實現速解、妙解相關問題，同時還能搭建發(fā)散思維和抽象思維的支架，以此提高學生解決問題的能力。

對沿任意運動軌跡運動的物體，只要其受恒力作用，W=Flcosθ皆可適用，下文就不同性質力與合力做功的求解，擇兩例具體闡釋。

（一）曲線運動下不同性質的恒力做功求解

因重力、恒定靜電力等兩種性質的力在高中屢見不鮮，所以其求解過程不再贅述。

案例1：如圖3為一簡易電梯模型，當電梯以速度v1做勻速向上運動時，電梯中有一學生以大小恒為F的推力，將一質量為m的箱子從電梯一側（初始空間位置，記為A點）推向另一側（末態(tài)空間位置，記為B點），水平方向上推出的距離為L，在此過程中電梯上升的高度為H。已知箱子與電梯間的摩擦系數為μ，求從A到B的過程中，箱子所受支持力和滑動摩擦力所做的功（當地重力加速度記為g）。

1.方法一：常規(guī)（即微元）法求解

經受力分析可得，箱子從A到B的過程中，受到支持力、滑動摩擦力、重力和推力四個力的作用。

（1）對支持力做功的求解

如圖4，類比教材中關于任意路徑下重力做功的推導，我們將運動路徑分成許多很短的間隔，則每段間隔皆可視為一段傾斜的直線。由于箱子在豎直方向上處于平衡狀態(tài)，所以FN=G，由此可知支持力在整個運動過程中為恒力。設每段小斜線的高度差分別為△h1，△h2，△h3，△h4…由公式WN=FNlcosθ，可得通過每段小斜線時支持力所做的功分別為FN△h1，FN△h2，FN△h3，FN△h4…;箱子通過整個路徑時支持力所做的功等于支持力在每小段上所做的功的代數和，即：

WN=FN△h1+FN△h2+FN△h3+FN△h4+…

WN=FN（△h1+△h2+△h3+△h4+…）

WN=FN△h=GH=mgH

（2）對滑動摩擦力做功的求解

根據滑動摩擦力的公式f滑=μFN可知，滑動摩擦力在整個運動過程中為恒力。應用與上述求解恒定支持力做功時同樣的方法，我們可以得到箱子通過整個路徑時滑動摩擦力所做的功：Wf滑=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL.

2.方法二：公式（也即W=Flcosθ）法求解

如圖5，分析可得，在整個運動過程中支持力和滑動摩擦力為恒力，因此可直接運用恒力功公式求解：

WN=FNlcosθ=FNH=GH=mgH（θ為支持力與位移之間的夾角）

Wf滑=f滑lcosθ=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL（θ為滑動摩擦力與位移之間的夾角）

3.價值分析

除了常見的重力和勻強電場中的靜電力等兩種性質的力之外，滑動摩擦力和彈力也可以在曲線運動中充當恒力角色。針對摩擦力與彈力這兩類不同性質的恒力做功的問題，并基于論證的結論來求解此案例，如此能夠巧妙規(guī)避“微元”思想的冗長演化，并搭建抽象思維的支架，使學生靈活轉換思維，以此訓練學生的敏捷性和深刻性。

（二）曲線運動下多力合成的恒定合力做功求解

案例2：如圖6所示，在豎直平面內有一場強為E的勻強電場，其方向與水平方向成α=30°斜向上，在電場中有一電荷量為q的帶點小球，用長為L的不可伸長的絕緣細線掛于O點，當小球靜止于M點時，細線恰好水平。現用外力將小球拉到最低點P，然后無初速度釋放，求小球從P到M的過程中，合外力對它做了多少功？

1.方法一：先求出各分力做功的值再取代數和求解

如圖7，分析可知拉力不做功。

3.價值分析

對于恒定合力，我們在求其做功問題時，若直接利用論證結論，則可規(guī)避“先求出各分力的做功值再取代數和”分步求解的復雜性，由此可實現復雜問題的速解、妙解。

三、對教學的啟示

“對W=Flcosθ適用于曲線運動的思考”擴寬了做功公式的適用范圍，為后期重力和靜電力沿任意曲線做功問題的教學提供了一條新思路，進而可以此簡化教師的教學過程，減輕學生的思維負擔。事實上，在實際教學中，這種巧妙創(chuàng)設探究性學習情境，以學生的“最近發(fā)展區(qū)”為依托，以“過程性變式教學”為抓手的教學，正是突破思維定勢的壁壘，構建深度學習的有效探索。

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程.力學[M].北京：高等教育出版社，2012：126～127.

[2]四川大學數學學院高等數學教研室編.高等數學第2冊[M].北京：高等教育出版社，2009：206～227.

[3]人民教育出版社課程教科書研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2007：63～64.