高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的綜合分析

劉耀中 (指導(dǎo)教師：周鵬)

(湖南省衡陽市衡鋼中學(xué) 421001)

在老師講解函數(shù)和導(dǎo)數(shù)綜合解析題的過程中，有很多之間的關(guān)系都不能夠特別的理解，應(yīng)用起來也不太方便，本文主要是結(jié)合學(xué)生在高考二輪復(fù)習(xí)的過程中，通過數(shù)次的研究和分析，利用設(shè)計(jì)問題串的方式解決函數(shù)和導(dǎo)數(shù)專題的一種比較簡便的方法，希望能夠幫助到更多的學(xué)生解決相應(yīng)的問題，運(yùn)用的更加方便快捷.

一、例題分析

問題一：當(dāng)a取何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線？

問題二：用min(m,n)表示m,n當(dāng)中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

首先對題目進(jìn)行分析，在本道例題當(dāng)中需要考察的主要是三次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的問題，涉及到主要的知識點(diǎn)有切線、最值和零點(diǎn)問題，除此之外還有參數(shù)、新定義問題，尤其是第二個(gè)問題，需要涉及到的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)比較多，也比較復(fù)雜，因此我們需要先設(shè)計(jì)問題串，就是說搭建解析的支架，這樣解析相對來說也就比較簡單了.

二、設(shè)計(jì)問題串

問題串是方便我們?nèi)ダ斫夂徒馕鰡栴}的，因此設(shè)計(jì)的時(shí)候要逐漸的加深，從簡單的問題向復(fù)雜的問題引入.

問題一：比如說從函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)方程推算出函數(shù)方程的圖象和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與函數(shù)g(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣問題的設(shè)計(jì)能夠?qū)⒃镜膯栴}轉(zhuǎn)化為方程的根進(jìn)行解析.

問題二：根據(jù)上述的題目我們已經(jīng)知道m(xù)in(m,n)表示m,n當(dāng)中的最小值，所以將

h(x)=min{x+1，-lnx}(x>0)的圖象畫出來，并且計(jì)算出h(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).這個(gè)問題可以充分的理解min(m,n)是什么意思？然后用數(shù)形結(jié)合的思想解析函數(shù)的零點(diǎn)問題.

問題三：分析函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性質(zhì)和圖象.

比如說當(dāng)a>0的時(shí)候，三次函數(shù)的圖象大致是什么樣子的？當(dāng)a<0的時(shí)候，三次函數(shù)的圖象又是什么樣子的？三次函數(shù)如果有極值點(diǎn)的化，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)會有兩個(gè)，如果三次函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么零點(diǎn)至少應(yīng)該有1個(gè)，最多不能超過3個(gè).這個(gè)問題會讓我們對圖象做到足夠的了解和熟悉，為三次函數(shù)的零點(diǎn)求解做出鋪墊.

三、例題解析

在解析之前我們要清楚函數(shù)h(x)的零點(diǎn)等價(jià)于哪一個(gè)函數(shù)區(qū)間的零點(diǎn)，通過這個(gè)問題我們就能找到h(x)零點(diǎn)問題的突破口.

第一種情況，當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)=3x2+a>0，并且x∈(0,+)恒成立，

可以得出函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).

在上述解題的過程中，首先對題目進(jìn)行了分析，就像是我們平常在考試的時(shí)候拿到試卷要先審題，了解在題目中給出的條件以及需要考查的是什么問題，當(dāng)把這個(gè)問題了解清楚之后，再去解題就會容易很多.然后再根據(jù)題目的意思列出解題的思路，就是在上述的過程中我們用到的設(shè)計(jì)問題串，從上述可以看到：問題是按照難易的層次逐漸遞進(jìn)的，根據(jù)解題的思路將設(shè)計(jì)的問題一步步的解決，為最后的解析過程做一個(gè)很好的鋪墊，最后的問題也就迎刃而解了.無論是老師們在講解的過程中，還是我們自己在解題的過程中，關(guān)于數(shù)學(xué)的問題相對來說都是比較抽象的，因此要掌握圖象運(yùn)用的方法，在解題的過程中多次進(jìn)行畫圖的測試，圖象能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識和概念呈現(xiàn)出來，再去解題的時(shí)候相對來說就比較容易了，在一定程度上降低了問題的難度.就像在上述的過程中，通過對a的六種情況的分析，將函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)逐漸的求解出來，這也是一個(gè)解題的策略，對參數(shù)的范圍進(jìn)行討論，要保證不重不漏，這樣的話就會讓整道題變得簡潔明了，便于實(shí)質(zhì)性的操作，對我們以后在模擬和高考中都有很大的幫助.