神奇的“三線合一”

崔客根

小學時，老師經(jīng)常提到“等腰三角形是一種特殊的三角形”。當時的我并不明白老師所說的“特殊”的含義。在我的認識里，等腰三角形就是有兩條邊相等的三角形，其中相等的兩條邊稱為腰。升入初中后，我學習了“軸對稱圖形”，對等腰三角形有了新的認識：等腰三角形底邊上高線、中線以及頂角的平分線重合，也就是大家常說的“三線合一”。直到此時，我才明白小學老師所說的“等腰三角形是一種特殊的三角形”中的特殊之處。

在處理與等腰三角形有關(guān)的問題時，我們常常運用 “三線合一”。那么如何證明“三線合一”呢？

首先我們可以從“折疊”的角度考慮。如圖1，因為△ABC為等腰三角形，所以AB=AC。在等腰△ABC中，沿著∠BAC的角平分線AD將△ABD翻折。因為∠BAD=∠CAD，所以AB落在射線AC上;因為AB=AC，所以點B與點C重合，所以△ABD和△ACD重合。不難發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對稱圖形，而且對稱軸就在頂角平分線所在的直線上。根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，我們可以得到BD=CD、AD⊥BC，所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。“三線合一”從而得到了驗證。

另一方面，我們還可以從證明全等的角度進行論證。如圖1，過點A作BC邊的垂線，垂足為點D。因為AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。因為△ABC為等腰三角形，所以AB=AC。利用“HL”我們可以證明△ABD≌△ACD，這樣我們可以得到BD=CD，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。在證明過程中我受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)除了過點A作BC的垂線，還可以作頂角∠BAC的平分線或者過點A作BC的中線，然后同樣利用三角形全等，證明“三線合一”。進一步研究發(fā)現(xiàn)，這個命題的逆命題也是成立的，我們可以用它來判斷等腰三角形。

“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，在以后的學習過程中，處理與等腰三角形有關(guān)的問題，我們可以利用這個性質(zhì)添加適當?shù)妮o助線，解決問題。

教師點評

小作者通過預習形成了對等腰三角形“三線合一”的認識。在預習過程中，他通過將等腰三角形沿著頂角平分線AD所在直線“對折”，再“展開”，一方面切身感受到“三線合一”，另一方面也發(fā)現(xiàn)“對折”就是尋找?guī)缀握撟C中“輔助線”的過程，讓后面的幾何論證有了一種“水到渠成”的感覺。從小作者文末的這句“處理與等腰三角形有關(guān)的問題，我們可以利用這個性質(zhì)……”可以看出，小作者通過預習，已經(jīng)掌握了處理等腰三角形問題的一般方法，達到了預習效果。

（指導教師：蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實驗學校 王小林）