解析幾何問題中的“設(shè)點(diǎn)法”求解策略

張明建

(福建省浦城縣第一中學(xué) 353400)

由于圓錐曲線的最值、定值、定點(diǎn)問題是近年高考的高頻考點(diǎn)，對(duì)考生分析、解決問題的能力要求較高，具有一定的難度和區(qū)分度，所以本文擬通過歸類解析的形式，著重幫助學(xué)生理清如何借助“設(shè)點(diǎn)法”巧妙處理此類問題.

一、處理圓錐曲線中的最值問題

在圓錐曲線與直線、圓、向量等知識(shí)的綜合問題中，求解有關(guān)最值問題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)法”，先獲得與目標(biāo)問題緊密相關(guān)的一個(gè)代數(shù)式，再結(jié)合基本不等式求解最值.

設(shè)直線l與橢圓長軸交于點(diǎn)M，則可得M(2m,0)，又由圖易知y1y2<0，

所以S△OPQ=S△OMP+S△OMQ

二、處理圓錐曲線中的定值問題

在圓錐曲線與直線、圓、向量等知識(shí)的綜合問題中，求解有關(guān)定值問題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)法”，關(guān)鍵在于結(jié)合目標(biāo)問題進(jìn)行相關(guān)的字母形式的代數(shù)運(yùn)算，并獲得化簡結(jié)果為定值.

解析因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x.由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2(k=0)，

得k2x2+(4k-4)x+4=0.

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

將(*)代入化簡得

α+β=-1.

故α+β為定值，且定值為-1．

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)法”，先求出關(guān)于直線l與拋物線的二元一次方程，然后將二者交點(diǎn)A，B兩點(diǎn)設(shè)出，之后根據(jù)二元一次方程的性質(zhì)構(gòu)建根與系數(shù)之間的關(guān)系，從而求出答案.本題側(cè)重通過進(jìn)行一些相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到證明或探究的目的，突出地體現(xiàn)了高考考查的一個(gè)很重要的核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)運(yùn)算.

三、處理圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

在圓錐曲線與直線、圓、向量等知識(shí)的綜合問題中，求解有關(guān)定點(diǎn)問題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)法”，對(duì)于證明直線恒過定點(diǎn)問題，需要靈活運(yùn)用直線方程的點(diǎn)斜式或斜截式加以分析；對(duì)于考查是否存在定點(diǎn)問題，需要靈活運(yùn)用先假設(shè)存在，再合情推理的思路加以分析.

解析假設(shè)存在定點(diǎn)N(x0,0)滿足題設(shè)條件.

當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R.

當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)PQ的方程為y=k(x-1)，代入橢圓方程化簡得：

(k2+2)x2-2k2x+k2-8=0.

(x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0)

=2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0

又由∠PNM=∠QNM，得kPN+kQN=0,

整理得k(x0-4)=0.

又注意到k∈R,所以x0=4.

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)N(4,0)，使得∠PNM=∠QNM.

評(píng)注本題第二問求解的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)：一是必須明確“是否存在型”問題的常用處理方法，即考慮題設(shè)的所有條件，并進(jìn)行正確的分類討論，將各種情況逐一進(jìn)行解答；二是運(yùn)用設(shè)點(diǎn)法的一般原則，將橢圓與動(dòng)直線相交的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合一般情況下∠PNM=∠QNM可等價(jià)轉(zhuǎn)化為kPN+kQN=0，從而便于與具體的代數(shù)運(yùn)算緊密起來，有效地解決問題.

總之，處理圓錐曲線中的有關(guān)“最值、定值、定點(diǎn)”問題時(shí)，往往需要靈活運(yùn)用“設(shè)點(diǎn)法”以及相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法. 此外，結(jié)合上述歸類解析，希望能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步提高分析、解決問題的能力以及對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的綜合運(yùn)用能力.