“鴿巢原理”典例解析

◎劉仁貝

鴿巢原理又叫抽屜原理。

1.如果把x+1個(gè)物體任意放進(jìn)x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放有兩個(gè)物體。

2.如果將多于xm+1個(gè)物體任意放進(jìn)x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放有m+1個(gè)物體。

通俗來講：東西多，抽屜少，那么至少有兩個(gè)東西放在同一抽屜里面。

例1：把10本書平均放進(jìn)3個(gè)書架中，那么總有1個(gè)書架至少放幾本書？

分析與解：解題的關(guān)鍵就是把10本書盡量“平均”地分給各個(gè)書架，看每個(gè)書架能分到多少本書，剩下的書不管放到哪個(gè)書架上，總有一個(gè)書架比平均分得的本數(shù)多1本，這個(gè)思路是用“有余數(shù)的除法”這一數(shù)學(xué)形式表示出來的，如，10÷3＝3……1。由此發(fā)現(xiàn)：10本書平均放到3個(gè)書架上，每個(gè)書架放3本還剩1本。剩下這1本書還要放在1個(gè)書架上，因此至少有1個(gè)書架要放4本書。

例2：學(xué)校食堂中午有5種不同的菜和4種不同的湯，每人只能買一種菜和一種湯。六年級(jí)有165 人在學(xué)校吃飯，他們中一定至少有9 個(gè)人買的菜和湯是完全一樣的，這是為什么？

分析與解：在5 種不同的菜和4 種不同的湯中，買一種菜和一種湯，共有5×4＝20（種）不同的買法。我們把20種不同的買法看成20個(gè)“鴿巢”，把六年級(jí)在校吃飯的165個(gè)人的買法看成是165個(gè)“物體”。

因?yàn)?65÷20＝8……5，根據(jù)鴿巢原理，剩下的5個(gè)物體無論是放到一個(gè)鴿巢里還是放到幾個(gè)鴿巢里，必然有一個(gè)鴿巢里至少有9個(gè)物體，所以一定至少有9個(gè)人買的菜和湯是完全一樣的。

【自主探究】

1.把6支鉛筆放進(jìn)4個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)幾支鉛筆？

2.實(shí)驗(yàn)小學(xué)六年級(jí)有30名學(xué)生是2月份出生的，所以六年級(jí)至少有2名學(xué)生的生日是2月份同一天。為什么？

[參考答案]

1. 2 支

2. 因?yàn)?0÷28＝1……2，根據(jù)鴿巢原理，剩下的2 個(gè)物體無論是放到一個(gè)鴿巢里還是放到幾個(gè)鴿巢里，必然有一個(gè)鴿巢里至少有2 （1+1） 個(gè)物體，所以一定至少有2 名學(xué)生的生日是2月份同一天。