含絕對(duì)值的不等式的突破方法

■河南省西華縣一高數(shù)學(xué)組 李五銀 李松林

絕對(duì)值不等式問(wèn)題的基本解題思路是：去掉絕對(duì)值符號(hào)，把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解。轉(zhuǎn)化的方法一般有：(1)絕對(duì)值定義法，(2)平方法，(3)零點(diǎn)區(qū)域法。

例1 已知函數(shù)f(x)=|x+1|—|x—2|。

(1)求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≥x2—x+m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：可以利用“零點(diǎn)分區(qū)間”法求解。

當(dāng)x＜—1時(shí)，f(x)≥1無(wú)解；當(dāng)—1≤x≤2時(shí)，由f(x)≥1得2x—1≥1，解得1≤x≤2；當(dāng)x＞2時(shí)，由f(x)≥1得x＞2。所以不等式f(x)≥1的解集為{x|x≥1}。

(2)由f(x)≥x2—x+m得m≤|x+1|—|x—2|—x2+x，而|x+1|—|x—2|—x2+x≤|x|+1+|x|—2—x2+|x|=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為

方法總結(jié)：研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義和幾何意義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法。對(duì)于y=|x—a|—|x—b|或y=|x—a|—|x—b|型的函數(shù)最值問(wèn)題利用絕對(duì)值三角不等式更方便，形如y=|x—a|+|x—b|的函數(shù)只有最小值，形如y=|x—a|—|x—b|的函數(shù)既有最小值又有最大值。此題關(guān)鍵在于利用“絕對(duì)值三角不等式”進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化，以及|x|≤x的用法。

例2 已知函數(shù)f(x)=|x—a|。

(1)若不等式f(x)≤2的解集為{x|1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值。

(2)在(1)的條件下，若不等式f(2x)+f(x+2)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：(1)已知不等式f(x)≤2的解集為{x|1≤x≤5}，可根據(jù)不等式的解集與方程的根的關(guān)系求得實(shí)數(shù)a的值；(2)可利用“零點(diǎn)分區(qū)間”法求解。

解：(1)因?yàn)椴坏仁絝(x)≤2的解集為{x|1≤x≤5}，所以a應(yīng)滿足解得a=3。

(2)因?yàn)閍=3，所以不等式f(2x)+f(x+2)≥m就是|2x—3|+|x—1|≥m，令g(x)=|2x—3|+|x—1|，則g(x)min≥m，而g(x)=|2x—3|+|x—1|=則g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，g(x)取得最小值，且g(x)min=所以m≤

方法總結(jié)：“零點(diǎn)分區(qū)間”法是解決含有絕對(duì)值不等式的常用方法，此題也可以利用絕對(duì)值三角不等式來(lái)解決，即g(x)=|2x—，則當(dāng)時(shí)，g(x)取得最小值。(注：當(dāng)a＜b＜c時(shí)，f(x)=|x—a|+|x—b|+|x—c|，則當(dāng)x=b時(shí)，f(x)的 值 最 小，f(x)min=|b—a|+|b—c|)