“絕對值不等式”中的“四類風景”

■江蘇省泰興市第一高級中學 丁紅星

選修《不等式》在高考中主要圍繞絕對值不等式的解法及簡單不等式的證明展開，凸顯不等式的工具性和應用性，因此，“絕對值不等式”中的交匯創(chuàng)新就成為一道亮麗的風景。

風景1——絕對值不等式與不等式恒成立

例1 已知函數(shù)f(x)=|x—2|—|2x—a|，a∈R。

(1)當a=3時，解不等式f(x)＞0；

(2)當x∈(—∞，2)時，f(x)＜0恒成立，求a的取值范圍。

解析：(1)利用零點分段法分類構(gòu)建分段函數(shù)，將不等式化為三段求解，然后求其并集。將函數(shù)f(x)化為分段函數(shù)得f(x)=當x＞2時，1—x＞0，即x＜1，解得x∈?；當≤x≤2時，5—3x＞0，即x＜，所以≤；當時，x—1＞0，即x＞1，所以，故不等式解集為

(2)由題意，當x∈(—∞，2)時，不等式f(x)＜0恒成立，即2—x—|2x—a|＜0恒成立，即2—x＜|2x—a|，解得x＜a—2或恒成立，則由條件x∈(—∞，2)，得a—2≥2，即a≥4，故a的取值范圍為a≥4。

感悟：以絕對值函數(shù)為背景，將絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題網(wǎng)絡交匯，考查“分類討論法和公式法解絕對值不等式，以及分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)求值域解決恒成立”的思維方法，凸顯“邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學模型”等核心素養(yǎng)的具體應用。

風景2——絕對值不等式證明中的“三角不等式和函數(shù)的單調(diào)性”

例2 (1)設函數(shù)f(x)=|x—3|，g(x)=|x—2|，對任意的實數(shù)x，y，若f(x)≤1，g(x)≤1，證明：|x—2y+1|≤3。

(2)設函數(shù)f(x)=|2x+a|+當a＞0時，證明：f(x)≥。

解析：(1)依據(jù)題設配湊使用條件，借助“絕對值三角不等式”放縮法求證。因為f(x)=|x—3|≤1，g(x)=|x—2|≤1，所以|x—2y+1|=|(x—3)—2(y—2)|≤|x—3|+2|y—2|≤1+2=3。

(2)利用零點分段法將函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式，然后分，求得函數(shù)f(x)的最小值。函數(shù)分零點取絕對值，f(x)=|2x+a|+

當x＞時，f(x)＞+a；當x＜—時，f(x)＞；當—時，。所以f(x)min=

綜上可知，當a＞0時，不等式f(x)≥成立。

感悟：以絕對值函數(shù)為背景，將絕對值不等式的證明，與絕對值三角不等式和分段函數(shù)有機交匯，考查絕對值不等式的性質(zhì)和絕對值函數(shù)最值的求解方法，凸顯“函數(shù)的主導作用和均值不等式的工具性”。

風景3——絕對值不等式性質(zhì)與“1”的整體代入求最值

例3 已知函數(shù)f(x)=|x|—|x—m|的最大值為3。

(1)求實數(shù)m的值；

(2)若0＜x＜m，求g(x)=的最小值。

解析：(1)由絕對值不等式性質(zhì)知，f(x)=|x|—|x—m|≤|x—(x—m)|=|m|，當且僅當x(x—m)≥0時取等號，此時f(x)的最大值為|m|，故m=±3。

(2)由(1)及0＜x＜m知，m=3，則0＜x＜3，于是g(x)=，當且僅當即x=時取等號，故x=時，g(x)=的最小值為

感悟：以絕對值函數(shù)為背景，利用“絕對值三角不等式”可以求出一元變量的絕對值和的最小值或絕對值差的最大值，關(guān)鍵在于湊出和或差為定值；用均值不等式求最值，常常應用“1”的整體代入展開湊積為定值一次用不等式。

風景4——絕對值不等式與不等式證明的多種思維方法

例4 已知關(guān)于x的不等式m—|x—2|≥1，其解集為x∈[0，4]。

(1)求m的值；

(2)若a，b均為正實數(shù)，且滿足a+b=m，求a2+b2的最小值。

解析：(1)不等式合理轉(zhuǎn)化，利用公式法求解不等式，對照解集求待定參數(shù)值，不等式m—|x—2|＞1可化為|x—2|≤m—1，所以1—m≤x—2≤m—1，即3—m≤x≤m+1。因為其解集為[0，4]，所以解得m=3。

(2)由(1)和題設知a+b=3，由兩正數(shù)的和求其平方和，可產(chǎn)生多種思維方法。

方法1：利用基本不等式解出其最小值。

因為(a+b)2=a2+b2+2a b≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2)，所以a2+b2≥，當且僅當a=b=時，a2+b2取最小值為

方法2：利用柯西不等式解出其最小值。

因為(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9，所以a2+b2≥，當且僅當a=b=時，a2+b2取最小值為

方法3：降元化歸求二次函數(shù)的最值。

因為a+b=3，所以b=3—a，所以a2+，當且僅當a=b=時，a2+b2取最小值為

感悟：以絕對值不等式的解集為背景求待定參數(shù)值，得到兩正數(shù)和為定值，求兩正數(shù)的平方和可產(chǎn)生3種思維方法。其中構(gòu)建不等式解最值是重要不等式的一個應用。借助柯西不等式解最值簡單且具有操作性，實質(zhì)是|m·n|2≤|m|2|n|2的坐標表示，關(guān)鍵在于依據(jù)題設結(jié)構(gòu)特征合理構(gòu)造兩個向量的坐標表示。降元化歸二次函數(shù)區(qū)間上的值域是最基本和最重要的思維方法，應借鑒。