高中數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)管窺

陸國(guó)兵

（江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué)，江蘇海門 226151）

引 言

解題反思其實(shí)是從一個(gè)新的層次或角度，反思整個(gè)解題過(guò)程和方法，全面分析整個(gè)解題行為，目的是深入理解問(wèn)題，促使學(xué)生產(chǎn)生多樣化、新穎性的思維模式，掌握更多的解題方式與技巧。在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，解題教學(xué)是重要構(gòu)成部分，教師肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生反思能力的重任，應(yīng)指導(dǎo)他們自我反省與調(diào)節(jié)，以及學(xué)會(huì)反思，從而推動(dòng)教學(xué)目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn)。

一、反思數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，構(gòu)建完善知識(shí)體系

高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程中用到的知識(shí)，通過(guò)對(duì)題目的分析和解答，使其有條理、系統(tǒng)地掌握數(shù)據(jù)公式、定理知識(shí)等之間的內(nèi)在聯(lián)系，輔助他們構(gòu)建完善的知識(shí)體系[1]。

例如，在教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，教師列舉題目：在定義域R 中奇函數(shù)是g(x)，偶函數(shù)是f (x)，當(dāng)x ＝0 時(shí)，f (x) g'(x)＋f '(x) g (x)＞0，f (6)＝0，解關(guān)于x 不等式 f (x) g (x)＞0．在觀察這一題目時(shí)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)同h(x)＝f (x) g (x)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系比較密切，因此h(x)建構(gòu)函數(shù)，當(dāng)x ＞0 時(shí)，函數(shù)h(x)呈單調(diào)遞增。該道數(shù)學(xué)題目著重考察新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，學(xué)生要反思解題中用到的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)增強(qiáng)彼此之間的聯(lián)系，順利引入構(gòu)造函數(shù)，引導(dǎo)他們積極反思，全面考慮題目中的知識(shí)點(diǎn)，主要是函數(shù)定義、奇偶性等相關(guān)內(nèi)容，使其對(duì)題目的印象更加深刻。

在上述例子中，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中有不少類似題型，教師在指導(dǎo)學(xué)生反思知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，還應(yīng)要求他們進(jìn)一步理解與掌握這些知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)他們觸類旁通的知識(shí)遷移能力。

二、認(rèn)真反思題目條件，積極開(kāi)展變式教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，要想發(fā)展學(xué)生的靈活思維水平，教師需組織學(xué)生對(duì)題目中的各個(gè)條件進(jìn)行認(rèn)真反思，包括已知條件、未知條件和隱含條件等，據(jù)此展開(kāi)變式教學(xué)，通過(guò)一題多變，培養(yǎng)他們的解題反思能力[2]。

例如，在教學(xué)“不等式”時(shí)，教師設(shè)置練習(xí)題：解不等式3 ＜丨2x－3 ＜5．這道題并不難，教師要求學(xué)生反思題目中的條件，讓他們運(yùn)用多個(gè)解法解題。

解法一，依據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行分類討論求解：（1）當(dāng)2x－3 ≥0 時(shí)，不等式能夠轉(zhuǎn)化成3 ＜2x－3 ＜5 →3 ＜x＜4；（2）當(dāng)2x－3 ＜0 時(shí)，不等式能夠轉(zhuǎn)化成3 ＜－2x ＋3 ＜5 －1 ＜x ＜0，綜上求得解集是{x 丨3 ＜x ＜4 或－1＜x ＜0}．

解法二，轉(zhuǎn)化為不等式組求解：原不等式等價(jià)于丨2x - 3丨＞3且丨2x－3 丨＜5 3 ＜x ＜4 或－1 ＜x ＜0．

解法三，利用等價(jià)命題法原不等式等價(jià)于3 ＜2x－3 ＜5或－5 ＜2x－3 ＜－3，即為3 ＜x ＜4 或－1 ＜x ＜0．

如此，通過(guò)對(duì)題目條件的反思，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到條件和結(jié)論之間的關(guān)系，利用多種方法解答題目，讓他們的思維更加靈活，選擇最佳的方法來(lái)解題，有效鍛煉了他們的反思能力。

三、不斷反思解題方法，促進(jìn)思維靈活深刻

對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系來(lái)說(shuō)，解題教學(xué)既屬于教學(xué)重點(diǎn)部分，又是教學(xué)難點(diǎn)部分，為培養(yǎng)學(xué)生的解題反思能力，教師需要求學(xué)生不斷反思解題方法，指引他們從不同角度與方位思考、探究和解答問(wèn)題，拓展知識(shí)范圍，使其思維變得更加靈活與深刻。

例如，教師可以羅列應(yīng)用配方法求解的題組：（1）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an} 中，a1×a5+2a3×a5+a3×a7＝25，那么a3+a5的值是什么？利用等比數(shù)列性質(zhì)am-p×am+p＝am2，把已知等式左邊后配方（a3+a5）2容易求出答案是5．（2）方程x2+y2-4kx-2y+5k ＝0 表示圓的充要條件是什么？配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（x-a）2+（y-b）2=r2，解得r2＞0．（3）已知sin4α+cos4α=1，則sinα+cosα 的值是什么？已知等式經(jīng)配方成（sin2α+cos2α）2-2sin2αcos2α=1，求出sinαcosα，之后求出所求式的平方值，再開(kāi)方求解．（4）求函數(shù)y ＝log1/2（-2x2+5x+3）的單調(diào)遞增區(qū)間。配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解，答案為

上述例子，教師利用題組帶領(lǐng)學(xué)生一起探究解題中應(yīng)用的配方法，他們通過(guò)思考與討論，思維變得更加靈活，增強(qiáng)對(duì)配方解題法的記憶，使其反思能力得以提升和改善。

四、反思數(shù)學(xué)結(jié)論作用，鍛煉學(xué)生解題能力

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，部分題目難度較小且結(jié)論運(yùn)用得比較廣泛，假如學(xué)生只是純粹掌握解答問(wèn)題的技巧與方法，沒(méi)有深入討論和反思結(jié)論，將會(huì)影響他們反思能力的發(fā)展。為此，高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起反思結(jié)論的作用，尤其是函數(shù)類問(wèn)題需給予格外關(guān)注，通過(guò)對(duì)結(jié)論作用的反思，培養(yǎng)他們的解題能力與反思能力。

以“三角函數(shù)”教學(xué)為例，教師設(shè)計(jì)以下題目。

（1）y=sinx2cosx+sinx+cosx 時(shí)，最大值是什么？

(2)設(shè)f (x2+1)=loga(4-x4)（a ＞1），求f (x)的值域．

解析：設(shè)x2+1=t，則有f (t)=loga[-(t-1)2+4]，所以求出值域是（-∞，loga4）．(3)已知實(shí)數(shù)x、y 滿足x2+2xy-1 ＝0，求x+y 的取值范圍．解析：設(shè)x+y，則x2-2kx+1=0，Δ=4k2-4 ≥0，所以，有k ≥1 或k ≤-1．

當(dāng)學(xué)生得出這些道題目的結(jié)論后，教師要組織他們對(duì)結(jié)論進(jìn)行重點(diǎn)反思，研究解題過(guò)程的相似處，發(fā)現(xiàn)均是采用換元法。

針對(duì)上述例題，教師先要求學(xué)生解答題目，完成解題任務(wù)后，再在小組內(nèi)一起討論這些結(jié)論，反思結(jié)論的作用，回顧和討論整個(gè)解題流程，從而訓(xùn)練他們的解題反思能力。

五、著重反思易錯(cuò)問(wèn)題，提高解題的正確性

高中數(shù)學(xué)是一門難度較大的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)極易出現(xiàn)難點(diǎn)或疑點(diǎn)問(wèn)題，使他們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，像概念、定義記憶混淆，公式使用錯(cuò)誤，知識(shí)點(diǎn)記憶錯(cuò)誤等。針對(duì)這些容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)教師要高度重視，要求學(xué)生著重反思，以小組為單位進(jìn)行深入探索和研究，深化解題印象，在反思中提高解題的正確性。

例如，在教學(xué)“充分條件與必要條件”一課時(shí)，教師設(shè)計(jì)練習(xí)題：時(shí)，a、x、b 成等比數(shù)列的（ ）A.充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件；D.既非充分又非必要條件。錯(cuò)解C，當(dāng)時(shí)，a、x、b 成等比數(shù)列成立，當(dāng)a、x、b 成等比數(shù)列時(shí)，成立．正確解析應(yīng)該是這樣的：如果x ＝a ＝0，成立，不過(guò)a、x、b并不成等比數(shù)列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b 成等比數(shù)列，則所以說(shuō)不一定成立，必要性也就不成立，正確選項(xiàng)為D．學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)解的原因主要是對(duì)充分條件、必要條件等數(shù)學(xué)概念理解得不夠透徹，只要找到產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，就能夠準(zhǔn)確解題。

結(jié) 語(yǔ)

總之，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力相當(dāng)有必要，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)題目的特征優(yōu)化解題教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)、題目條件、解題方法、結(jié)論和易錯(cuò)題等角度進(jìn)行反思，全面提高他們的解題水平與反思能力。