坐標(biāo)系與參數(shù)方程應(yīng)用中的“三類誤區(qū)”

■江蘇省泰興市第一高級中學(xué) 張 震

在極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用中，由于“忽略互化的條件、混淆參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和借助極徑探究最值缺少極角取值范圍的限制”，有些同學(xué)常常出現(xiàn)下列思維誤區(qū)：

誤區(qū)1——參數(shù)方程與普通方程的互化中忽略“等價變形”

例1 在直角坐標(biāo)系x O y中，曲線M的參數(shù)方程為x=sinθ+c o sθ，(θ為參數(shù))，｛y=s i n2θ若以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離。

錯解：由曲線M的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，消參得1+y=x2，即y=x2—1。不妨設(shè)曲線M上一點為P(x0—1)，由曲線N的極坐標(biāo)方程得曲線N的直角坐標(biāo)方程為x+y+2=0，則點P到曲線N的距離，所以當(dāng)時

剖析：錯解中y=x2—1非曲線M的參數(shù)方程的等價變形，應(yīng)考慮到x=sinθ+，故x∈［ —］，所以曲線M的直角坐標(biāo)方程為y=x2—1，x∈［—，］，于是曲線M上一點P(x0—1)，其中x0∈ ［—，］，則點P到曲線N的距離，所以當(dāng)時，

又易知曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離等于曲線M上的點與曲線N的距離的最小值，故所求最小距離為

警示：參數(shù)方程化普通方程，既要消參得到橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，又要探究橫、縱坐標(biāo)對參數(shù)的值域，這個值域和橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式才與原參數(shù)方程等價。本題中x∈[—，]，y∈[—1，1]和函數(shù)關(guān)系y=x2—1可省略隱含條件y∈[—1，1]，這里有一個重要的技巧：消參后若得到是非閉合曲線(如拋物線、雙曲線)，務(wù)必要注意考察x的取值范圍。同學(xué)們在遇到橢圓或圓的最值問題時往往能夠考慮到將普通方程化為參數(shù)方程，再運用三角函數(shù)求最值，而本題卻是拋物線的最值問題，那該怎么辦呢?本題給了我們一個重要經(jīng)驗：與拋物線上的點相關(guān)的最值問題往往可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行求解。

誤區(qū)2——橢圓參數(shù)方程中對角參數(shù)的含義理解不清

例2 設(shè)M為橢圓(α為參數(shù))上一點，O為坐標(biāo)原點，且∠x OM=，求點M的坐標(biāo)。

錯解：將∠x OM=代入橢圓的方程，得=3，所以點M(2，3)。

剖析：錯解中把點M與原點連線的傾斜角誤認(rèn)為是過該點的橢圓參數(shù)中所對應(yīng)的角參數(shù)α，這是錯誤的，這個角是離心角，現(xiàn)階段的教材不研究其幾何意義。借助點M與原點連線的傾斜角和三角知識分類溝通關(guān)系求解。

設(shè)點M(4 c o sα，2sinα)。

(1)當(dāng)點M在第一象限時，有kOM=，所以t a nα=2，從而c o sα=，sinα=，所以點(2)當(dāng)點M在第四象限時，有kOM=，所以t a nα=—2，從而c o sα=，sinα=—，所以點

警示：把握所求角為交點與原點連線的傾斜角，運用點的坐標(biāo)之間的關(guān)系確定傾斜角的正切值，依據(jù)傾斜角的意義和范圍合理分類求解，避免了橢圓參數(shù)中角參數(shù)幾何意義的理解，這符合課標(biāo)和教材的要求。

誤區(qū)3——借助極徑探究線段長的最值時忽略極角的范圍

例3 在直角坐標(biāo)系x O y中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在t以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線m：θ=β(ρ＞0)，設(shè)點A是m與C的一個交點(異于原點)，點B是m與l的交點，求的最大值。

錯解：(為參數(shù))，平方消α參得C的普通方程為(x—1)2+y2=1，由可得(ρc o sθ—1)2+(ρsinθ)2=1，化簡得C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 c o sθ。直線的普通方程為x+y—4=0，其極坐標(biāo)方程為ρc o sθ+ρsinθ—4=0，所 以

設(shè)A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，則，故其最大值為

剖析：錯解凸顯了借助極坐標(biāo)系中極徑探究線段長度的最值的思維方法，湊巧求得其最值，但忽略了射線與圓相交的條件，即忽略了極角的取值范圍。應(yīng)補(bǔ)充：由射線m與C相交，則不妨設(shè)，則而，所以當(dāng)，即時，取最大值，此時的最大值為

警示：在極坐標(biāo)系中，以O(shè)為起點的線段均可寫成ρ的形式，這正是極徑ρ的幾何意義，極坐標(biāo)方程實質(zhì)是極徑關(guān)于極角的函數(shù)表達(dá)式，于是求解線段長的最值問題，常選用極坐標(biāo)方程，此時應(yīng)特別注意相交的條件即極角范圍的探究。始終注意一個原則，函數(shù)的問題，定義域優(yōu)先。