基于傅里葉級(jí)數(shù)的防偽扭索曲線設(shè)計(jì)?

夏自由

（長(zhǎng)沙師范學(xué)院 長(zhǎng)沙 410100）

1 引言

扭索曲線是版紋防偽的基本要素。扭索曲線在防偽底紋制作上得到廣泛應(yīng)用。我國(guó)2005 年版、2015年版百元鈔票都采用了扭索曲線進(jìn)行防偽。

在版紋防偽設(shè)計(jì)軟件中，扭索曲線主要通過數(shù)學(xué)函數(shù)生成，以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為主。曲線光滑、對(duì)稱、美觀，常規(guī)圖形設(shè)計(jì)軟件無法繪制出來，具有一定的防偽性，同時(shí)可對(duì)正（余）弦函數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算，改變曲線的形狀，提升扭索曲線的防偽性能［1～4］。

2 傅里葉級(jí)數(shù)理論

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示，如式（1）所示［5～6］。

反過來，用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)可構(gòu)建周期函數(shù)，生成扭索曲線，曲線的波形為各單項(xiàng)函數(shù)的諧波之和［7～11］。

采用傅里葉級(jí)數(shù)公式建立的曲線光滑、美觀，而且具有一定的周期性，適合制作防偽扭索曲線。而且，曲線形狀隨傅里葉級(jí)數(shù)中單項(xiàng)函數(shù)的幅值變化而變化，曲線的防偽效果好，仿造者如沒有破解復(fù)合函數(shù)的參數(shù)，就無法仿制出曲線。因此，傅里葉級(jí)數(shù)公式適用于防偽扭索曲線設(shè)計(jì)［12～18］。

3 實(shí)驗(yàn)

采用傅里葉級(jí)數(shù)公式設(shè)計(jì)扭索曲線時(shí)，為了保證曲線的美觀度，需要按照一定的規(guī)律來構(gòu)建復(fù)合函數(shù)。本研究采用Cerber3.0 防偽版紋設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，探尋復(fù)合函數(shù)構(gòu)建中，諧波分量、級(jí)數(shù)對(duì)曲線形狀的影響。

Cerber3.0為俄羅斯開發(fā)的防偽版紋設(shè)計(jì)軟件，可基于圖形界面構(gòu)建二維傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)合函數(shù)。如圖1所示。

圖1 Cerber3.0中傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)建

諧波AB 表示Y 軸方向傅里葉級(jí)數(shù)的各單項(xiàng)函數(shù)的幅值，對(duì)應(yīng)式（2）。諧波CD 表示X軸方向傅里葉級(jí)數(shù)的各單項(xiàng)函數(shù)的幅值，對(duì)應(yīng)式（3）。

構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí)，諧波A、B、C、D 的值采取相對(duì)值方式，大小范圍為-10～10，級(jí)數(shù)n 的范圍為0～255 級(jí)。設(shè)置好復(fù)合函數(shù)的參數(shù)后，就可生成對(duì)應(yīng)的扭索曲線。

3.1 Y軸方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

Y 軸方向，基于公式（2）構(gòu)建復(fù)合函數(shù)，曲線的波形沿著Y軸方向進(jìn)行諧波變換。如圖2所示。

圖2 Y軸方向復(fù)合函數(shù)的曲線形狀

從圖3 中可以看出，當(dāng)級(jí)數(shù)為1 時(shí)，可生成正（余）弦曲線；當(dāng)級(jí)數(shù)為2 時(shí)，可生成雙頻干涉扭索曲線；隨著級(jí)數(shù)的增加，曲線的形狀變得復(fù)雜。

在實(shí)際應(yīng)用中，為了保持曲線的美觀，需要按照一定的原則設(shè)置n、A、B的值。有以下幾個(gè)原則：

1）級(jí)數(shù)n 決定一個(gè)周期內(nèi)Y 軸方向波峰的數(shù)量，最多波峰數(shù)量與n值相等。

2）調(diào)整A、B值，會(huì)改變曲線波峰、波谷的形狀、位置。

3）當(dāng)B 取值都為0 時(shí)，復(fù)合函數(shù)都是由余弦函數(shù)構(gòu)成，形成的函數(shù)曲線具有左右對(duì)稱性。如圖3所示。

圖3 B=0，復(fù)合函數(shù)的曲線左右對(duì)稱

3.2 X軸方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

X 軸方向，基于式（3）構(gòu)建復(fù)合函數(shù)，曲線的波形沿著X軸方向進(jìn)行諧波變換。如圖4所示。

圖4 X軸方向復(fù)合函數(shù)調(diào)整曲線形狀

從圖4 中可以看出，調(diào)整C、D 值，曲線波形出現(xiàn)傾斜、交錯(cuò)的效果。在實(shí)際應(yīng)用中，為了保持曲線的美觀，需要按照一定的原則設(shè)置n、C、D 的值。有以下幾個(gè)原則：

1）級(jí)數(shù)n 決定一個(gè)周期內(nèi)X 軸方向波峰的數(shù)量，最多波峰數(shù)量與n 值相等。另外，如果曲線形成交錯(cuò)效果時(shí)，最多的交錯(cuò)次數(shù)也與n值相等。

2）調(diào)整C、D 值，曲線在X 軸方向進(jìn)行諧波變換，即曲線沿著X軸方向出現(xiàn)傾斜或變形。

3）當(dāng)D 取值為0 時(shí)，式（3）中的復(fù)合函數(shù)都是由余弦函數(shù)構(gòu)成，形成的波形曲線具有上下旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。如圖5所示。

圖5 D=0，復(fù)合函數(shù)的曲線上下旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

3.3 二維方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

在X軸、Y軸方向同時(shí)構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí)，曲線在X軸方向、Y軸方向同時(shí)進(jìn)行諧波變換，形狀變得復(fù)雜。如圖6所示。

4 結(jié)果分析

根據(jù)以上分析，利用傅里葉級(jí)數(shù)公式，可以復(fù)合出復(fù)雜的三角函數(shù)，對(duì)應(yīng)的扭索曲線復(fù)雜，仿制難度非常大，同時(shí)又具有周期性，適合用于防偽底紋的制作。但設(shè)計(jì)制作防偽底紋時(shí)，還需要考慮底紋的美觀因素，因此并不是任意復(fù)合函數(shù)都適用于扭索曲線的設(shè)計(jì)。綜合考慮，利用傅里葉級(jí)數(shù)公式制作扭索曲線時(shí)，以下設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)值得借鑒。

圖6 二維方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)形成的曲線

1）構(gòu)建的復(fù)合函數(shù)時(shí)，使用的級(jí)數(shù)越多，生成曲線越復(fù)雜，防偽效果越好，但級(jí)數(shù)增加，一方面會(huì)增加計(jì)算的時(shí)間，軟件處理速度變慢，另一方面，值越大，調(diào)整意圖具有盲目性，效果也無法控制，導(dǎo)致曲線形狀過于復(fù)雜，影響版紋的美觀度。當(dāng)Y 軸方向達(dá)到4 級(jí)，X 軸方向達(dá)到2 級(jí)時(shí)，曲線被反向分解破解的難度已經(jīng)較大，生成的曲線較為美觀。

2）構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí)，諧波B、D 的值設(shè)置為0，只調(diào)整A 值、C 值，扭索曲線具有對(duì)稱性，制作的底紋美觀度高。

3）利用傅里葉級(jí)數(shù)公式建立的復(fù)合函數(shù)，曲線形狀各異，但并不是所有的曲線都適用于制作防偽版紋，因?yàn)檫€要考慮版紋的美觀性。生產(chǎn)應(yīng)用中，可以通過實(shí)驗(yàn)選擇適合的復(fù)合函數(shù)來制作扭索曲線。圖7為復(fù)合函數(shù)曲線制作的防偽底紋效果。

圖7 復(fù)合函數(shù)曲線及底紋填充效果

5 結(jié)語(yǔ)

利用傅里葉級(jí)數(shù)公式設(shè)計(jì)防偽扭索曲線時(shí)，需要把防偽性能與美觀度結(jié)合起來。復(fù)合函數(shù)的參數(shù)簡(jiǎn)單，造假者容易破解參數(shù)，仿制出版紋；復(fù)合函數(shù)參數(shù)復(fù)雜，曲線形狀變得復(fù)雜，版紋的美觀度降低。因此，設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮，平衡處理。