解析聯(lián)想方法在高中數(shù)學(xué)解題思路中的應(yīng)用

陸國(guó)兵

（江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué)，江蘇海門 226151）

引 言

對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，雖然題目類型較多，不過(guò)各類題型通常具有一定的類似特征，掌握相應(yīng)的解題方法能高效地解答同類題目。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)明顯的誤區(qū)是內(nèi)容與實(shí)際相脫離，因此，在解題教學(xué)中，教師可以運(yùn)用聯(lián)想方法，引導(dǎo)學(xué)生尋求數(shù)學(xué)題目的相似性與相關(guān)性，在聯(lián)想中活化思維。

一、應(yīng)用直接聯(lián)想方法，指導(dǎo)快速解題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用直觀明了的數(shù)學(xué)概念指引學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行直接聯(lián)想，從中尋求正確、恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。與其他聯(lián)想方法相比，直接聯(lián)想屬于一種基礎(chǔ)且簡(jiǎn)單的聯(lián)想方法，只要求學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)公式與概念即可。

例如，在學(xué)習(xí)完《集合》一課后，教師設(shè)置以下練習(xí)題：如果{1，2}A{1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A有多少個(gè)？假如C={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，則C∪(M∪N)=____；點(diǎn)的集合M={(x，y)｜xy≥0}指的是什么？設(shè)集合A={x丨 1＜x＜2}，B={x丨x ＜ a}，若AB，那么a的取值范圍是什么？滿足條件M∪{1}={1，2，3}的集合M有幾個(gè)？已知集合A={x丨x+x+m=0}，如果A∩R=，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？30名學(xué)生做化學(xué)和生物兩種實(shí)驗(yàn)，已知化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有24人，生物實(shí)驗(yàn)做正確的有18人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有5人，那么這兩種實(shí)驗(yàn)都做正確的有幾人？

針對(duì)上述這些難度不大的練習(xí)題，解題中所運(yùn)用的都是基礎(chǔ)性集合知識(shí)，學(xué)生無(wú)須多做思考，根據(jù)題目中給出的已知條件，通過(guò)直接聯(lián)想就能得出正確答案。

二、運(yùn)用類比聯(lián)想方法，學(xué)會(huì)觸類旁通

類比思想方法是把兩種類型不同的學(xué)習(xí)對(duì)象放在一起進(jìn)行分析和對(duì)比，從中尋求兩個(gè)題目的相似之處。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以嘗試運(yùn)用類比思想展開(kāi)教學(xué)，整理一些同類題目，指導(dǎo)學(xué)生找出題目中的相同點(diǎn)，鍛煉他們的知識(shí)遷移能力，其中包括解題思想、解題思路和題目性質(zhì)等，使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)學(xué)會(huì)觸類旁通[1]。

例如，當(dāng)學(xué)習(xí)完“等比數(shù)列”和“等差數(shù)列”有關(guān)知識(shí)后，由于兩種數(shù)列的性質(zhì)有一定的類似性，教師可設(shè)置題目：在公差為d的等差數(shù)列{an}中有an=am+（n-m）d（m、n∈N+），類比到公比為q的等比數(shù)列{bn}中有____；在等差數(shù)列{an}中，有a1+a2+a3+....＋a2n+1+（2n+1）an+1，根據(jù)以上性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，有等式____成立。如果等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積是Tn，則有T3n=（T2n/Tn）3，類比得出以下正確結(jié)論：如果等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是Sn，則有____；在等比數(shù)列{an}中，假如a9=1，則有a1×a2×...×an=a1×a2×...a17-n（n＜17，且n∈N*）成立，根據(jù)上述性質(zhì)，在等差數(shù)列{bn}中，如果b7=0，那么有____。

如此，依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的類似性展開(kāi)解題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類似聯(lián)想進(jìn)行解題，使他們學(xué)會(huì)舉一反三，找準(zhǔn)題目之間的類似關(guān)系，求出正確答案。

三、使用抽象聯(lián)想方法，實(shí)現(xiàn)化難為易

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，不少題目往往沒(méi)有給出明確的解題條件與公式信息，學(xué)生需要對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行二次處理，使其厘清解題條件之間的相互關(guān)系與內(nèi)在聯(lián)系，從深層次角度理解和研究題目信息，最終順利解題。所以，高中生應(yīng)牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，擁有良好的抽象思維能力與聯(lián)想能力，能夠從一些復(fù)雜的題目中準(zhǔn)確、快速地提取有用的信息。

在函數(shù)解題教學(xué)中，由于函數(shù)類題目往往比較復(fù)雜，教師應(yīng)指引學(xué)生使用抽象聯(lián)想方法將復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)變得簡(jiǎn)單、易懂。例如，函數(shù)f(x)=ax4+bsin3k+ck3+dk+2，滿足f(1)=7，f(-1)=9，且f(-2)+f(2)=124，求f()+f()的值。在本道題目中一共有4個(gè)未知數(shù)，不過(guò)根據(jù)題目中的信息可以羅列出3個(gè)方程式，無(wú)法使用直接聯(lián)想法處理題目。此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生深入分析題目中的式子結(jié)構(gòu)，使用抽象聯(lián)想方法概括其中的解題條件，他們能發(fā)現(xiàn)題目中的已知條件有一定的對(duì)稱關(guān)系，包括f(1)和f(-1)，f(-2)和f(2)，以掌握這一信息為前提，采用整體代入法與偶數(shù)性質(zhì)求出答案。

在上述案例中，教師指導(dǎo)學(xué)生使用抽象聯(lián)想法分析題目中的已知條件，確定相互之間的關(guān)系，通過(guò)抽象聯(lián)想方法的應(yīng)用達(dá)到化難為易的效果，幫助他們樹(shù)立學(xué)習(xí)的自信心。

四、采用對(duì)立聯(lián)想方法，減少解題錯(cuò)誤

對(duì)立聯(lián)想即在解答數(shù)學(xué)題目過(guò)程中，針對(duì)題目信息中的對(duì)立面進(jìn)行聯(lián)想，這里的題目信息不僅可以是圖形樣式，也可以是文字樣式，涉及范圍較為廣泛。對(duì)立聯(lián)想方式對(duì)高中生來(lái)說(shuō)雖然難度相對(duì)較大，但有著較強(qiáng)的靈活性和可行性，他們應(yīng)更加全面、細(xì)致、深入地掌握題目信息，使其根據(jù)題目固有內(nèi)容形成準(zhǔn)確的解題思路，盡量減少錯(cuò)誤解題現(xiàn)象的出現(xiàn)。

例如，在《不等式》一課的教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)題目：已知方程x2+2mx-2m=0，x2+（m-1）x+2m=0，x2+4mx-4m+3=0，這三個(gè)方程式中至少有一個(gè)方程式能夠得到實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少？在解答這一題目時(shí)，假如學(xué)生一開(kāi)始就求方程的實(shí)數(shù)解，但這三個(gè)方程式的實(shí)數(shù)解可能存在7種情況，導(dǎo)致計(jì)算難度增大，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于相反的角度思考問(wèn)題的對(duì)立面，結(jié)合題目中的已知條件分析其對(duì)立面“三個(gè)方程都不存在實(shí)數(shù)解”的解答方法較為簡(jiǎn)單，只需要讓（2m）2-4（-2m）＜0，（m-1）2-4m2＜0，（4m）2-4（-4m+3）＜0這三個(gè)不等式能同時(shí)成立就行。

這樣,教師幫助學(xué)生把題目中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)語(yǔ)言，再探索該類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法，讓學(xué)生采用對(duì)立聯(lián)想法進(jìn)行解題，不斷提高他們的解題能力和解題準(zhǔn)確率。

五、借助表征聯(lián)想方法，把握題目關(guān)鍵

表征聯(lián)想是一種特殊的聯(lián)想方法，指的是在審題時(shí)厘清題目中的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，包括解題圖形、條件、關(guān)鍵詞和信息等，輔助學(xué)生聯(lián)想已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，促使他們形成正確的解題思路。

例如，在教學(xué)《平面向量》一課時(shí)，教師運(yùn)用習(xí)題：已知平面向量a和b之間的夾角為60°，假如｜b丨=1，求｜a+2b｜的值是多少？在處理這一數(shù)學(xué)題目過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)知道題目中的已知條件包括模的坐標(biāo)、向量與夾角，利用夾角可以聯(lián)想到向量數(shù)量積的公式。向量數(shù)量積公式有兩種表達(dá)方式，分別為向量的模與夾角的余弦值乘積方式、坐標(biāo)式。解析：學(xué)生能通過(guò)向量坐標(biāo)將模表示出來(lái)，之后找到題目中的主要解題條件，教師則應(yīng)采用粗細(xì)線條將題目中已知條件的關(guān)鍵句——夾角標(biāo)注出來(lái)，讓他們清晰地找到關(guān)鍵詞，為其指明解題方法，并以此為前提將最終表達(dá)方式確定下來(lái)。

上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助于表征聯(lián)想方法分析題目，在關(guān)鍵詞的提示下快速找到解題重點(diǎn)，把握解題關(guān)鍵，將題目中分散的解題條件有機(jī)地融合在一起，從而順利解題。

結(jié) 語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的解題思路關(guān)系到教學(xué)成敗，教師需根據(jù)具體題目指導(dǎo)他們靈活應(yīng)用直接、類比、抽象、對(duì)立和表征等聯(lián)想方法，并與其他解題方法巧妙整合，在日常訓(xùn)練中不斷提高學(xué)生的聯(lián)想思維水平和解題能力。