基于IGOWLA算子及三元區(qū)間數(shù)相似度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

杜康， 袁宏俊

( 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233030 )

0 引言

由于預(yù)測(cè)對(duì)象的復(fù)雜性和不確定性，利用單一方法進(jìn)行預(yù)測(cè)其結(jié)果往往不夠精確，甚至可能產(chǎn)生較大的偏差.為了解決這一問(wèn)題，1969年Bates等[1]首次提出了組合預(yù)測(cè)方法.由于組合預(yù)測(cè)方法能有效地提高預(yù)測(cè)精度，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.早期的組合預(yù)測(cè)模型主要研究的是實(shí)數(shù)型數(shù)據(jù)，但由于預(yù)測(cè)對(duì)象往往受很多不確定性因素的影響，因此區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法逐漸受到人們的重視.目前，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的研究主要分為以下3種： ①利用區(qū)間數(shù)的左、右端點(diǎn)或區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)和半徑構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型.例如：文獻(xiàn)[2]利用誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(IOWGA)算子分別對(duì)區(qū)間數(shù)的左、右端點(diǎn)進(jìn)行集結(jié)，以對(duì)數(shù)誤差平方和作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.文獻(xiàn)[3]利用誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子分別對(duì)區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)和半徑進(jìn)行集結(jié)，以相關(guān)系數(shù)作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.文獻(xiàn)[4]利用區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)和半徑，并將灰色關(guān)聯(lián)度作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種定權(quán)系數(shù)和變權(quán)系數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型.②通過(guò)信息集成算子(COWA算子[5]、COWHA算子[6]等)將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，然后利用該實(shí)數(shù)構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型.例如：文獻(xiàn)[7]提出了一種誘導(dǎo)有序加權(quán)連續(xù)區(qū)間廣義有序加權(quán)平均(IOWC-GOWA)算子，然后利用該算子將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，并選取指數(shù)支撐度作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.文獻(xiàn)[8]提出了一種連續(xù)區(qū)間有序幾何加權(quán)平均Power(COWG -WPA)算子，然后利用該算子將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，并選用廣義絕對(duì)誤差λ次和作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.文獻(xiàn)[9]利用誘導(dǎo)連續(xù)有序加權(quán)平均(ICOWA)算子將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，并通過(guò)引入Theil不等系數(shù)構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.③將區(qū)間數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，目前相關(guān)研究主要是先將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)，然后利用該聯(lián)系數(shù)構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型.例如：文獻(xiàn)[10]首先將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，然后利用誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均(IOWHA)算子分別對(duì)二元聯(lián)系數(shù)的同部和異部進(jìn)行集結(jié)，并選取向量夾角余弦作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.文獻(xiàn)[11]也先將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，然后選取聯(lián)系數(shù)貼近度作為準(zhǔn)則構(gòu)建了一種組合預(yù)測(cè)模型.由于上述前兩種研究方法沒(méi)有充分利用區(qū)間數(shù)的信息，因此其構(gòu)建的組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度相對(duì)較低.基于此，本文利用第3種研究方法將傳統(tǒng)的區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為三元區(qū)間數(shù)，以此構(gòu)建一種新的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型，并通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證該模型的有效性.

1 基本概念

定義1[12]43若X=[al,au]={x|al≤au,al,au∈R}， 則稱(chēng)X為二元區(qū)間數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為區(qū)間數(shù).其中，al和au分別表示區(qū)間數(shù)的左端點(diǎn)和右端點(diǎn).當(dāng)al=au時(shí)，區(qū)間數(shù)退化為一個(gè)實(shí)數(shù).若Y=[al,a*,au]={y|al≤a*≤au,al,a*,au∈R}， 則稱(chēng)Y為三元區(qū)間數(shù)，又稱(chēng)三參數(shù)區(qū)間數(shù).同理，al和au分別表示三元區(qū)間數(shù)的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)，a*表示在區(qū)間范圍內(nèi)取值可能性最大的點(diǎn)，稱(chēng)為三元區(qū)間數(shù)的重心.另外，當(dāng)al=a*=au時(shí)，三元區(qū)間數(shù)退化為一個(gè)實(shí)數(shù).

定義2[12]44設(shè)a=[al,a*,au]和b=[bl,b*,bu]為任意兩個(gè)非負(fù)三元區(qū)間數(shù)，則a和b之間有如下運(yùn)算關(guān)系： ①a=b?al=bl,a*=b*,au=bu； ②a+b=[al+bl,a*+b*,au+bu]； ③ab=[albl,a*b*,aubu]； ④μa=[μal,μa*,μau],μ>0.

定義4[14]設(shè)a和b為正三元區(qū)間數(shù)，a=[al,a*,au]，b=[bl,b*,bu]， 則稱(chēng)

為a和b的相似度.

根據(jù)定義4可知，s(a,b)具有性質(zhì)： ① 0

證明由三元區(qū)間數(shù)相似度的定義可知，上述性質(zhì)②和③顯然成立.下證性質(zhì)①.不妨設(shè)(al)2+(a*)2+(au)2≥(bl)2+(b*)2+(bu)2， 則可得

2 區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

(Ι)

模型(I)的加權(quán)系數(shù)向量(W=(w1,w2,…,wm))可以通過(guò)Lingo或者M(jìn)atlab軟件進(jìn)行求解.

定義8設(shè)smin=mins(Yi t,Yt),smax=maxs(Yi t,Yt)， 若：

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文提出的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的有效性，選用文獻(xiàn)[15]中的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行實(shí)例分析，數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.評(píng)價(jià)指標(biāo)選用平均區(qū)間位置誤差平方和(MSEP)、平均區(qū)間長(zhǎng)度誤差平方和(MSEL)、平均區(qū)間誤差平方和(MSEI)以及平均區(qū)間相對(duì)誤差和(MRIE)，各指標(biāo)的計(jì)算公式為：

表1 區(qū)間數(shù)及其等價(jià)的三元區(qū)間數(shù)

根據(jù)定義5可分別求得3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在不同時(shí)刻的左精度、重心精度、右精度及其所誘導(dǎo)的二維數(shù)組，結(jié)果見(jiàn)表2.根據(jù)定義7可分別求得3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的三元區(qū)間預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際三元區(qū)間數(shù)序列的相似度，結(jié)果見(jiàn)表3.

表2 3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在不同時(shí)刻的誘導(dǎo)二維數(shù)組

為了計(jì)算方便，首先利用Lingo軟件計(jì)算不同λ取值下的加權(quán)向量W， 然后根據(jù)定義7計(jì)算組合預(yù)測(cè)方法的三元區(qū)間預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際三元區(qū)間數(shù)序列的相似度，結(jié)果見(jiàn)表4.

根據(jù)定義6，可以計(jì)算出不同λ取值下的組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表5.

表3 3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的三元區(qū)間預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際三元區(qū)間數(shù)序列的相似度

方法1方法2方法3相似度0.86290.87140.9107

表4 不同λ取值下組合預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)以及相似度

表5 實(shí)際區(qū)間數(shù)和不同λ取值下的組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)

根據(jù)上述4種誤差指標(biāo)的計(jì)算公式，分別計(jì)算單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法以及本文所提出的組合預(yù)測(cè)方法的MSEP、MSEL、MSEI和MRIE，結(jié)果見(jiàn)表6.

表6 不同預(yù)測(cè)方法的誤差指標(biāo)值

利用表3、表4和表6中結(jié)果，可從以下2個(gè)方面對(duì)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的有效性進(jìn)行判定： ①?gòu)娜獏^(qū)間數(shù)的相似度方面看，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的相似度明顯大于單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的相似度，且均大于單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法相似度的最大值，這說(shuō)明區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)是優(yōu)性組合預(yù)測(cè)模型； ②從4種誤差指標(biāo)值來(lái)看，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的誤差指標(biāo)值顯著低于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，且低于文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[16]中的方法，這說(shuō)明區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)不僅優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，而且優(yōu)于文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[16]中的組合預(yù)測(cè)方法.由此說(shuō)明，本文所提出的基于IGOWLA算子及其相似度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)是有效的.

3.1 比較分析

為了進(jìn)一步說(shuō)明區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的優(yōu)缺點(diǎn)，將模型(Ι)的誤差指標(biāo)值與引言中的前兩類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的誤差指標(biāo)值(見(jiàn)表7)進(jìn)行比較.

表7 兩類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的4種誤差指標(biāo)值

由表6和表7可知，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的預(yù)測(cè)精度略低于第1類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，但二者都高于第2類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度.第1類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度雖然略高于區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的預(yù)測(cè)精度，但因?yàn)閰^(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)充分利用了區(qū)間的信息，所以相對(duì)更為可靠.

3.2 靈敏度分析

為了更加直觀(guān)地觀(guān)察參數(shù)λ對(duì)各單項(xiàng)方法預(yù)測(cè)的加權(quán)系數(shù)、 相似度以及4種誤差指標(biāo)的影響，對(duì)參數(shù)λ進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果見(jiàn)圖1 —圖3.

圖1 不同的λ值對(duì)相似度的影響

圖2 不同的λ值對(duì)加權(quán)系數(shù)的影響

圖3 不同的λ值對(duì)4種誤差指標(biāo)的影響

由圖1可以看出：λ值對(duì)三元區(qū)間數(shù)的相似度影響較小，總體保持在(0.965,0.985)之間，并且當(dāng)λ∈(-2,5)時(shí)，相似度相對(duì)最大，即此時(shí)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的有效性相對(duì)最高.由圖2可以看出，λ值對(duì)加權(quán)系數(shù)的影響較小，當(dāng)λ≤-2時(shí)， 隨著λ的增加，w1有所下降，w2和w3略微有所上升，且當(dāng)λ>-2時(shí)，w1,w2和w3基本保持穩(wěn)定.由圖3可以看出，λ值對(duì)4種誤差指標(biāo)的影響也較小，當(dāng)λ∈(-4,4)時(shí)，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的預(yù)測(cè)效果相對(duì)最好.綜上所述，為了使本文提出的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的預(yù)測(cè)精度相對(duì)最佳，其參數(shù)λ的取值范圍應(yīng)在(-2,5)∩(-4,4)=(-2,4)上.

4 結(jié)束語(yǔ)

研究表明，本文基于IGOWLA算子及三元區(qū)間數(shù)相似度構(gòu)建的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型(Ι)的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和引言中所提的第1類(lèi)、第2類(lèi)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型，因此模型(Ι)是一種優(yōu)性組合預(yù)測(cè)模型，同時(shí)也為構(gòu)建高精度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型提供了一種新思路.本文在模型(Ι)中只研究IGOWLA算子，并沒(méi)有研究其他集成算子對(duì)該模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響；因此，今后將探討不同集成算子對(duì)該模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，以得到更高精度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型.