結(jié)合圖像，高效學(xué)習(xí)——初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的解題應(yīng)用

江蘇省邗江中學(xué)北區(qū)校維揚(yáng)中學(xué) 徐 亮

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，其專(zhuān)業(yè)的指導(dǎo)思想決定了數(shù)學(xué)研究的方法，其中，數(shù)形結(jié)合思想在研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系和空間形態(tài)上起著非常重要的作用，其指導(dǎo)學(xué)生將抽象問(wèn)題借助圖形等，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單問(wèn)題。但是實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生雖然知道有數(shù)形結(jié)合思想，但是卻不能夠巧妙運(yùn)用其分析解決問(wèn)題，因此，教師要突出數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的訓(xùn)練。

一、數(shù)形結(jié)合在公式證明中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)解題中最常見(jiàn)的思想就是數(shù)形結(jié)合，其廣泛應(yīng)用在公式證明上。與其他數(shù)學(xué)思想相比，數(shù)形結(jié)合的思想利用直觀的圖像構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，方便學(xué)生從題目中獲取信息，作出與解題有關(guān)的輔助線，從而得出相應(yīng)的結(jié)論。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和解題效率上有著非常重要的作用。

比如初中數(shù)學(xué)教材中的平方差公式的證明，其運(yùn)用的面積法就是數(shù)形結(jié)合方法的具體體現(xiàn)。為了便于學(xué)生更加直觀地觀察，教師在用面積法驗(yàn)證平方差公式時(shí)，可以讓學(xué)生先拿出任意邊長(zhǎng)的正方形紙張，這里假定邊長(zhǎng)為m，然后沿著其中一角，剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為n的小正方形，這樣就有兩個(gè)邊是m-n，接著再將其中一個(gè)突出的圖形沿著寬為n 的部分剪開(kāi)，并將其和長(zhǎng)為m，寬為m-n 的部分拼在一起組成一個(gè)長(zhǎng)方形，最后可以根據(jù)圖形拼接得到面積等式：m2-n2＝（m+n）（mn），這樣就證明了平方差公式。

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題上的應(yīng)用

一般初中的函數(shù)題除了使用待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法也是非常常見(jiàn)的方法，比如學(xué)生經(jīng)常遇到的給點(diǎn)坐標(biāo)求面積，或者是已知面積求點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，都是以基本公式思想為依托。一般與函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，題目本身是沒(méi)有圖的，如果學(xué)生不能照著題干畫(huà)出大致圖像，干想是想不出的，而且一些涉及函數(shù)待定系數(shù)的問(wèn)題，學(xué)生只有通過(guò)畫(huà)圖才能知道函數(shù)的大致性質(zhì)，需要對(duì)哪些量進(jìn)行分類(lèi)討論。比如一次函數(shù)的k 和b，二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸的位置、解的個(gè)數(shù)，這些只有通過(guò)直觀形象的圖像才能保證解題的完整性。

三、數(shù)形結(jié)合在證明幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法除了能夠用于公式證明和解函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，在幾何證明上面也運(yùn)用得很多。初中涉及的證明題大多都是與三角形有關(guān)的，需要學(xué)生去添加輔助線，基本上輔助線作對(duì)了，證明就沒(méi)有什么問(wèn)題了，因此，在線段相等、角相等這些方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生多作三角形的中線、角平分線、高去構(gòu)造三角形，然后再利用全等、相似的性質(zhì)證明線段與線段、角與角之間的關(guān)系。

比如：“BF 是△BCD 的中線，DE ⊥BF 于E，CG ⊥BF 交BF的延長(zhǎng)線于G，求證：CG ＝DE”，這是典型的用數(shù)學(xué)結(jié)合方法中的面積法證線段相等的題型，而且從題意來(lái)看，必然要作輔助線構(gòu)造出三角形，因?yàn)槊娣e法大多就是利用三角形的面積關(guān)系來(lái)求解。

四、數(shù)形結(jié)合在概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

初中教材中，概率統(tǒng)計(jì)部分也涉及數(shù)形結(jié)合思想，正如我們正?？吹降囊恍┖?jiǎn)單的隨機(jī)事件都可以用樹(shù)狀圖、折線圖、折線圖進(jìn)行分析，還有比較常見(jiàn)的與陰影部分面積有關(guān)的概率題。比如：“邊長(zhǎng)為a 的正方形里面有一個(gè)半徑為b 的圓形陰影，現(xiàn)在往這個(gè)正方形里投石子，那么石子落在陰影部分的概率是多少？”這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的概率題，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖就能知道概率是

數(shù)形結(jié)合思想還可以解決與實(shí)際生活相關(guān)的問(wèn)題，比如用來(lái)判斷一場(chǎng)比賽是否公平：“A、B 兩個(gè)同學(xué)在墻上畫(huà)出半徑為20cm 和40cm 的同心圓，然后在與墻相距相同距離處扔同樣數(shù)量的飛鏢，投到小圓內(nèi)就判定為A 勝，投到大圓里就是B 勝，忽略剛好在兩條線上的，沒(méi)投中的不作數(shù)，現(xiàn)在判斷游戲是否公平？”學(xué)生比較A、B兩人投中的概率，得出結(jié)論是不公平。

此外，日常中經(jīng)常遇到求解不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題，也離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合和概率的思想，教師可以讓學(xué)生依葫蘆畫(huà)瓢，仿照之前利用面積法求概率的題型，假定把要求的不規(guī)則圖形面積圈出來(lái)，在其外面或者是里面找出一個(gè)規(guī)則圖形，仿照題目中經(jīng)常讓求石子、飛鏢等投進(jìn)規(guī)定區(qū)域的概率的思想，學(xué)生可以自己往劃定的區(qū)域去投硬幣，記錄投到不規(guī)則圖形里面的次數(shù)，然后與總次數(shù)相比，得出一個(gè)概率值，這個(gè)概率值與面積有關(guān)，自然就能得到不規(guī)則圖形的面積。

總之，數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的思想之一，教師要認(rèn)真?zhèn)湔n進(jìn)行歸納總結(jié)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，開(kāi)拓學(xué)生的思維能力，從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。