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    逐次Taylor替換與一類冪指函數(shù)不等式的機(jī)器證明

    2019-11-26 05:36:06陳世平
    關(guān)鍵詞:展開式代數(shù)區(qū)間

    陳世平,陳 果

    (1.中國民航飛行學(xué)院德陽校區(qū)-四川省商貿(mào)學(xué)校,四川 德陽 618000;2.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院,四川 綿陽 612000)

    0 引 言

    Nishizawa 證明了[10]:

    Branko Male?evic 等證明了文獻(xiàn)[10]提出的公開問題[11]:

    文獻(xiàn)[12-17]討論了形如f(x,trans1(x),…,transn(x))>0 的超越多項(xiàng)式不等式的機(jī)器證明,其中f(x,x1,…,xn)是n+1 元多項(xiàng)式,trans1(x)可以是初等超越函數(shù),如sin x、cos x、tan x、arcsin x、arccos x、arctan x、ex、ln x 等,也可以是形如trans1(trans2(x))的復(fù)合函數(shù),利用一次或多次Taylor 替換,目標(biāo)不等式的證明轉(zhuǎn)化為一系列單變量的多項(xiàng)式不等式的驗(yàn)證,然后由代數(shù)不等式證明軟件BOTTEMA 完成.算法對于常見的超越多項(xiàng)式不等式非常有效,而且是“可讀的”,可以輸出能夠理解的證明過程.這種方案被稱為逐次Taylor 替換法.

    本文的目的是討論定理2 中不等式的機(jī)器證明,這是一個(gè)比文獻(xiàn)[12-17]中引用的例子更復(fù)雜、超越多項(xiàng)式不等式范圍外形如sin(x)/x>u(x)v(x)的冪指函數(shù)不等式問題,運(yùn)用逐次Taylor 替換并結(jié)合人工證明和巧妙的變量代換,實(shí)現(xiàn)了該不等式的機(jī)器證明.通過與文獻(xiàn)[11]不同的途徑,也證明了文獻(xiàn)[10]提出的公開問題,盡管結(jié)論是已知的結(jié)果,但方法本身對于同類不等式具有示范性.

    此外,算法輸出的證明過程中除了有的需要判定其正定性的一元有理多項(xiàng)式次數(shù)較高從而驗(yàn)證計(jì)算量較大外,其余內(nèi)容都容易“手工”驗(yàn)算.

    1 逐次Taylor替換

    不等式的自動證明問題,一直以來都是數(shù)學(xué)機(jī)械化和自動推理領(lǐng)域研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題.近年來,代數(shù)不等式的自動證明吸引了大批學(xué)者研究,也取得了豐富的成果,已有專著《不等式機(jī)器證明與自動發(fā)現(xiàn)》問世,特別是楊路教授提出了降維算法,據(jù)之編制的通用程序BOTTEMA 能夠成批驗(yàn)證不等式,但BOTTEMA 只能處理代數(shù)不等式或先把幾何不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式,尚不能解決一般的超越不等式自動證明問題[18-22].當(dāng)然關(guān)于超越不等式已有了大量的研究成果和證明方法,但這些成果和方法尚不能適應(yīng)數(shù)學(xué)機(jī)械化和推理自動化的需要,故有必要對此類不等式的自動證明進(jìn)行專門的研究,探索新的算法.

    1.1 Taylor替換

    給定(n+1)元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)R[x,x1,…,xn],定義該環(huán)上一個(gè)映射:hom:f(x,x1,…,xn)→F(x),將變量xi用某個(gè)超越函數(shù)transi(x)代替.

    定義1.1 給定(n+1)元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x,x1,…,xn),它在映射hom 下的像F(x)=hom(f)=f(x,trans1(x),…,transn(x))稱為超越函數(shù)多項(xiàng)式,稱transi(x)為其超越因子.

    如x+sin(x)、x+cos(sqrt(x))、x+esin(x)、x+arctan(x)-arcsin(x)都是超越函數(shù)多項(xiàng)式,sin(x)、cos(sqrt(x))、esin(x)、arctan(x)、arcsin(x)就是函數(shù)的超越因子.

    定義 1.2 對于超越函數(shù) F(x),在某個(gè)區(qū)間 I,如果有代數(shù)函數(shù)列{T_min(n,F(xiàn))}和{T_max(n,F(xiàn))},存在自然數(shù) n0,當(dāng) n≥n0時(shí),滿足:

    1)T_min(n+1,F(xiàn))>T_min(n,F(xiàn)),且當(dāng) n→∞ 時(shí),T_min(n,F(xiàn))→F(x);

    2)T_max(n+1,F(xiàn))<T_max(n,F(xiàn)),且當(dāng) n→∞ 時(shí),T_max(n,F(xiàn))→F(x).

    我們稱{T_min(n,F(xiàn))}和{T_max(n,F(xiàn))}為 F(x)在區(qū)間 I 的下限多項(xiàng)式列和上限多項(xiàng)式列,T_min(n,F(xiàn))為 F(x)的下限多項(xiàng)式,T_max(n,F(xiàn))為 F(x)的上限多項(xiàng)式,n0稱為臨界值.

    顯然,F(xiàn)(x)的下限多項(xiàng)式和上限多項(xiàng)式滿足:

    T_min(n0,F(xiàn))(x)<T_min(n0+1,F(xiàn))(x)<T_min(n0+2,F(xiàn))(x)<…<F(x)<…<T_max(n0+2,F(xiàn))(x)<T_max(n0+1,F(xiàn))(x)<T_max(n0,F(xiàn))(x),也就是說若 F(x)存在有下限多項(xiàng)式列和上限多項(xiàng)式列,則有一個(gè)多項(xiàng)式套來逼近 F(x):(T_min(n0,F(xiàn))(x),T_max(n0,F(xiàn))(x))?(T_min(n0+1,F(xiàn))(x),T_max(n0+1,F(xiàn))(x))?(T_min(n0+2,F(xiàn))(x),T_max(n0+2,F(xiàn))(x))?……?{F(x)}.

    下面我們討論如何計(jì)算或構(gòu)造超越函數(shù)多項(xiàng)式F(x)=f(x,trans(x))的下限多項(xiàng)式和上限多項(xiàng)式(其中f(x,y)為二元多項(xiàng)式).

    為方便,我們將函數(shù)f(x)在0 點(diǎn)的Taylor 展開式中的前n 項(xiàng)之和記為taylor(f,n).

    定義1.3 如果超越函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(0,T]滿足以下條件:(1)大于0;(2)在0 點(diǎn)的Taylor 展開式收斂于f(x);(3)taylor(f,n)可以表示為交錯(cuò)級數(shù)f1(x)-f2(x)+f3(x)+…+(-1)n-1fn(x),其中fn(x)=An*x^mn,0<An≤1,mn-1<mn;(4)存在常數(shù)n0,當(dāng)n≥n0時(shí),taylor(f,n)>0,fn(x)>fn+1(x)>0.我們稱f(x)在區(qū)間(0,T]內(nèi)可以規(guī)范展開,常數(shù)n0稱為其臨界值.若還滿足An≤1/(n-1)!,則稱f(x)在區(qū)間(0,T]內(nèi)可以強(qiáng)規(guī)范展開.

    常見的基本初等超越函數(shù)大都可以在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)規(guī)范展開:

    arctan(x)=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+(-1)n-1x2n-1/(2n-1)+……在區(qū)間(0,1]可以規(guī)范展開,臨界值n0=1;

    e-x=1-x+x2/2!-x3/3!+…+(-x)n-1/(n-1)?。?,在區(qū)間(0,T](T 為任意正數(shù),下同)可以規(guī)范展開,臨界值n0=min{n∈N,當(dāng)0<x≤T 時(shí)taylor(e-x,n)>0,taylor(e-x,n+1)>0,n>T};

    ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-……+在區(qū)間(0,1]可以規(guī)范展開,臨界值n0=1;

    sin(x)=x-x3/3!+x5/5!-……+在區(qū)間(0,T]可以規(guī)范展開,其中臨界值n0=min{n∈N,當(dāng)0<x≤T 時(shí)taylor(sin(x),n)>0,taylor(sin(x),n+1)>0 且2n(2n+1)>T2},特別地,當(dāng)時(shí),n0=1;

    cos(x)=1-x2/2!+x4/4!-……+在區(qū)間(0,T]可以規(guī)范展開,其中臨界值n0=min{n∈N,當(dāng)0<x≤T 時(shí)taylor(cos(x),n)>0,taylor(cos(x),n+1)>0 且 2n(2n-1)>T2}.我們注意到,當(dāng)時(shí),taylor(cos(x),2n)<cos(x)=0,所以 cos(x)在內(nèi)不能規(guī)范展開;

    (1+x)a=1+ax+a(a-1)x2/2!+a(a-1)(a-2)x3/3!+C(a,n)xn+…,在區(qū)間(0,1)可以規(guī)范展開(其中 C(a,n)=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)).當(dāng) 0<a<1 時(shí),n0=1(展開式中f1(x)=1+ax).

    其中 e-x、sin(x)、cos(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)還可強(qiáng)規(guī)范展開.

    也有一些基本初等超越函數(shù)不能規(guī)范展開,如:

    ln(1-x)=-x-x2/2-x3/3-……-xk/k-……(0<x<1);

    tan(x)=ΣB2n(-4)n(1-4n)x(2n-1)/(2n)!=x+(1/3)x3+(2/15)x5+(17/315)x7+(62/2835)x9+……

    引理1.1 如果f(x)區(qū)間I 可以規(guī)范展開,臨界值為n0,則當(dāng)n>n0時(shí),在區(qū)間I 上

    1)taylor(f,2n-2)<taylor(f,2n)<f(x);

    2)taylor(f,2n-1)>taylor(f,2n+1)>f(x);

    3)當(dāng)n→∞時(shí),taylor(f,n)→f(x).

    為方便,引入如下記號:

    acrtan_max(x,n)=taylor(arctan(x),2n+1),arctan_min(x,n)=taylor(arctan(x),2n),則當(dāng) x∈(0,1],對任意 n∈N,arctan_max(x,n)>arctan(x)>arctan_min(x,n);

    ln_max(x,n)=taylor(ln(1+x),2n+1),ln_min(x,n)=taylor(ln(1+x),2n),則當(dāng)x∈(0,1),對任意 n∈N,ln_max(x,n)>ln(1+x)>ln_min(x,n);

    sin_max(x,n)=taylor(sin(x),2n+1),sin_min(x,n)=taylor(sin(x),2n),則當(dāng)x∈對任意 n∈N,sin_max(x,n)>sin(x)>sin_min(x,n);

    cos_max(x,n)=taylor(cos(x),2n+1),cos_min(x,n)=taylor(cos(x),2n),則當(dāng)對任意 n∈N,cos_max(x,n)>cos(x)>cos_min(x,n);

    用f+和f-分別表示多項(xiàng)式f 展開后的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)之和,顯然f=f++f-,并且下面的引理成立:

    引理1.2 假設(shè)實(shí)函數(shù)T1(y)>0,T2(y)>0 且T1(y)<x<T2(y),則

    f+(T1(y),y)+f-(T2(y),y)<f(x,y)<f+(T2(y),y)+f-(T1(y),y).

    定理1.1 F(x)=f(x,trans(x)),trans(x)在區(qū)間I 可以規(guī)范展開,則對任意n∈N,

    T_max(n,F(xiàn))=f+(x,taylor(trans(x),2n-1))+f-(x,taylor(trans(x),2n))為 F(x)的上限多項(xiàng)式;

    T_min(n,F(xiàn))=f+(x,taylor(trans(x),2n))+f-(x,taylor(trans(x),2n-1))為 F(x)的下限多項(xiàng)式.

    定理 1.2 設(shè){T_min(n,F(xiàn))}和{T_max(n,F(xiàn))}分別是超越函數(shù)多項(xiàng)式 F(x)在區(qū)間 I 的下限多項(xiàng)式列和上限多項(xiàng)式列,則在相應(yīng)區(qū)間內(nèi),

    1)若存在 n0使得 T_min(n0,F(xiàn))≥0 成立,則 F(x)>0 成立;

    2)若存在 n0使得 T_max(n0,F(xiàn))≤0 成立,則 F(x)<0 成立;

    3)若存在 n0使得 T_max(n0,F(xiàn))>0 和 T_min(n0,F(xiàn))<0 都不成立,則 F(x)在區(qū)間 I的符號不固定.

    上述方案運(yùn)用Taylor 展開式構(gòu)造超越函數(shù)多項(xiàng)式的上下限多項(xiàng)式列,建立一個(gè)逼近目標(biāo)函數(shù)的一元多項(xiàng)式套,從而將目標(biāo)不等式的證明轉(zhuǎn)化為一系列的一元多項(xiàng)式不等式的驗(yàn)證,我們將這種方案稱為Taylor 替換法.

    1.2 逐次Taylor替換

    一般的超越函數(shù)多項(xiàng)式可能包含多個(gè)超越因子,超越因子可能還是由超越函數(shù)或代數(shù)函數(shù)復(fù)合而成,經(jīng)過一次Taylor 替換后的函數(shù)可能還是包含超越因子,還需要再次甚至多次的Taylor 替換.我們以超越函數(shù)多項(xiàng)式F(x)=f(x,trans1(x),trans2(x))和F(x)=f(x,trans1(trans2(x)))為例來描述這個(gè)過程:

    1、F(x)=f(x,trans1(x),trans2(x)),其中超越函數(shù)trans1(x)、trans2(x)在區(qū)間I 內(nèi)可以規(guī)范展開,臨界值分別為n1、n2.

    令f1(x,trans2(x),m)=f+(x,taylor(trans1(x),2*m),trans2(x))+f-(x,taylor(trans1(x),2*m-1),trans2(x));

    令f2(x,m,n)=f1+(x,taylor(trans2(x),2*n),m)+f1-(x,taylor(trans2(x),2*n-1),m);

    顯然當(dāng)m>n1時(shí),f1(x,trans2(x),m)<f(x,trans1(x),trans2(x)),當(dāng)m→∞時(shí),f1(x,trans2(x),m)→f(x,trans1(x),trans2(x));

    當(dāng)n>n2時(shí),對任意m>n1,f2(x,m,n)<f1(x,trans2(x),m),當(dāng)n→∞時(shí),f2(x,m,n)→f1(x,trans2(x),m);

    即當(dāng)m>n1,n>n2時(shí),f2(x,m,n)<f(x,trans1(x),trans2(x)),當(dāng)m→∞,n→∞時(shí),f2(x,m,n)→F(x).

    特別地,T_min(n,F(xiàn))=f2(x,n,n)就是F(x)的下限多項(xiàng)式,{T_min(F,n)}是其下限多項(xiàng)式列,其臨界值n0=max{n1,n2}.

    類似的方法可以求得F(x)的上限多項(xiàng)式列.

    同樣的方法我們可以計(jì)算含更多“超越因子”形如f(x,trans1(x),trans2(x),trans3(x),…,transm(x))的超越函數(shù)的上下限多項(xiàng)式列.

    2、F(x)=f(x,trans1(trans2(x))),其中trans2(x)在區(qū)間I 可以規(guī)范展開,其臨界值為n2,trans2(x)在區(qū)間I 上的值域?yàn)閰^(qū)間J,trans1(x)在J 內(nèi)可以規(guī)范展開,其臨界值為n1.

    令trans2(x)=u,得到F1(x,u)=f(x,trans1(u)),

    令f1(x,m,u)=f+(x,taylor(trans1(u),2m))+f-(x,taylor(trans1(u),2m-1)),

    顯然,當(dāng)m>n1時(shí)f1(x,m,u)<F1(x,u)=f(x,trans1(u)),且當(dāng)m→∞時(shí),f1(x,m,u)→F1(x,u);

    若trans2(x)是代數(shù)函數(shù),則f1(x,m,trans2(x))就是F(x)的下限多項(xiàng)式,否則

    令f2(x,m,n)=f1+(x,m,taylor(trans2(x),2n))+f1-(x,m,taylor(trans2(x),2n-1)),

    當(dāng)n>n2時(shí),f2(x,m,n)<f1(x,m,trans2(x))<F(x)=f(x,trans1(trans2(x))),且當(dāng)n→∞時(shí),f2(x,m,n)→f1(x,m,trans2(x));

    從而當(dāng)m→∞,n→∞時(shí),f2(x,m,n)→F(x)=f(x,trans1(trans2(x))).

    特別地,T_min(F,n)=f2(x,n,n)是F(x)的下限多項(xiàng)式,{T_min(F,n)}是其下限多項(xiàng)式列.其臨界值n0=max{n1,n2}.

    類似的方法可以求得F(x)的上限多項(xiàng)式列.

    同樣的方法我們可以計(jì)算含形如trans1(trans2(trans3(x)))經(jīng)過更多次復(fù)合而成的超越因子的超越函數(shù)的上下限多項(xiàng)式列.

    我們把上述方案稱為逐次Taylor 替換,一個(gè)可以計(jì)算一般超越函數(shù)多項(xiàng)式f(x,trans1(x),…,transn(x))的上下限多項(xiàng)式列的逐次Taylor 替換過程可以遞歸地定義如下:

    算法 1.1 STS(Successive Taylor Substitution)

    輸入①超越函數(shù)多項(xiàng)式F(x);②n∈N;

    輸出F(x)的下(上)限多項(xiàng)式.

    1)若 F(x)為代數(shù)函數(shù)

    return[F(x),F(xiàn)(x)];

    算法結(jié)束;

    2)設(shè)trans(x)是F(x)的一個(gè)超越因子且可以表示為F(x)=f(x,trans(x))

    2.1)若trans(x)在相應(yīng)區(qū)間可以規(guī)范展開,則

    f1(x,n)←f+(x,taylor(trans(x),2n))+f-(x,taylor(trans(x),2n-1));

    T_min(n,F(xiàn))←STS(f1(x,n))[1];

    f2(x,n)←f+(x,taylor(trans(x),2n-1))+f-(x,taylor(trans(x),2n));

    T_max(n,F(xiàn))←STS(f2(x,n))[2];

    return[T_min(n,F(xiàn)),T_max(n,F(xiàn))];

    2.2)若trans(x)具有形如trans1(trans2(x))的復(fù)合形式,令F(x)=f(x,trans1(u)),其中u=trans2(x),假設(shè)trans1(u)在相應(yīng)區(qū)間可以規(guī)范展開.

    f1(x,n,u)←f+(x,taylor(trans1(u),2n))+f-(x,taylor(trans1(u),2n-1));

    T_min(n,F(xiàn))←STS(f1(x,n,trans2(x)))[1];

    f2(x,n,u)←f+(x,taylor(trans1(u),2n-1))+f-(x,taylor(trans1(u),2n));

    T_max(n,F(xiàn))←STS(f2(x,n,trans2(x)))[2];

    return[T_min(n,F(xiàn)),T_max(n,F(xiàn))];

    3)END.

    算法STS 還不能直接處理類似tan(x)、ln(1-x)、ex這類不能規(guī)范展開的超越因子,在證明過程中需要結(jié)合人工證明和做一些的變量代換.

    超越函數(shù)多項(xiàng)式的“超越因子”還可能就是超越常數(shù),也需要有理化.本文的處理方法是將超越數(shù)視為一個(gè)超越函數(shù),構(gòu)造一個(gè)逼近該超越數(shù)的有理數(shù)端點(diǎn)區(qū)間套.比如對于超越數(shù)t,我們構(gòu)造滿足如下性質(zhì)的區(qū)間列{[t1(n),t2(n)]}:

    1)t1(1)<t1(2)<…<t1(n)<…<t<…t2(n)<…t2(2)<t2(1);

    2)當(dāng)n→∞時(shí),t1(n)→t,t2(n)→t;

    3)端點(diǎn)t1(n)和t2(n)均為有理數(shù).

    若f(x,t)是系數(shù)含超越數(shù)t 的一元多項(xiàng)式,則

    T_max(n,f)=f+(x,t1(n))+f-(x,t2(n))為f(x,t)的上限多項(xiàng)式;

    T_min(n,f)=f+(x,t2(n))+f-(x,t1(n))為f(x,t)的下限多項(xiàng)式.

    輸入:n∈N;

    輸出:有理數(shù)端點(diǎn)區(qū)間[t1(n),t2(n)],滿足:對任意p≤n,t1(1)<t1(2)<…<t1(p)<<t2(p)<…<t2(2)<t2(1);當(dāng)n→∞ 時(shí),t1(n)→,t2(n)→.

    1)t1←16*subs(x=1/5,arctan_min(x,n))-4*subs(x=1/239,acrtan_max(x,n));

    2)t2←16*subs(x=1/5,acrtan_max(x,n))-4*subs(x=1/239,tarctan_min(x,n));

    3)return[t1,t2];算法結(jié)束.

    2 定理2的證明

    令f3(x)=numer(f2(x))*denom(f2(x))(其中numer(f(x))和denom(f(x))分別取分式的分子和分母,下同),顯然sgn(f2(x))=sgn(f3(x)).

    令g1(x,n)=subs(ln(x/sin(x))=B(x,n),f3+)+subs(ln(x/sin(x))=A(x,n),f3-),則對任意n∈N,g1(x,n)<f3(x);

    令g2(x,n)=numer(g1(x))*denom(g1(x));

    令g3(x,n)=subs(sin(x)=sin_min(x,n),g2+)+subs(sin(x)=sin_max(x,n),g2-),則對任意n∈N,g3(x,n)<g2(x,n);

    令g4(x,n)=subs(cos(x)=cos_min(x,n),g3+)+subs(cos(x)=cos_max(x,n),g3-),則對任意n∈N,g4(x,n)<g3(x,n),此時(shí)g4(x,n)還含有超越數(shù)作為系數(shù);

    令g5(x,n)=subs(=_to_ra(tn)[1],g4+)+subs(=_to_ra(tn)[2],g4-),則對任意n∈N,g5(x,n)是關(guān)于x 的一元有理多項(xiàng)式,且g5(y,n)<g4(x,n)<g3(x,n)<g2(x,n);

    使用BOTTEMA 的xprove 指令:xprove(g5(x,n)>0,[x<_to_rat(n)[2]/3]), 當(dāng)n=5 時(shí),不等式g5(x,n)>0 成立,即當(dāng)x∈(0,x<_to_ra(t5)[2]/3)(0/3],g2(x,5)>0,從而f3(x)>g1(x,5)>0,繼而f2(x)>0,得到f1(x)在(0/3]內(nèi)單調(diào)上升.

    證明f1(x)=-ln(u(x))-1/v(x)*ln(x/sin(x)),由于u(0)=1,v(0)=且當(dāng)x→0+,ln(x/sin(x))→0,所以當(dāng)x→0+,f1(x)→0.而由引理3.1,當(dāng)x∈(0,/3],f1(x)關(guān)于x單調(diào)上升,從而f1(x)>0.

    證明 令w3(x)=nume(rw1(x))*denom(w1(x)),得到

    令w4((x,n)=subs(=_to_ra(tn)[2],w3+)+subs(=_to_ra(tn)[1],w3-),則w4(x,n)是關(guān)于x 的有理多項(xiàng)式,且對任意n∈N,w4(x,n)>w3(x);

    使用BOTTEMA 的xprove 指令:xprove(w4(x,n)<0,[x<_to_ra(tn)[2]/2]),當(dāng)n=2 時(shí),w4(x,n)<0 成立,即在(0/2]內(nèi)0>w4(x,2)>w3(x),從而w1(x)<0.

    證明 令f4(x)=-(ln(x/sin(x))+w2(x)/w1(x)),由引理2.2 知,在(0,/2]內(nèi)w1(x)<0,所以在(/3,/2]內(nèi)sgn(f4(x))=sgn(f2(x)).

    令f5(x)=f4(`x),則f5(x)為包含x、sin(x)、cos(x)、的分式.由于 cos(x)在(/3,/2)內(nèi)不能規(guī)范展開,作變量替換x=/2-y,則f5(x)<0 在(/3,/2)內(nèi)成立等價(jià)于在(0/6)內(nèi)g(y)=f5(/2-y)<0 成立.

    令g1(y)=numer(g(y))*denom(g(y));

    令g2(y,n)=subs(sin(y)=sin_max(y,n),g1+)+subs(sin(y)=sin_min(y,n),g1-),則對任意n∈N,g2(y,n)>g1(y);

    令g3(y,n)=subs(cos(y)=cos_max(y,n),g2+)+subs(cos(y)=cos_min(y,n),g2-),則對任意n∈N,g3(y,n)>g2(y,n);

    令g4(y,n)=sub(s=_to_ra(tn)[2],g3+)+sub(s=_to_ra(tn)[1],g3-),則g4(y,n)是關(guān)于y 的一元有理多項(xiàng)式,且g4(y,n)>g3(y,n)>g2(y,n)>g1(y);

    使用BOTTEMA 的xprove 指令:xprove(g4(y,n)<0,[y<_to_rat(n)[2]/6]), 當(dāng)n=8 時(shí),不等式g4(y,n)<0 成立,即在(0/6)內(nèi)g1(y)<0 成立,g(y)<0 成立.從而在(/3/2)內(nèi)f5(x)<0 成立.由此得到f4(x)在(/3/2)內(nèi)單調(diào)下降.

    下面討論f2(/2)的符號.令

    h1=nume(rf2(/2))*denom(f2(/2))=其中和ln(/2)需要有理化,令t=/2-1,則 t∈(0,1),ln(1+t) 可以規(guī)范展開,即對任意 n∈N,ln_max(t,n)>ln(1+t)=ln(/2)>ln_min(t,n),令 E(n)=subs(t=/2-1,ln_max(t,n)),F(xiàn)(n)=subs(t=/2-1,ln_min(t,n)),則 E(n)>ln(/2)>F(n).

    令h2(n)=subs(ln(/2)=E(n),h1+)+subs(ln(/2)=F(n),h1-);

    令h3(n)=subs(=_to_ra(tn)[2],h2(n)+)+subs(=_to_ra(tn)[1],h2(n)-),則對任意n∈N,h3(n)>h2(n)>h1.h3(n)是含n 的有理式且容易得到h3(5)<0,所以h1<0,從而f2(/2)<0.

    f2(/2)<0 就得到f4(/2)<0 成立.又由引理2.1 知f2(/3)>0,所以f4(/3)>0,從而在(/3,/2)內(nèi)存在唯一x0使得f4(x0)=0,并且在(/3,x0)內(nèi)f4(x)>0,從而f2(x)>0,在(x0,/2)內(nèi)f4(x)<0,從而f2(x)<0.

    而f2(x)=f1(`x),所以f1(x)在(/3,x0)內(nèi)單調(diào)上升,在(x0/2)內(nèi)單調(diào)下降.由推論2.1 知f1(/3)>0,從而f1(x)>0 在(/3,x0]內(nèi)成立;而f1(/2)=0,所以f1(x)>0 在(x0/2)內(nèi)成立.所以f1(x)>0 在(/3,/2)內(nèi)成立.

    由推論2.1 和引理2.3 知f1(x)>0 在(0,/2)內(nèi)成立,從而 (fx)>0 在(0,/2)內(nèi)成立,即定理2 成立.

    3 結(jié)束語

    逐次Taylor 替換是處理超越函數(shù)多項(xiàng)式不等式自動證明的有效方案,其主要思路是借助Taylor 展開式建立一個(gè)逼近目標(biāo)函數(shù)的多項(xiàng)式套,從而將證明轉(zhuǎn)化為一系列的一元多項(xiàng)式不等式的驗(yàn)證,然后借助BOTTEMA 等代數(shù)不等式證明工具完成最后的工作.算法可以處理含多個(gè)不同超越因子和復(fù)合超越因子的超越函數(shù)多項(xiàng)式不等式,在證明過程中若結(jié)合人工證明和巧妙的代換方法,更能發(fā)揮逐次Taylor 替換算法的效能.

    本文解決了一個(gè)一類形如sin(x)/x>u(x)v(x)的冪指函數(shù)不等式的機(jī)器證明問題,是逐次Taylor 替換成功運(yùn)用的案例.雖然結(jié)論是已知結(jié)果,但方法本身對同類不等式具有示范性,能夠?yàn)槲墨I(xiàn)[1-11]中其它冪指函數(shù)不等式(或冪函數(shù)不等式)的機(jī)器提供證明方案.

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