以“形”助“數(shù)”，在直觀中理解“數(shù)”

吳瑞英

摘 要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。面對數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實問題，生動、形象的圖形能將枯燥的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化、趣味化。闡述了如何在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域：以“形”助“數(shù)”——在直觀中理解“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度刻畫“數(shù)”，將抽象的數(shù)學(xué)概念、運算性質(zhì)和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化，親身體驗將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，引導(dǎo)學(xué)生充分感知，在形成表象的基礎(chǔ)上進行聯(lián)想和想象，最終達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)思想的目的。

關(guān)鍵詞：以“形”助“數(shù)”;抽象;直觀化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。眾所周知，小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時必須面對數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實問題。生動、形象的圖形能將枯燥的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化、趣味化。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度刻畫“數(shù)”，將抽象的數(shù)學(xué)概念、運算性質(zhì)和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化，親身體驗將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，引導(dǎo)學(xué)生充分感知，在形成表象的基礎(chǔ)上進行聯(lián)想和想象，最終達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、形成數(shù)學(xué)思想的目的。

筆者結(jié)合主持的《數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中、高段教學(xué)中滲透的研究》中的典型案例，談?wù)勅绾卧凇皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域：以“形”助“數(shù)”——在直觀中理解“數(shù)”。

一、以“形”認(rèn)“數(shù)”，建立數(shù)的概念

概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的一環(huán)，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是“四基”教學(xué)的核心內(nèi)容。然而對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念是抽象的，教師的教學(xué)方式?jīng)Q定著學(xué)生對于每一個數(shù)學(xué)概念的掌握過程是疲于接受，或是深入理解。因此，要使學(xué)生真正理解并熟練掌握概念，教師應(yīng)充分利用圖形，將圖形的形象與概念的抽象建立聯(lián)系，用恰當(dāng)?shù)膱D形演示數(shù)學(xué)概念中最本質(zhì)的屬性，豐富學(xué)生的感性材料，從而為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。在課堂教學(xué)中，在數(shù)與形的不斷轉(zhuǎn)化中，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、概念的理解及概念的應(yīng)用三個階段，使得學(xué)生對于概念由感性的表象發(fā)展到理性的概括理解。

【案例1：“11-20各數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)片段】

1.看圖講故事：在很久很久以前，有一個小朋友去山上放羊，可不能把羊丟了，同學(xué)們，你們愿意幫他數(shù)數(shù)這些羊嗎？

2.課件演示放羊的過程，學(xué)生邊擺小棒。（擺12根）

3.比較、優(yōu)化。

師：如何讓人一眼就看出你有12根小棒？

出示學(xué)生不同的擺法，引導(dǎo)學(xué)生比較、發(fā)現(xiàn)：把10根小棒捆成1捆的這種方法能讓人一眼就看出是12根小棒。

4.初步建立計數(shù)單位“一”和“十”的模型。

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下說出一根就是1個“一”，兩根就是2個“一”，……十根就是10個“一”。

（全班學(xué)生和老師一起動手整理小棒，把10根小棒捆成1捆。）

師：那捆成一捆后是多少根？

生（齊）：十根！

師追問：幾個十根？

生（齊答）：1個十根！

師：也就是剛才的“10個一”變成了現(xiàn)在的——

生1：1個“十”！

師：誰能看出“10個一”和“1個十”有什么關(guān)系？

生2：10個一等于1個十。

生3：1個十等于10個一。

師：在1個十旁邊添上1個一，這個數(shù)是多少？你是怎么知道的？

生1：10根小棒再添上1根，就是11根。

生2：一捆就是1個十，一根就是1個一，1個十和1個一合起來就是11。

師：12又是怎樣表示的呢？你還能在計數(shù)器上表示這個數(shù)嗎？寫出這個數(shù)。

一年級學(xué)生以具體形象思維為主，而計數(shù)單位“一”和“十”是一個抽象的概念，在這之間，教師為學(xué)生搭建了橋梁，先利用課件直觀形象地動態(tài)演示，數(shù)出12只“羊”，接著讓學(xué)生擺小棒、捆小棒，再在計數(shù)器上表示，最后寫出12這個數(shù)，從具體的實物到半抽象的小棒、計數(shù)器，到抽象的數(shù)“12”，整個過程就是一個逐步抽象化的過程。通過“如何讓人一眼就看出你有12根小棒”這個問題引導(dǎo)學(xué)生整理小棒，動手操作“捆小棒”，明確10個一就是1個十，在形象直觀的操作中理解十進制，化抽象為具體，在直觀中理解“數(shù)”，培養(yǎng)數(shù)感。

【案例2：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)片段】

1.活動一：折出二分之一

師：請同學(xué)們拿出長方形紙先折一折，然后涂色表示它的二分之一。

師：展示學(xué)生不同折法（見圖1），這三種折法各不相同，為什么說涂色部分都是長方形的二分之一呢？（圖1）

小結(jié)：雖然折法不同，但都是把長方形紙平均分成兩份，每份就表示長方形紙的二分之一。

2.活動二：創(chuàng)造分?jǐn)?shù)

（1）師：除了二分之一，你還想認(rèn)識幾分之一？

（2）學(xué)生選一張紙片（形狀不一）折一折，并用陰影表示它的幾分之一。

（3）匯報梳理：

①先展示不同形狀紙片的圖。

討論：為什么不同形狀的紙片卻都可以用來表示？

②再展示相同形狀紙片的圖。

討論：為什么同樣大小的紙片，涂色部分都是1份，有的用表示，有的卻用來表示呢？

整個過程充分利用圖形的直觀性特點，溝通了具體的“形”與抽象的“數(shù)”之間的聯(lián)系，通過具體“形”的操作與實踐，幫助學(xué)生理解“平均分”、幾分之一等概念的最本質(zhì)屬性，實現(xiàn)由感性的表象發(fā)展到理性的概括再到概念的靈活運用。兩次操作活動，引導(dǎo)學(xué)生把“數(shù)”對應(yīng)的“形”做出來，化抽象的“數(shù)”為具體、鮮活的“形”，在探究中促進了概念的理解。