Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的逼近性質(zhì)

任美英

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

自1997年P(guān)hillips[1]引進(jìn)q-Bernstein算子以來，基于q-整數(shù)概念的q-微積分在逼近論中的應(yīng)用引起了人們的極大關(guān)注，成為了逼近論方向的一個(gè)研究熱點(diǎn)，很多這方面的專家學(xué)者致力于該領(lǐng)域的研究，得到了許多重要的結(jié)論，如文獻(xiàn)[1-6]。2012年，任美英[7]基于q-整數(shù)概念引進(jìn)并研究了如下q-Bernstein-Durrmeyer型算子：

基于上述q-Bernstein-Durrmeyer型算子，引進(jìn)一類Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子，并研究該算子列的若干逼近性質(zhì)。

首先，我們介紹來自q-微積分理論[8-9]的若干q-整數(shù)概念和記號(hào)。

讓q＞0，對非負(fù)整數(shù)k，q-整數(shù)[k]q和q-階乘[k]q！分別定義為：

讓q＞0，對非負(fù)整數(shù)n，k，n≥k，q-二項(xiàng)式系數(shù)定義為：

讓q＞0，對非負(fù)整數(shù)n，（x-a）n的q-模擬定義為：

構(gòu)造Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子如下：

其中f，x,n,q,Q,pn,k（q；x）,如上（1）式所述，α，β是兩個(gè)實(shí)參數(shù)，且滿足0≤α≤β。

注1：α=β=0時(shí)，（2）式退化為（1）式。

注2：正常數(shù)C與f,n,x,q無關(guān)，出現(xiàn)的地方不同，表示的數(shù)值可能不同；若f∈C[0,1],記

1 幾個(gè)引理

為了研究的需要，引入幾個(gè)輔助結(jié)論。

證明由（1）、（2）式知，對非負(fù)整數(shù)m，有，因此，由引理1.1可知，所述的結(jié)論正確。

從而根據(jù)[n]q=1+q[n-1]q和引理1.2，并注意到x∈[0，1]，易得所述結(jié)論。

引理1.5[10]若f∈C[0，1]，則K2（f，δ）≤Cω2（f；，其中C是一個(gè)正常數(shù)。

2 主要結(jié)論

從而，結(jié)合引理1.3，有

證明定義算子

對上式右邊關(guān)于g∈W2取下確界，由Peetre's K-泛函定義可得