關(guān)于定常Navier-Stokes方程非協(xié)調(diào)有限元三種迭代方法的研究

高嘉偉， 張 翀， 李 劍*

(1.陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021; 2.寶雞文理學(xué)院 地理與環(huán)境學(xué)院， 陜西 寶雞 721013)

0 引言

有限元方法是一種高效、常用的數(shù)值方法，也是求解不可壓縮流動(dòng)Navier-Stokes方程(N-S方程)的基本方法.這一方法，最早由Courant[1]提出.隨后，以馮康為代表的中國(guó)學(xué)者，獨(dú)立于西方創(chuàng)立了有限元方法的數(shù)值基礎(chǔ)[2-4].在求解N-S方程時(shí)，有限元配對(duì)的選擇是多樣的，其選擇的關(guān)鍵在于是否滿足inf-sup條件.關(guān)于有限元方法的完整理論，詳細(xì)可參考文獻(xiàn)[5-8].目前，已有不少有限元配對(duì)可高效求解N-S方程.然而，簡(jiǎn)單、有效的方法仍然是有限元專家關(guān)注的焦點(diǎn).

近年來(lái)，利用局部穩(wěn)定混合有限元求解N-S方程的方法得到了迅速發(fā)展[9-12].這與傳統(tǒng)的穩(wěn)定混合有限元法相比，低階有限元配對(duì)的方法更簡(jiǎn)單、高效、且不受參數(shù)影響.

在有限元的選擇中，由于非協(xié)調(diào)有限元比協(xié)調(diào)有限元簡(jiǎn)單，且基函數(shù)的支持集較小，同樣受到專家們的廣泛關(guān)注.J Li等[13]提出了一種基于兩個(gè)局部高斯積分的局部穩(wěn)定非協(xié)調(diào)有限元方法，利用最低階有限元配對(duì)(P1NC-P1)求解Stokes方程，給出了非協(xié)調(diào)元適定性和收斂性的分析，最后用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的有效性.隨后，L Zhu等[14]利用相應(yīng)的非協(xié)調(diào)有限元法求解定常N-S方程，采用文獻(xiàn)[13]中的技巧得到了非協(xié)調(diào)元的適定性和收斂性分析.

本文基于文獻(xiàn)[13,14]，利用Y He等[15]提出的方法，研究了定常N-S方程的簡(jiǎn)單迭代方法、Oseen迭代方法和牛頓迭代方法的穩(wěn)定性，并從數(shù)值模擬角度在收斂率、收斂速度和粘性三個(gè)方面進(jìn)行了比較.數(shù)值實(shí)驗(yàn)印證了迭代方法的有效性，并得出粘性較大時(shí)，牛頓迭代方法的收斂速度最快，當(dāng)粘性系數(shù)較小時(shí)，僅Oseen迭代方法可求解N-S方程.

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)空間Ω是R2中具有Lipschitz連續(xù)邊界的有界開(kāi)集,考慮Ω上的定常N-S方程：

(1)

式(1)中：u=(u1,u2)表示速度場(chǎng)，p表示壓力場(chǎng)，f表示外力.

V{v∈X:divv=0},

H={v∈[L2(Ω)]2:divv=0,v·n|?Ω=0}.

給方程式(1)中的第一個(gè)和第二個(gè)方程兩端分別乘以v,q利用Green公式可得連續(xù)變分問(wèn)題如下：求解(u,p)∈X×M，使得對(duì)?(v,q)∈X×M滿足：

a(u,v)-d(v,p)+d(u,q)+b(u,u,v)=(f,v).

這里a(·,·)是X×X上的連續(xù)雙線性形式且對(duì)?u,v∈X,

a(u,v)=v(u,v);

d(·,·)是X×M上的連續(xù)雙線性形式且對(duì)?(v,p)∈X×M.

d(v,p)=(divv,p);

b(·,·,·)是X×X×X上的非線性項(xiàng)且對(duì)?u,v,w∈X,

容易得到非線性項(xiàng)有如下性質(zhì)：

b(u,v,w)=-b(u,w,v),

|b(u,v,w)|≤N‖u‖0‖v‖0‖w‖0,

2 非協(xié)調(diào)有限元

在本文中取速度和壓力的有限元空間分別為非協(xié)調(diào)有限元P1NC：

P1NC={v∈Y:v|K∈[P1(K)]2,?K∈Kh,

v(ξi,j)=v(ξj,i),v(ξi)=0,?i,j},

和協(xié)調(diào)有限元P1：

P1={p∈H1(Ω)∩M:p|K∈P1(K),?K∈Kh},

這里非協(xié)調(diào)有限元P1NC不是空間X的子空間，所以對(duì)?i,j都有如下兼容性條件：

其中[v]=v|Γij-v|Γji.

為了簡(jiǎn)便，令(·,·)j=(·,·)Kj，〈·,·〉j=〈·,·〉?Kj,則離散的雙線性型：

非線性項(xiàng)定義如下：

?u,v,w∈P1NC

利用分部積分可得

b1,h(u,v,w)=-b1,h(u,w,v)-

其中nj是?K的外法線向量.

顯然

b1,h(u,v,w)=bh(u,v,w)-

這里

進(jìn)一步非線性項(xiàng)也滿足

|bh(u,v,w)|≤N‖u‖1,h‖v‖1,h‖w‖1,h，

由于非協(xié)調(diào)有限元配對(duì)P1NC-P1不滿足inf-sup條件，下面引入局部高斯穩(wěn)定項(xiàng)Gh(p,q)[13]進(jìn)行穩(wěn)定，

?p,q∈L2(Ω).

則非協(xié)調(diào)有限元穩(wěn)定化方法的變分形式為：求解(uh,ph)∈P1NC×P1，使得?(vh,qh)∈P1NC×P1滿足：

ah(uh,vh)-dh(vh,ph)+dh(uh,qh)+

bh(uh,uh,vh)+Gh(ph,qh)=(f,vh).

(2)

3 三種非協(xié)調(diào)有限元迭代方法

本章主要討論三種非協(xié)調(diào)迭代方法的有效性.

Ⅰ 簡(jiǎn)單迭代格式

(3)

Ⅱ Oseen迭代格式

(4)

Ⅲ 牛頓迭代格式

(5)

(6)

進(jìn)一步再根據(jù)強(qiáng)唯一性可得

原式得證.

(7)

(8)

再由強(qiáng)唯一性和假設(shè)可得

4 數(shù)值模擬

本章主要印證三種迭代格式的有效性.取空間Ω=(0,1)2，選擇停機(jī)標(biāo)準(zhǔn)為ε=10-10，令

選擇真解如下：

u1=10x2(x-1)2y(y-1)(2y-1)，

u2=-10y2(y-1)2x(x-1)(2x-1),

p=10(2x-1)(2y-1).

取v=0.1時(shí)，得到三種迭代的誤差如表1～3所示.由表1～3可以得出，三種迭代方法在粘性系數(shù)較大時(shí)計(jì)算結(jié)果基本相同，牛頓迭代格式的收斂速度較快，計(jì)算效率高.

選取v=1，v=0.009，v=0.03,利用標(biāo)準(zhǔn)方腔流問(wèn)題檢驗(yàn)三種迭代方法的有效性.圖1～3表明，在v=1時(shí)，三種方法都是有效的，v=0.09時(shí)僅簡(jiǎn)單迭代方法失效，在小粘性v=0.03時(shí)，僅Oseen迭代方法有效.

表1 三種迭代方法的誤差(1/h=40)

表2 三種迭代方法的誤差(1/h=60)

表3 三種迭代方法收斂階

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ圖1 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ圖2 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ圖3 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

5 結(jié)論

本文研究定常N-S方程非協(xié)調(diào)有限元三種迭代方法的穩(wěn)定性和收斂性得出:一、當(dāng)粘性系數(shù)較大時(shí)，簡(jiǎn)單迭代的計(jì)算格式最簡(jiǎn)單，牛頓迭代的計(jì)算格式收斂速度最快，計(jì)算時(shí)間最少；二、當(dāng)粘性系數(shù)較小時(shí)，Oseen迭代的計(jì)算效果更好.