基于Bell態(tài)的任意兩粒子態(tài)對(duì)稱雙向遠(yuǎn)程制備

廖延娜, 馮宇森

(西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

量子糾纏是指當(dāng)幾個(gè)粒子彼此相互作用后，各個(gè)粒子所擁有的特性已經(jīng)綜合成為整體性質(zhì)，只能描述整體系統(tǒng)的性質(zhì)，無(wú)法單獨(dú)描述各個(gè)粒子的性質(zhì)。處于糾纏態(tài)的兩個(gè)量子，在未對(duì)其進(jìn)行測(cè)量時(shí)，其狀態(tài)不能確定；當(dāng)對(duì)其中的一個(gè)量子位進(jìn)行測(cè)量后，無(wú)須測(cè)量即可獲得另一個(gè)量子的狀態(tài)[1]。量子之間糾纏態(tài)的性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于量子密集編碼[2]、量子安全直接通信[3-4]和量子計(jì)算[5-7]等領(lǐng)域。

量子糾纏的一個(gè)典型應(yīng)用是量子遠(yuǎn)程制備[8-11]。量子遠(yuǎn)程制備是指通過(guò)建立量子糾纏和經(jīng)典信息傳遞，在遠(yuǎn)處制備本地已知量子態(tài)(稱為初態(tài))的過(guò)程[10]。通過(guò)量子遠(yuǎn)程制備可以實(shí)現(xiàn)信息的遠(yuǎn)程安全傳輸。

雙向遠(yuǎn)程制備協(xié)議(bidirectional remote state preparation, BRSP)[12]的提出引起了廣泛的關(guān)注。目前量子遠(yuǎn)程狀態(tài)制備的研究中，較多是雙向制備單粒子態(tài)[13-16]，以及控制量子遠(yuǎn)程制備和量子隱形傳態(tài)單粒子態(tài)的雙向混合[17-18]，其中以6粒子和7粒子的糾纏信道方案最為典型。這些方案?jìng)魉偷牧Ｗ虞^少，雙向制備單粒子態(tài)的傳送效率為14.28%～18.75%，傳送效率較低。

為了安全傳遞更多信息，改進(jìn)的雙向制備方案被陸續(xù)提出。如不對(duì)稱雙向制備單粒子態(tài)和二粒子態(tài)[19]、不對(duì)稱雙向制備單粒子態(tài)和四粒子態(tài)[20]等方案，這些方案?jìng)魉偷牧Ｗ虞^多，傳送效率為13.04%～18.75%，但是信道復(fù)雜、經(jīng)典資源消耗較多；雙向制備三粒子態(tài)[21]方案的制備成功概率一般只有1/4左右。雙向遠(yuǎn)程制備任意兩粒子態(tài)是目前量子遠(yuǎn)程制備的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)。文獻(xiàn)[22]提出了一種雙向受控遠(yuǎn)程制備任意兩粒子態(tài)方案，其傳送效率為18.18%。但是該方案采用13量子位的糾纏信道，信道復(fù)雜度較高，實(shí)現(xiàn)難度較大。

為了提高傳送效率，降低量子糾纏信道的復(fù)雜度，減少遠(yuǎn)程制備過(guò)程中經(jīng)典資源的消耗，受文獻(xiàn)[23]和[24]的啟發(fā)，本文擬構(gòu)造一個(gè)由4個(gè)Bell信道糾纏構(gòu)成的特殊糾纏信道，Alice和Bob通過(guò)選擇合適的測(cè)量基，對(duì)量子位進(jìn)行投影測(cè)量，把測(cè)量結(jié)果分別發(fā)送給對(duì)方，通過(guò)對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)溺壅儞Q來(lái)制備初態(tài)。

1 實(shí)系數(shù)雙向兩粒子態(tài)遠(yuǎn)程制備

假設(shè)Alice想要幫助接收者Bob遠(yuǎn)程制備一個(gè)兩量子位狀態(tài)

|ψ(1)〉A(chǔ)=a0|00〉+a1|01〉+a2|10〉+a3|11〉。

同時(shí)，Bob希望在Alice的地點(diǎn)制備另一個(gè)兩量子位狀態(tài)

|ψ(1)〉B=b0|00〉+b1|01〉+b2|10〉+b3|11〉。

在Alice和Bob之間構(gòu)造一個(gè)由4個(gè)Bell信道糾纏構(gòu)成的糾纏信道|φ〉12345678，Alice持有量子位(1,3,5,7)，Bob持有量子位(2,4,6,8)。該8粒子糾纏信道可以表示為

整理得到

接下來(lái)Alice和Bob將進(jìn)行雙向?qū)ΨQ遠(yuǎn)程制備。

1.1 投影測(cè)量

Alice對(duì)粒子(1,3)位、Bob對(duì)粒子(6,8)位分別進(jìn)行投影測(cè)量[24]。Alice對(duì)粒子(1,3)位進(jìn)行投影測(cè)量時(shí)，選擇的測(cè)量基|δs〉(s=1,2,3,4)分別為

|δ〉1=a0|00〉+a1|01〉+a2|10〉+a3|11〉， |δ〉2=-a3|00〉+a2|01〉-a1|10〉+a0|11〉， |δ〉3=a2|00〉+a3|01〉-a0|10〉-a1|11〉， |δ〉4=a1|00〉-a0|01〉-a3|10〉+a2|11〉。

Bob對(duì)粒子位(6,8)進(jìn)行投影測(cè)量時(shí)，所選擇的測(cè)量基|σj〉(j=1,2,3,4)分別為

|σ〉1=b0|00〉+b1|01〉+b2|10〉+b3|11〉， |σ〉2=b1|00〉-b0|01〉+b3|10〉-b2|11〉， |σ〉3=b2|00〉-b3|01〉-b0|10〉+b1|11〉， |σ〉4=b3|00〉+b2|01〉-b1|10〉-b0|11〉。

投影測(cè)量的結(jié)果為塌縮態(tài)

|Ys,j〉2457=13〈δs|68〈σj||φ〉13245768。

(1)

投影測(cè)量的結(jié)果共有N1種，N1的表達(dá)式為

N1=|{(δs,σj):s,j=1,2,3,4}|=16。

1.2 測(cè)量結(jié)果的幺正變換

測(cè)量結(jié)束后，Alice和Bob把他們各自的測(cè)量結(jié)果分別發(fā)送給對(duì)方，然后Alice和Bob對(duì)收到的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行一個(gè)相應(yīng)的幺正變換，即量子門變換[25]，將測(cè)量結(jié)果變?yōu)槌鯌B(tài)，實(shí)現(xiàn)雙向遠(yuǎn)程制備成功。

投影測(cè)量時(shí)Alice和Bob每人分別得到了4種測(cè)量結(jié)果。因?yàn)檫h(yuǎn)程制備雙向同時(shí)進(jìn)行，所以整個(gè)雙向遠(yuǎn)程制備共有16種測(cè)量結(jié)果，對(duì)應(yīng)了16種不同的幺正變換，如表1所示。

表1 Alice、Bob的測(cè)量基以及相應(yīng)的幺正變換操作

在表中I、Z和X分別表示對(duì)相應(yīng)量子位進(jìn)行I門、Z門和X門變換。如I57表示對(duì)量子位(5,7)進(jìn)行一個(gè)I門的變換。

以Alice選擇測(cè)量基|δ1〉、Bob選擇測(cè)量基|σ1〉為例，來(lái)說(shuō)明投影測(cè)量及幺正變換的計(jì)算過(guò)程。當(dāng)Alice選擇測(cè)量基|δ1〉對(duì)量子位(1,3)進(jìn)行投影測(cè)量，同時(shí)Bob選擇測(cè)量基|σ1〉對(duì)量子位(6,8)進(jìn)行投影測(cè)量時(shí)，由式(1)可得測(cè)量結(jié)果為

測(cè)量結(jié)束后，Alice和Bob把他們的測(cè)量結(jié)果分別發(fā)送給對(duì)方，Alice對(duì)量子位(5,7)使用I門變換，可以成功得到狀態(tài)|ψ(1)〉B；Bob對(duì)量子位(2,4)使用I門變換，可以成功得到狀態(tài)|ψ(1)〉A(chǔ)，雙向遠(yuǎn)程制備完成。

由表1可知在16種測(cè)量結(jié)果中，Alice的4種測(cè)量結(jié)果和Bob的4種測(cè)量結(jié)果每個(gè)出現(xiàn)了4次，所以只需要分別計(jì)算驗(yàn)證Alice和Bob的這4種幺正變換即可。對(duì)16種測(cè)量結(jié)果進(jìn)行表中相應(yīng)的幺正變換，每一種測(cè)量結(jié)果都能還原回初態(tài)，說(shuō)明雙向遠(yuǎn)程制備的成功概率為100%。

2 復(fù)系數(shù)雙向兩粒子態(tài)遠(yuǎn)程制備

在量子態(tài)|ψ(1)〉A(chǔ)和|ψ(1)〉B的基礎(chǔ)上增加相位因子，即Alice想要在Bob處遠(yuǎn)程制備|ψ(2)〉A(chǔ)，其表達(dá)式為

|ψ(2)〉A(chǔ)=a0eiλ0|00〉+a1eiλ1|01〉+a2eiλ2|10〉+a3eiλ3|11〉。

由于a0、a1、a2、a3和λ均為Alice已知的實(shí)數(shù)，且|eiλ|2=1，則a0eiλ0、a1eiλ1、a2eiλ2和a3eiλ3為滿足歸一化條件的任意復(fù)系數(shù)。

同時(shí)，Bob希望幫助Alice來(lái)遠(yuǎn)程制備|ψ(2)〉B，其表達(dá)式為

|ψ(2)〉B=b0eiφ0|00〉+b1eiφ1|01〉+b2eiφ2|10〉+b3eiφ3|11〉。

由于b0、b1、b2、b3和φ均為Bob已知的實(shí)數(shù)，且|eiφ|2=1，則b0eiφ0、b1eiφ1、b2eiφ2和b3eiφ3、為滿足歸一化條件的任意復(fù)系數(shù)。

在復(fù)系數(shù)情況下，假設(shè)在雙方共享的4個(gè)Bell信道中，Alice和Bob分別引入兩個(gè)輔助粒子(A1,A2)和(B1,B2)，則粒子A1、A2、B1、B2可分別表示為|0〉A(chǔ)1、|0〉A(chǔ)2、|0〉B1、|0〉B2。Alice持有量子位(1,3,5,7,A1,A2)，Bob持有量子位(2,4,6,8,B1,B2)。其中，粒子(1,3,6,8)為控制量子位，輔助粒子(A1,A2,B1,B2)為目標(biāo)量子位。則引入輔助粒子的量子信道可表示為

(2)

Alice和Bob分別對(duì)粒子(1,A1)、(3,A2)和(6,B1)、(8,B2)執(zhí)行C- NOT操作，則量子信道變?yōu)?/p>

為了雙向遠(yuǎn)程制備，Alice和Bob需要選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量基來(lái)進(jìn)行投影測(cè)量。

2.1 投影測(cè)量

其中，

其中，

投影測(cè)量的結(jié)果為塌縮態(tài)

(3)

投影測(cè)量的結(jié)果共有N2種，其表達(dá)式為

2.2 測(cè)量結(jié)果的幺正變換

測(cè)量結(jié)束后，Alice和Bob分別把他們的測(cè)量結(jié)果分別發(fā)送給對(duì)方，然后Alice和Bob對(duì)獲得的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行一個(gè)合適的幺正變換，將測(cè)量結(jié)果變?yōu)槌鯌B(tài)，實(shí)現(xiàn)雙向遠(yuǎn)程制備。

Alice和Bob分別選擇兩組正交測(cè)量基對(duì)自己的粒子進(jìn)行投影測(cè)量，每人可以得到16種測(cè)量結(jié)果。由于雙向遠(yuǎn)程制備同時(shí)進(jìn)行，所以整個(gè)雙向遠(yuǎn)程制備共有256種測(cè)量結(jié)果，對(duì)應(yīng)了256種不同的幺正變換。

表2 Alice、Bob的測(cè)量基以及相應(yīng)的幺正變換

由式(3)可得測(cè)量結(jié)果|Ts,l,j,k〉為

測(cè)量結(jié)束后，Alice和Bob把他們的測(cè)量結(jié)果分別發(fā)送給對(duì)方，Alice對(duì)量子位(5,7)使用I門變換，得到狀態(tài)|ψ(2)〉B，Bob對(duì)量子位(2,4)使用I門變換，得到狀態(tài)|ψ(2)〉A(chǔ)，則雙向遠(yuǎn)程制備完成。

由于雙向遠(yuǎn)程制備共有256種測(cè)量結(jié)果，相對(duì)應(yīng)的就有256種幺正變換來(lái)制備初態(tài)。在256種測(cè)量結(jié)果中，Alice的16種測(cè)量結(jié)果和Bob的16種測(cè)量結(jié)果每個(gè)出現(xiàn)了16次，所以只需要分別計(jì)算驗(yàn)證Alice和Bob的這16種幺正變換，就可以驗(yàn)證本方案256種測(cè)量結(jié)果的每一種都能還原回初態(tài)，即雙向遠(yuǎn)程制備的成功概率為100%。

3 傳送效率分析

信息傳送效率[26]是量子遠(yuǎn)程制備方案的重要指標(biāo)，其計(jì)算公式為

其中，qp表示由待制備的量子信息組成的量子位元數(shù)；qc表示用作量子信道的量子位元數(shù)，為通道中使用的量子位數(shù)加上輔助量子位數(shù)；xt表示傳輸?shù)慕?jīng)典位元數(shù)。

本方案的待制備量子信息組成量子位元數(shù)qp為4，用作量子信道的量子位元數(shù)qc為12，xt傳輸?shù)慕?jīng)典位元數(shù)xt為8，傳送效率為20%，高于文獻(xiàn)[18-20,22,24]的傳送效率。這是由于本方案?jìng)魉土Ｗ虞^多，同時(shí)優(yōu)化了信道，消耗的經(jīng)典資源少，因此提高了傳送效率。

4 結(jié)語(yǔ)

提出了一個(gè)利用4個(gè)Bell糾纏態(tài)構(gòu)成的信道雙向遠(yuǎn)程制備任意兩粒子態(tài)方案。初態(tài)為實(shí)系數(shù)時(shí)，Alice和Bob分別利用與量子信道相匹配的正交測(cè)量基投影測(cè)量；初態(tài)為復(fù)系數(shù)時(shí)，Alice和Bob分別引入一個(gè)輔助粒子，利用實(shí)數(shù)測(cè)量基進(jìn)行投影測(cè)量后，分別使用與信道和實(shí)數(shù)測(cè)量基相匹配的復(fù)數(shù)測(cè)量基對(duì)輔助粒子進(jìn)行投影測(cè)量。Alice(Bob)對(duì)自己的量子位進(jìn)行投影測(cè)量后，將投影測(cè)量的結(jié)果發(fā)送給對(duì)方，Bob(Alice)對(duì)所得到的塌縮態(tài)進(jìn)行幺正變換，即可成功得到初態(tài)，實(shí)現(xiàn)Alice和Bob之間的任意兩粒子態(tài)的雙向?qū)ΨQ遠(yuǎn)程制備。對(duì)比雙向單粒子態(tài)的遠(yuǎn)程制備、單粒子態(tài)和兩粒子態(tài)雙向不對(duì)稱遠(yuǎn)程制備、單向聯(lián)合兩粒子態(tài)遠(yuǎn)程制備等方案，本方案增加了傳送的粒子態(tài)數(shù)量和信息傳送量，實(shí)現(xiàn)了成功率達(dá)到100%、傳送效率為20%的雙向遠(yuǎn)程制備。