斐波那契行列式序列若干問題探究

呂淑婷

(北方民族大學數(shù)學與信息科學學院，銀川750021)

0 引言

行列式序列應用于許多自然學科領域，作為線性代數(shù)的一個重要分支，目前已經(jīng)取得很多成果。斐波那契行列式序列在邱森主編的《高等代數(shù)探究性課題精編》一書中就有研究，它是一個類似于斐波那契數(shù)列的行列式序列，有著類似的遞推公式，斐波那契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義［1］:

斐波那契行列式序列在給定一個三對角矩陣(主對角線元素為1，上對角線元素為－1，下對角線元素為1)以如下被以遞歸的方法定義:

在研究構造斐波那契行列式序列中，三對角行列式和海森堡行列式起著至關重要的作用。在線性代數(shù)、計算數(shù)學中三對角行列式的研究一直受到人們的關注，如三對角行列式的計算，用三對角行列式推導斐波那契數(shù)列的通項公式。同時，三對角行列式是海森堡行列式的特例，海森堡行列式在數(shù)值代數(shù)中有著重要作用，本文也介紹了海森堡行列式的定義以及在計算行列式方面的應用。

1 斐波那契行列式序列

斐波那契數(shù)列與斐波那契行列式序列之間的關系，簡單來說就是行列式序列計算得到的數(shù)可以構成一個斐波那契數(shù)列。

例1［2］Fn是主對角線元素為2、上對角線元素為1、主對角線以下元素皆為1的矩陣

只要將|Fn|按照第1列展開就可以得到|Fn|=|Fn－1|+|Fn－2|，n≥3，從而構成斐波那契行列式序列。

定義1 行列式序列 {|Fn|} ，即 |F1|=2，|F2|=3，|F3|=5，|F4|=8，…，|Fn|=|Fn－1|+|Fn－2|，n≥3構成斐波那契行列式序列。

2 斐波那契行列式序列與三對角行列式

定義2 主對角線上的元素與主對角線上方和下方第一條次對角線上元素不全為0，而其余元素全為0的矩陣為三對角矩陣，形如

對于行列式|B|，我們稱之為三對角行列式，有

(1)用三對角行列式可推出斐波那契數(shù)列的遞推公式Dn=Dn－1+Dn－2

當n＞2時，Dn=Dn－1+Dn－2滿足斐波那契數(shù)列的遞推關系式及其初始條件。

(2)表示斐波那契數(shù)列的通項公式

三對角行列式的計算公式，有a2≠4bc，由

可得斐波那契數(shù)列的通項公式［3－4］

3 斐波那契行列式序列與海森堡行列式

定義3 對于方陣H，若i＞j+1時，元素aij為0，則稱H是上海森堡行列式;若i＜j－1時，元素aij為0，則稱H為下海森堡行列式，形如

為下海森堡行列式。

容易看出，上海森堡行列式的下對角線以下的元素全為0，而下海森堡行列式的上對角線以上的元素全為0。

而三對角行列式是海森堡行列式的特例，如果A既是上海森堡行列式，又是下海森堡行列式，則稱A為三對角行列式，其非零元素只在三條對角線上出現(xiàn)，因而斐波那契行列式序列也可由海森堡行列式構造。

個n階海森堡矩陣，而b11=1，c11=2，可得遞推公式

因而行列式序列 B1、C1、B2、C2、B3、C3、B4、C4、…構成斐波那契行列式序列1、2、3、5、8、13、21、34、55、…

進一步，如果將Cn中的上對角線的元素都改為1，得到n階海森堡矩陣

將 Fn按照第n列展開，得到 Fn= Fn－1+ Fn－2，n≥3，因而行列式數(shù)列 { Fn}構成斐波那契序列。

對于以上，得到的是特殊的海森堡矩陣的行列式構成斐波那契序列，下面將此結論加以推廣，得到一般的海森堡矩陣行列式的遞推公式。

命題1 設n階海森堡矩陣

n≥1，定義 H0=1，H1=h11。

證明 ⅰ)當n=2時，H2=h22h11－h(huán)21h12，成立;

ⅱ)假設對n=k時，結論成立，則當n=k+1時，按第k+1行展開，有

在實際中，很多行列式可以化歸為三對角行列式、海森堡行列式，利用斐波那契遞推公式或其他遞推公式計算出行列式的值，而遞推法對大多數(shù)海森堡行列式的計算都行之有效。

4 行列式計算的應用

(1)化為海森堡行列式去計算

例4 計算n階行列式

解 從最后一行開始，后一行減去前一行轉化為海森堡型行列式

按最后一列展開，利用行列式性質有

以上介紹了如何將一些行列式轉化為海森堡型行列式，然后利用遞推公式計算，需要注意的是在遞推的時候也有一些技巧在里面，這也是上面這種方法在運用中的一個難點，轉化為海森堡型行列式來計算的方法也許不是這些行列式最簡單的計算方法，但不失為一種啟發(fā)思維的好方法。

(2)利用三對角行列式［5－6］這是一個行列式值符合廣義斐波那契序列的情況=0(p2+4q＞0)的兩根，滿足Dn=pDn－1+qDn－2，當p=q=1時為斐波那契序列，此時方程x2－px－q=0就為x2－x－1=0的兩根，分別為，同樣可求得Dn的通項為

當然，用上面的結論易得

這為求一些特殊的行列式提供了方法。