高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中類(lèi)比思維的應(yīng)用探研

丁紅梅

摘 要：類(lèi)比思維是一種十分重要的數(shù)學(xué)思維，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中應(yīng)用廣泛。運(yùn)用類(lèi)比思維解題，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于新概念的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。文章主要分析類(lèi)比思維在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);類(lèi)比思維;學(xué)習(xí)興趣

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2019）30-0056-02

類(lèi)比思維是根據(jù)兩個(gè)具有相同或相似特征的事物間的對(duì)比，從某一事物的某些已知特征去推測(cè)另一事物的相應(yīng)特征存在的思維活動(dòng)，屬于一種綜合性的解題思維，可以有效提高學(xué)生的解題能力。高中數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯思維比較強(qiáng)的學(xué)科，要求學(xué)生擁有靈活的思路與多變的思維，對(duì)解題方法與解題技巧進(jìn)行充分的運(yùn)用。雖然數(shù)學(xué)題目具有多樣性，但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是不變的，因此教師需要運(yùn)用類(lèi)比思維，讓學(xué)生在解題過(guò)程中將相似的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)比較理解其異同，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，保證學(xué)生解題的高效性。本文從以下幾方面對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何應(yīng)用類(lèi)比思維進(jìn)行論述，以促進(jìn)學(xué)生思維能力提高，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、運(yùn)用類(lèi)比思維培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包括六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。核心素養(yǎng)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)或技能，是以學(xué)科知識(shí)技能為基礎(chǔ)，能滿足特定現(xiàn)實(shí)需求的綜合表現(xiàn)，如邏輯推理是學(xué)生解題中需要具備的一項(xiàng)能力，包括類(lèi)比、歸納、直覺(jué)推理等能力。例如，在立體幾何教學(xué)中，教師在講解柱體的相關(guān)概念、幾何表示、結(jié)構(gòu)特征后，可以引導(dǎo)學(xué)生用類(lèi)比思維研究錐體、柱體的相關(guān)知識(shí)。面對(duì)錐體體積相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生普遍感到困難，教師在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比思維，把三棱錐與三角形聯(lián)系起來(lái)，既有利于學(xué)生掌握新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例1：三角形的面積為S=（1/2）（a+b+c）·r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類(lèi)比推理，表示三棱錐的體積。

根據(jù)平面與空間之間的類(lèi)比推理，由點(diǎn)類(lèi)比點(diǎn)或直線，由直線類(lèi)比直線或平面，由內(nèi)切圓類(lèi)比內(nèi)切球，由平面圖形面積類(lèi)比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類(lèi)比求三棱錐的體積即可。設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，根據(jù)三角形的面積的求解方法——分割法，將O與四頂點(diǎn)連起來(lái)，可得三棱錐的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的四個(gè)三棱錐體積的和，即V=（1/3）（S1+S2+S3+S4）·R。

這個(gè)問(wèn)題不僅考查了錐體體積公式、分割法求體積，而且運(yùn)用了類(lèi)比推理的思想，把空間上的體積問(wèn)題類(lèi)比平面內(nèi)的面積問(wèn)題。學(xué)生在解題過(guò)程中必須運(yùn)用之前學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，然后再結(jié)合圖形進(jìn)行分析，最后寫(xiě)出解題過(guò)程。在解題教學(xué)中，教師通過(guò)對(duì)新舊知識(shí)的融合，鞏固了學(xué)生的舊知識(shí)，也提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受度。

二、運(yùn)用類(lèi)比思維深化學(xué)生的解題思想

類(lèi)比思維不僅是一種解題方法，還是一種數(shù)學(xué)思想。類(lèi)比思維可以讓學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)遷徙，進(jìn)一步加深學(xué)生的解題思想，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中類(lèi)比思維的應(yīng)用十分重要。著名數(shù)學(xué)家和教育學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中提出“當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該在腦海中回憶以前學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)題目的知識(shí)、解題方法和解題技巧并對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移，用于找到現(xiàn)有問(wèn)題的解答方案”的解題思想。在具體應(yīng)用中，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣。

例2：已知球上截得小圓的半徑為4 cm，截面與球心的距離為3 cm，求球的半徑、表面積和體積。

在面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)，首先需要思考球與半徑之間的關(guān)系。已知小圓的半徑以及截面與球心之間的距離，這兩者正好構(gòu)成垂直關(guān)系，而且從數(shù)據(jù)上看，正好與球半徑存在勾股定理的關(guān)系，因此運(yùn)用勾三股四弦五的思想可以得知球的半徑為5 cm，然后再根據(jù)表面積與體積公式進(jìn)行求值，得出表面積為100πcm2，體積為cm3。

這一題主要考查了學(xué)生的思維能力，學(xué)生首先要想到將這些已知條件與所需要求得的值進(jìn)行結(jié)合，找出它們之間的聯(lián)系。在這一解答過(guò)程中，學(xué)生主要是運(yùn)用類(lèi)比思維將已知條件與未知條件進(jìn)行類(lèi)比，找出必要的聯(lián)系。另外，這道例題不僅考查了球的表面積與體積公式，還考查了直角三角形、勾股定理等相關(guān)知識(shí)，在解題過(guò)程中學(xué)生需要靈活地運(yùn)用自己所學(xué)知識(shí)。這樣可以讓學(xué)生在解題過(guò)程中思維更加靈活，符合高中數(shù)學(xué)中對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)培養(yǎng)的教學(xué)方針。

三、運(yùn)用類(lèi)比思維優(yōu)化學(xué)生的解題思路

解題思路是解答問(wèn)題的關(guān)鍵因素，學(xué)生在解答題目時(shí)受到之前一些題目解題思路的啟發(fā)，產(chǎn)生解答新題目的解題思路，這是類(lèi)比思想在解題中的重要應(yīng)用。在解答題目時(shí)，教師要求學(xué)生先對(duì)題目的題型進(jìn)行分析，類(lèi)比條件或問(wèn)題，進(jìn)而對(duì)解題思路進(jìn)行思考。在確定解題思路時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)于題目的觀察與分析，大膽假設(shè)，并尋找其中的規(guī)律。這樣可以降低解題難度，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與效率的提升也是十分有利的。

例3：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1，P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍。

學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的相關(guān)知識(shí)，了解到橫、縱坐標(biāo)的取值范圍與a、b有關(guān)，但是對(duì)x+y的取值范圍的求法沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)。回憶到圓中有類(lèi)似的問(wèn)題：已知圓的方程為x2+y2=4，P（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍。設(shè)圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ），則x+y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+）。教師巧設(shè)輔助元素，幫助學(xué)生找出解題思路。有了圓的解題經(jīng)驗(yàn)，能否類(lèi)比遷移到橢圓中呢？只需要設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ），則x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），問(wèn)題就迎刃而解。

像這樣通過(guò)類(lèi)比相似題目獲得解題思路的例子不在少數(shù)，如橢圓的性質(zhì)可以類(lèi)比到雙曲線解題中，等差數(shù)列的性質(zhì)可以類(lèi)比到等比數(shù)列的解題中?？v然數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，只要學(xué)生勇于剝?nèi)ネ庠诘摹鞍b”，就能夠識(shí)得其本質(zhì)，解題自然也不在話下?！笆谌艘贼~(yú)，不如授之以漁”，教師在解題教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注做過(guò)的題目與新題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住題目的共同特征，并以此為切入點(diǎn)，探尋題目之間可類(lèi)比之處。類(lèi)比思維應(yīng)用能夠啟發(fā)學(xué)生的解題思路，還能夠使他們舉一反三地解決類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而大大提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，類(lèi)比思維與其說(shuō)是一種數(shù)學(xué)解題方法，倒不如說(shuō)是一種數(shù)學(xué)思維。在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用類(lèi)比思維可以有效提高數(shù)學(xué)解題效率，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，而且對(duì)于其他知識(shí)的學(xué)習(xí)都有積極的推動(dòng)作用。因此，學(xué)生在解題過(guò)程中要靈活運(yùn)用這種解題思維，將新舊知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，將已知條件與未知條件進(jìn)行類(lèi)比，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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