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    受限狀態(tài)下的高速列車迭代學(xué)習(xí)控制方法研究

    2019-11-29 07:47:58何之煜楊志杰呂旌陽
    鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計 2019年12期
    關(guān)鍵詞:有界列車運行控制算法

    何之煜,楊志杰,呂旌陽

    (1.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部,北京 100081; 2.中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司通信信號研究所,北京 100081; 3.北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,北京 100876)

    迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control, ILC)是在有限區(qū)間內(nèi)處理重復(fù)運行系統(tǒng)跟蹤控制問題最有效的方法之一,其特點是原理簡單、易于實現(xiàn)且對模型要求不高,是一種近乎無模型的前饋學(xué)習(xí)控制算法。自1978年日本學(xué)者Uchiyama提出迭代學(xué)習(xí)控制理論至今[1],國內(nèi)外專家學(xué)者對其做了大量的工作[2-5],逐步形成了具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述的控制理論體系。目前,對迭代學(xué)習(xí)控制的研究和應(yīng)用已遍及工業(yè)生產(chǎn)的方方面面,如工業(yè)機器人[6,7]、數(shù)控機床[8]、工業(yè)化學(xué)反應(yīng)堆[9]、注模機[10]、列車自動駕駛系統(tǒng)[11]和汽車防抱死系統(tǒng)[12]等。

    高速列車自動駕駛系統(tǒng)是一個具有高度重復(fù)性的控制系統(tǒng),具體表現(xiàn)為運行環(huán)境的重復(fù)性、運行計劃的重復(fù)性、運行目標(biāo)的重復(fù)性以及列車動力學(xué)模型的重復(fù)性。文獻(xiàn)[13]首次將ILC思想引入到列車自動駕駛系統(tǒng)中,文獻(xiàn)[14]研究了距離域反饋、迭代域前饋學(xué)習(xí)的列車自動駕駛控制方法,基于距離域建模,結(jié)合壓縮映射方法,控制列車逐漸逼近期望軌跡。文獻(xiàn)[15]提出預(yù)測迭代學(xué)習(xí)控制算法來處理系統(tǒng)輸入受限問題,實現(xiàn)對期望軌跡的精確跟蹤,但需要知道控制系統(tǒng)的精確模型。文獻(xiàn)[16]設(shè)計了一個動態(tài)建模的ILC算法,通過遞推最小二乘法辨識模型參數(shù),基于范數(shù)最優(yōu)理論,實現(xiàn)對跟蹤誤差關(guān)于2范數(shù)收斂,但沒有考慮系統(tǒng)初態(tài)和受限問題。

    系統(tǒng)受限問題普遍存在于現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)中,主要表現(xiàn)為輸入受限和狀態(tài)受限。目前,對于控制系統(tǒng)受限問題下的迭代學(xué)習(xí)控制研究已有了大量的研究成果,文獻(xiàn)[17]設(shè)計了一個雙環(huán)ILC控制器來解決系統(tǒng)輸入受限問題,ILC環(huán)1用來學(xué)習(xí)標(biāo)稱系統(tǒng)的控制器,ILC環(huán)2則用來擬合非線性控制輸入項,但是雙環(huán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且獨立工作。文獻(xiàn)[18]以受限狀態(tài)下的Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)為研究對象,在非周期性分布式擾動和邊界擾動作用下,建立了基于時間加權(quán)的Lyapunov-Krasovskii能量函數(shù),實現(xiàn)了跟蹤誤差沿迭代軸的漸進(jìn)收斂。文獻(xiàn)[19-20]將飽和函數(shù)sat(·)引入輸入受限控制系統(tǒng)的研究中。文獻(xiàn)[21]針對一個線性狀態(tài)受限的系統(tǒng),將迭代學(xué)習(xí)控制問題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)優(yōu)化問題,證明了算法的跟蹤誤差是關(guān)于2范數(shù)收斂的,但是沒有對非線性系統(tǒng)進(jìn)行深入研究。文獻(xiàn)[22]利用雙曲正切函數(shù)和飽和函數(shù)處理機械手控制系統(tǒng)輸入受限問題,實現(xiàn)跟蹤誤差隨迭代軸的漸進(jìn)收斂。

    與大多數(shù)工業(yè)控制系統(tǒng)相同,高速列車自動駕駛系統(tǒng)也是一個受限的控制系統(tǒng),主要體現(xiàn)為執(zhí)行器物理結(jié)構(gòu)對控制輸入的限制、線路的固定限速和臨時限速等。本文充分考慮上述限制因素,針對時變、非線性的高速列車自動駕駛控制系統(tǒng),提出一種受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法,建立類Lyapunov函數(shù)的復(fù)合能量函數(shù),對所設(shè)計的算法的收斂性進(jìn)行證明,通過計算機仿真驗證,證明了算法的有效性。

    1 問題描述

    為便于描述,通常將列車看作是一個剛性質(zhì)點,理想狀態(tài)下的列車動力學(xué)模型可以表示為

    (1)

    式中,i為系統(tǒng)迭代運行次數(shù);x1,i(t)為列車運行距離,m;x2,i(t)為列車運行速度,m/s;f(Xi,t)為列車運行的單位非線性阻力函數(shù),N/kg;b為系統(tǒng)的輸入增益,這里取列車的質(zhì)量的倒數(shù)1/M;ui(t)為列車的輸入牽引力/制動力,kN;fb(t)為列車的單位基本阻力,N/kg;fa(s)為線路上的單位附加阻力,包括坡道附加阻力fg、曲線附加阻力fc和隧道附加阻力ft,N/kg;a0,a1,a2分別為列車基本阻力函數(shù)的系數(shù)。

    列車在實際運行過程中會受到以下兩方面的限制。

    (1)輸入受限

    umin(t)≤ui(t)≤umax(t)

    (2)

    式中,umax(t),umin(t)分別為系統(tǒng)控制輸入的上、下界。

    (2)狀態(tài)受限

    xk,min(t)≤xk,i(t)≤xk,max(t)

    (3)

    式中,k為系統(tǒng)階數(shù),k=1,2;xk,max(t),xk,min(t)分別為系統(tǒng)狀態(tài)信息的上、下界。

    考慮系統(tǒng)受限情況,可以將式(1)改寫為

    (4)

    (5)

    本文的控制目標(biāo)是,對于給定的列車運行期望曲線xd,在式(2)、式(3)限制條件下,基于迭代學(xué)習(xí)控制理論,找到一個最優(yōu)的控制序列ui(t),使得當(dāng)i→∞時,系統(tǒng)能夠精確跟蹤期望曲線。

    為方便控制器設(shè)計,提出如下合理假設(shè)。

    假設(shè)1:列車在每次運行前滿足相同的初始條件,即

    Xi(0)=Xd(0), ?i∈Z*

    (6)

    假設(shè)2:存在一個最優(yōu)的控制序列ui(t),使得列車能夠在有限時間t∈[0,T]內(nèi)完全跟蹤上期望的軌跡曲線。

    為便于對下一節(jié)控制器收斂性的分析,這里給出關(guān)于飽和函數(shù)的性質(zhì)。

    (7)

    2 控制器設(shè)計

    在設(shè)計控制器之前,首先定義系統(tǒng)的跟蹤誤差ei(t)=xi(t)-xd(t),進(jìn)一步,系統(tǒng)在第i次迭代的擴展誤差可以表示為

    si(t)=c1e1,i+e2,i

    (8)

    定義系統(tǒng)第i次迭代的Lyapunov函數(shù)為

    (9)

    上式關(guān)于時間t求導(dǎo),可得

    (10)

    為滿足Lyapunov穩(wěn)定性要求,對于重復(fù)運行的列車自動駕駛系統(tǒng),基于迭代學(xué)習(xí)的思想,在受限情況下,設(shè)計如下控制器

    (11)

    時變的模型系數(shù)向量βi可以通過飽和函數(shù)和迭代學(xué)習(xí)的思想來實現(xiàn),表示為

    (12)

    3 收斂性分析

    針對高速列車自動駕駛系統(tǒng),給出所設(shè)計控制律的收斂性分析,下述定理是主要的結(jié)論。

    定理1:對于高速列車自動駕駛系統(tǒng)模型式(1)執(zhí)行重復(fù)運行任務(wù)時,應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)控制器,本文所設(shè)計的控制律和學(xué)習(xí)增益更新律具有以下的性質(zhì)。

    (L1)?t∈[0,T],當(dāng)?shù)螖?shù)i趨向于無窮時,跟蹤誤差向量ei(t)趨向于零。

    (L2)系統(tǒng)狀態(tài)信號ui(t),xi(t)均有界,且在任意時刻任意迭代次都能滿足約束條件(2)和(3)。

    證明 首先,構(gòu)造類Lyapunov的復(fù)合能量函數(shù)(為了表述清晰,會對函數(shù)的表達(dá)作一定的簡化)

    (13)

    式中,δβi為時變學(xué)習(xí)增益的估計誤差,δβi=β-βi。

    接下來,分別對定理1中的(L1)、(L2)部分進(jìn)行證明。

    (1)定理1中(L1)部分的證明

    首先,在迭代域?qū)?fù)合能量函數(shù)Ei(t)進(jìn)行差分,得到

    ΔEi(t)=Ei(t)-Ei-1(t)=

    (14)

    式中,Δδβi為δβi在迭代軸的差分,Δδβi=δβi-δβi-1。

    (βi-1-βi)dτ=

    (15)

    (16)

    成立。

    因此,利用上式可以將式(15)改寫為

    (17)

    對式(14)第一項,將控制律式(11)代入,可以得到

    (18)

    將上兩式代入到式(14)中,得

    (19)

    由于上式中兩項均具有正定性,因此式(19)成立,即能量函數(shù)沿迭代軸具有差分負(fù)定性。

    接下來,將對E0(t)的有界性進(jìn)行證明。令i=0,將式(13)重寫為

    (20)

    對上式關(guān)于時間t求導(dǎo),可得

    (21)

    考慮到?t∈[0,T],β-1=0,可以將上式改寫為

    (22)

    因此,可以得到

    (23)

    由于β為已知閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且有界,因此,必然存在一個已知上界D*,使得

    (24)

    那么,式(20)就可以表示為

    (25)

    根據(jù)復(fù)合能量函數(shù)Ei(t)的差分負(fù)定性,可以將第i次迭代學(xué)習(xí)的能量函數(shù)表示為

    (26)

    對上式兩端取極限

    (27)

    由于能量函數(shù)Ei(t)是正定的,且E0(t)在時域[0,T]上有界,所以根據(jù)級數(shù)收斂的條件,可以得知,當(dāng)?shù)螖?shù)i趨于無窮時,有

    (28)

    即列車運行的跟蹤誤差在迭代域上會逐漸收斂到零。

    (2)定理1中(L2)部分的證明

    由于能量函數(shù)Ei(t)的正定性,且E0(t)在時域[0,T]上是有界的,那么根據(jù)式(27),Ei(t)在時域[0,T]上也是有界的。另外,根據(jù)上述的級數(shù)收斂定理,當(dāng)?shù)螖?shù)i趨于無窮時,系統(tǒng)跟蹤誤差ei(t)也會收斂到零。根據(jù)學(xué)習(xí)增益更新律式(12),在飽和函數(shù)意義下,可以得出結(jié)論,時變的學(xué)習(xí)參數(shù)向量βi(t)同樣是有界的。

    此外,基于迭代學(xué)習(xí)控制的控制目標(biāo)可達(dá)性可以描述為存在一系列的控制輸入ud(t),使得系統(tǒng)可以完全跟蹤上期望運行曲線。那么,對于?t∈[0,T],系統(tǒng)狀態(tài)xd(t)是有界的。又由于系統(tǒng)實際的控制狀態(tài)可以描述為xi(t)=xd(t)+ei(t),根據(jù)ei(t)的有界性,可知,系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)也是有界的,由此可知,控制輸入ui(t)同樣是有界的。

    4 算例仿真

    以高速動車組某型車作為仿真對象,仿真線路長度為112.46 km,計劃運行時間為1 800 s。列車線路上受到的附加阻力如圖1所示,根據(jù)列車動力學(xué)模型和線路條件,求解出列車在區(qū)間的期望速度曲線和期望位移曲線,如圖2所示。通過Matlab仿真,將PID控制算法和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法,與本文提出的受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行比較,驗證算法在受限狀態(tài)下的有效性和收斂性。

    圖1 列車單位附加阻力

    圖2 列車運行期望速度和位移曲線

    (1)PID反饋控制算法

    工業(yè)上廣泛使用PID反饋控制器,控制律設(shè)計如下

    (29)

    式中,Kp為控制器的比例項系數(shù),取0.5;Ki為控制器的積分項系數(shù),取0.1;Kd為控制器的微分項系數(shù),取10。

    (2)D型迭代學(xué)習(xí)控制算法

    列車的初次迭代采用(1)的PID反饋控制器得到,從第2次開始,采用如下D型迭代學(xué)習(xí)控制器

    (30)

    式中,G為常學(xué)習(xí)增益,G=[g1,g2]T,取g1=1.5,g2=3。

    (3)本文提出的參數(shù)化迭代學(xué)習(xí)控制算法

    列車的初次迭代同樣采用(1)的PID反饋控制器,根據(jù)所提出的迭代學(xué)習(xí)控制律和參數(shù)更新律,設(shè)置c1=1,θi(0)=[0,0,0]T,參數(shù)向量θ(t)的上界定義為θmax(t)=[1,0.01,0.000 5]T,下界定義為θmax(t)=[0.01,0.001,0.000 05]T,參數(shù)更新增益矩陣γ=[0.01,0.000 4,0.000 000 4]T。

    圖3 PID控制跟蹤效果

    圖4 D型迭代學(xué)習(xí)控制跟蹤效果

    圖5 本文所提出的迭代學(xué)習(xí)控制跟蹤效果

    由圖3~圖5可以看出,當(dāng)列車進(jìn)行工況轉(zhuǎn)換時,PID反饋控制會產(chǎn)生較大的暫態(tài),導(dǎo)致列車運行偏離期望軌跡;而D型迭代學(xué)習(xí)控制器對期望曲線跟蹤的收斂速度較慢,且控制輸入會超過執(zhí)行器上界,不利于列車安全運行;而本文提出的受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法,通過飽和函數(shù)sat(·)的作用,保證列車運行控制輸入和狀態(tài)始終在允許范圍內(nèi),并且能夠較快地跟蹤上期望軌跡曲線。

    圖6 三種控制算法的距離跟蹤誤差對比

    圖7 3種控制算法的速度跟蹤誤差對比

    圖6和圖7給出了3種控制算法在距離和速度跟蹤誤差的對比圖,可以看出,PID算法由于沒有學(xué)習(xí)機制,無法隨著迭代次數(shù)提高距離和速度的跟蹤精度;D型迭代學(xué)習(xí)控制算法由于沒有對控制系統(tǒng)模型的學(xué)習(xí),因此跟蹤收斂速度較慢;而本文提出的迭代學(xué)習(xí)控制算法,可以很好的學(xué)習(xí)系統(tǒng)的重復(fù)性信息,達(dá)到較快的收斂速度和跟蹤精度。

    5 結(jié)論

    為分析在受限狀態(tài)下高速列車的跟蹤控制問題,首先建立了在受限狀態(tài)下的列車動力學(xué)模型,然后根據(jù)擴展誤差建立Lyapunov函數(shù),推導(dǎo)出基于迭代學(xué)習(xí)控制的控制律和參數(shù)更新律,并給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)收斂性分析,最后通過計算機仿真對所提出的算法進(jìn)行驗證,分析其對期望運行軌跡的跟蹤性能,主要結(jié)論如下。

    (1)飽和函數(shù)sat(·)可以有效限制列車自動駕駛系統(tǒng)執(zhí)行器的控制輸入過大問題,保證了系統(tǒng)的運行安全。

    (2)通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,驗證了所提出的控制律沿迭代軸可以達(dá)到漸進(jìn)收斂,證明了算法收斂性和穩(wěn)定性。

    (3)通過計算機仿真驗證以及與PID算法和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法對期望運行軌跡跟蹤性能的比較,證明所提出的算法具有較快的收斂速度和較高的跟蹤精度,且能夠保證控制輸入在允許的范圍內(nèi)。

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