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——一道試題講評(píng)所引發(fā)的教學(xué)思考

廣東

王文宏

(作者單位：廣東省惠來縣第一中學(xué))

一、試題呈現(xiàn)

上課伊始，老師在黑板上打出這次期末考試的壓軸題：

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

教師先公布全班的答題情況：全班65人參加考試，第(1)問全對(duì)的有63人，另外2位同學(xué)書寫不夠完整；第(2)問全對(duì)的只有5位同學(xué)，很多同學(xué)都束手無策，全班第(2)問的平均分為2.2分(滿分7分)，主要錯(cuò)誤體現(xiàn)在轉(zhuǎn)化為最值時(shí)，求不出最值或分類討論思想應(yīng)用不過關(guān).

又請(qǐng)同學(xué)說說自己當(dāng)時(shí)的想法以及現(xiàn)在的思路，同學(xué)們各抒己見，充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)，老師微笑點(diǎn)頭，并不失時(shí)機(jī)地給予“點(diǎn)”“撥”引導(dǎo)，同學(xué)們大致有三種不同的解題方法，下面是對(duì)這部分教學(xué)過程的描述：

生1：(1)略；

當(dāng)k<0時(shí)，上述不等式恒成立，滿足題設(shè)條件；

設(shè)h(x)=2x-x2-kex(x≥1)，則h′(x)=2(1-x)-kex<0，

∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，得h(x)≤h(1)=1-ke．

∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，得g(x)≤g(1)=0，滿足題設(shè)條件；

∴?x0∈(1,2)，使得h(x0)=0，又h(x)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，h(x)>0，得g′(x)>0，

∴g(x)在[1,x0)上單調(diào)遞增，得g(x)≥g(1)=0，不滿足題設(shè)條件.

老師：你做得很好，當(dāng)一道題在解題過程中有多種選擇時(shí)，我們不能盲目選擇，要做一番評(píng)估，所選方向能否繼續(xù)做下去，自己的知識(shí)儲(chǔ)備是否充足？只有考慮充分最后才能把正確結(jié)果求出來.

教師：?x0∈(1,2)，我們能具體求出x0嗎?需要如何處理?

生1：我們沒辦法具體求出x0的值，我們用根的存在性定理找到根x0存在的范圍即可.

教師小結(jié)：第二問是函數(shù)恒成立問題，一般恒成立問題通常都是轉(zhuǎn)化為最值問題，我們通過觀察所轉(zhuǎn)化函數(shù)知道g(1)=0，只需找到使g′(x)≤0的條件即可，從而求出k的范圍.

當(dāng)x=1，k∈R且k≠0時(shí)，不等式成立，滿足題設(shè)條件；

當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)≥0恒成立，

∴φ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

∴φ(x)>φ(1)=0，

即x>1時(shí)，g′(x)≥0恒成立，

所以g(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

老師：那如果是分子不趨近于零，分母趨近于零，我們還能這樣做嗎？

老師：還有哪位同學(xué)發(fā)表一下其他看法？

當(dāng)x=1，k∈R且k≠0時(shí)，上述不等式成立，滿足題設(shè)條件；

老師：你用一個(gè)比lnx還大的x-1來代替求k的范圍，所求的k的范圍等價(jià)嗎？

生3：好像不等價(jià)，但所求范圍是正確的.

老師：我們要求一個(gè)滿足某個(gè)條件的參數(shù)的范圍，如果把條件范圍放大或縮小，所求的范圍肯定不等價(jià)，那么求出來的結(jié)果不一定正確，本題雖然求出的結(jié)果相同，但其正確性欠缺論證.

最后，教師總結(jié)三位同學(xué)不同解法的特點(diǎn)及適用的范圍，解決題目的切入口，師生思維的“火花”在激烈的碰撞著，在熱烈討論聲中響起了下課鈴.

二、教學(xué)思考

講評(píng)課是在練習(xí)或考試之后，教師對(duì)其講析和評(píng)價(jià)的一種課型，是一種具有一定特殊性的復(fù)習(xí)課，也是高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的一種常見的課型.本案例采取了“以學(xué)生為學(xué)習(xí)中心”的教學(xué)方法，與傳統(tǒng)的講授式教學(xué)法相比，更注重以下四個(gè)方面：

1.激發(fā)思維、把握“度”“悟”

在評(píng)講試卷之前，教師先通過了解、掌握學(xué)生答卷中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，弄清楚學(xué)生為什么錯(cuò)了，是在哪一個(gè)知識(shí)環(huán)節(jié)上出現(xiàn)了問題，還有哪些技能不太扎實(shí)，并做好相關(guān)情況的收集，通過讓學(xué)生在課堂上充分表達(dá)自己的解題思路，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行“火熱的思考”和主動(dòng)建構(gòu)，充分地欣賞和感受數(shù)學(xué)的魅力．

本節(jié)課的課堂教學(xué)“容量”并沒有因?yàn)椤胺攀帧倍兩?學(xué)生的“激情”程度也不會(huì)因“互動(dòng)”而停滯；反而讓學(xué)生經(jīng)歷了思維的暴露、知識(shí)的梳理、方法的總結(jié)、能力的提升和素養(yǎng)的涵泳.

本節(jié)課在教學(xué)的目標(biāo)上不但能讓學(xué)生在知識(shí)與技能方面的培養(yǎng)達(dá)到落實(shí)，更能著力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.這堂課講的例題的數(shù)量也許是少了，但學(xué)生主動(dòng)參與，身臨其境，全面經(jīng)歷了問題解決的全過程.既有成功的體驗(yàn)，也有失敗的教訓(xùn).這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)的形成是大有裨益的.真實(shí)發(fā)生的一切所留下的深刻印象更有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，且不易遺忘.另一方面，學(xué)生反饋的信息，使教師更加了解學(xué)生，能夠?yàn)閷W(xué)生做適時(shí)地“點(diǎn)”“撥”，更能激發(fā)學(xué)生思維的“火花”，提高分析問題和解決問題的能力，達(dá)到如期的教學(xué)要求，教師能把握好“度”，學(xué)生貴在于“悟”.

2.突出重點(diǎn)、“點(diǎn)”“撥”恰當(dāng)

試卷的講評(píng)應(yīng)注意突出重點(diǎn)，而不是平均用力，要講在關(guān)鍵之處，“點(diǎn)”“撥”恰當(dāng).不是給學(xué)生講得具體詳細(xì)些，他們就能學(xué)得更快、學(xué)得更好.評(píng)講時(shí)不能講究面面俱到，教師講得太詳細(xì)，重點(diǎn)無法突出，學(xué)生感到很被動(dòng)，疲于應(yīng)付，根本沒法思考，也不需要思考.教師的做法直接扼殺了學(xué)生思維的主動(dòng)性，讓學(xué)生一味地被動(dòng)接受知識(shí)，注意力也不可能會(huì)持久，學(xué)習(xí)效果可想而知.新的教學(xué)理念強(qiáng)調(diào)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者、合作者和引導(dǎo)者，教學(xué)的過程是師生交往，共同發(fā)展的互動(dòng)過程，要落實(shí)以人為本.只有學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極參與，把課堂還給學(xué)生，才能調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性.必須針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，講重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).要結(jié)合易混點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，重點(diǎn)放在講清每道題中所涉及的知識(shí)思想方法，在高考中所占的地位，考查的角度和能力層級(jí)，以及有利于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的活動(dòng)，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展過程和技能的強(qiáng)化，讓學(xué)生內(nèi)化、吸收，最終變成自己的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

課堂教學(xué)要真正成為“學(xué)生學(xué)習(xí)”的中心課堂，一切教學(xué)設(shè)計(jì)都要從學(xué)生實(shí)際出發(fā).在本節(jié)的教學(xué)過程中，教師扮演的不是居高臨下的權(quán)威角色，而是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者.學(xué)生才是課堂上的主角，教師將題目三種不同的解法讓學(xué)生進(jìn)行展示，充分讓學(xué)生發(fā)揮自己的潛力和想象力，在關(guān)鍵之處進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)”“撥”，“扶”學(xué)生一把，從而梳理、歸納出解題思路，而等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)過程中也很自然地被擺在最突出的位置,更可貴的是學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)是在這樣輕松的教學(xué)氛圍中，讓學(xué)生在不知不覺中自然完成！

3.糾正錯(cuò)誤、夯實(shí)技能

高明的醫(yī)生能給病人開出良方，關(guān)鍵在于能探明患者的病因.數(shù)學(xué)試卷的講評(píng)，關(guān)鍵在于能否開出“良方”，避免再犯同樣的“病”.一份試卷，學(xué)生出錯(cuò)的原因可能很多，也因人而異.例如，有些是在解題過程中誤解了題意、混淆了概念，有些是忽略了隱含條件，未弄清楚就草草作答，還有些是明明會(huì)做，但因?yàn)樾睦砭o張或格式不規(guī)范造成的失分.在弄清學(xué)生的錯(cuò)情和錯(cuò)因后，就要努力解決好學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，以便使后續(xù)的教學(xué)更加流暢.這也是試卷講評(píng)的最根本的目的.屬于概念理解存在片面的(如函數(shù)的奇偶性判斷，漏掉定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的討論)，要對(duì)概念知識(shí)的產(chǎn)生再予以揭示明晰；屬于公式運(yùn)用有偏差的(如利用公式an=Sn-Sn-1求解數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，未注意條件n≥2的限制)，教師必須經(jīng)常性做好解題的分析和解題過程的示范；屬于運(yùn)算的方法技巧失當(dāng)而出錯(cuò)的，要注重計(jì)算方法的輔導(dǎo)，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)課外計(jì)算，等等.總之，教師既要善于幫助學(xué)生明“錯(cuò)”知“理”，又要善于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)強(qiáng)化訓(xùn)練，要對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤做好分析和糾正，還要善于將問題進(jìn)行變式，讓學(xué)生更全面更深刻地理解問題的實(shí)質(zhì)，避免錯(cuò)誤“重犯”.

學(xué)生解題能力的培養(yǎng)是教師在課堂教學(xué)中始終關(guān)注以及落實(shí)的過程，本節(jié)做得更為突出！著名的數(shù)學(xué)家波利亞說過“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，一個(gè)典型的題目，對(duì)教學(xué)目標(biāo)來說，絕不是只停留在“如何解”，更重要的是“為什么這么解”和“怎么想到這樣解”，對(duì)一個(gè)題目進(jìn)行多角度分析，盡可能讓學(xué)生進(jìn)行說題，挖掘題目隱藏條件以及解題過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，這給學(xué)生的發(fā)展所帶來的好處是毋庸置疑的.本節(jié)課正是教師在這方面的放手，讓學(xué)生做大膽的探索和嘗試.教學(xué)過程中，不僅要重視“如何解”，還要教育、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題“(可、該)怎么去想”的方面，做大量的“點(diǎn)”與“撥”的工作，方法上也下了很大工夫，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生參與度，思維的激活度，內(nèi)化感悟度，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)出極大的興趣.有理由相信，假以時(shí)日，學(xué)生定會(huì)成為這種訓(xùn)練的最終受益者.

4.變式提問、歸類發(fā)展

以筆者多年的高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科蠻好學(xué)，但想拿高分卻很難，學(xué)生往往不是考慮不全面，就是不能理解，難以下手，解題方法不能爛熟于心.因此，課堂上，特別是在講評(píng)試卷的課堂中，要更注重方法的指導(dǎo)，對(duì)一道習(xí)題適當(dāng)?shù)难葑儭⒁?、拓廣，不僅能提高學(xué)生的應(yīng)變能力、探索能力，還能激發(fā)學(xué)生的思維廣闊性、發(fā)散性.使學(xué)生從不同的角度去觀察問題、思考問題，從而提高學(xué)生思維過程的整體性、嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).講評(píng)時(shí)，不但要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟并思索解題過程中涉及的知識(shí)點(diǎn)，查漏補(bǔ)缺，有無縱橫聯(lián)系，如何聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)化，還要善于以題帶面，這樣有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固、綜合、運(yùn)用及解題能力的提高.對(duì)具有較大靈活性的典型題要進(jìn)一步“借題發(fā)揮”.典型試題的講評(píng)過程中可做到：(1)一題多解(訓(xùn)練學(xué)生的多向思維)；(2)多題一解(揭示試題的本質(zhì)，化為解決同類問題的通法)；(3)一題多變(變式教學(xué))；(4)結(jié)論推廣(知識(shí)拓展)等.只有這樣，學(xué)生才能“跳出題?！?，以不變應(yīng)萬(wàn)變，起到事半功倍的效果.通過深入挖掘試題的潛在功能，引導(dǎo)學(xué)生深入探索和發(fā)現(xiàn)試題的規(guī)律，不僅能誘發(fā)學(xué)生的解題欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)造性的思維能力，起到觸類旁通的效果.

本節(jié)課例中三位同學(xué)展示了各自的風(fēng)采，其中第二種方法是常見的分離參數(shù)法，最后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，但所構(gòu)造的函數(shù)最值能否求出來，要看知識(shí)儲(chǔ)備是否充足，綜合能力是否具備.教師通過案例培養(yǎng)學(xué)生在選擇方法時(shí)要如何正確做出判斷的能力，第二位同學(xué)用初等數(shù)學(xué)方法找不到求最值的方法，轉(zhuǎn)用高數(shù)中洛必達(dá)法則去求解，而沒有接觸到洛必達(dá)法則的同學(xué)就會(huì)束手無策，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求；也進(jìn)一步打通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接通道.而題目解決的關(guān)鍵在于把式子轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或最值能求出來的等價(jià)問題.第一位同學(xué)的思維展示很全面，在大腦里面已經(jīng)把后面可能出現(xiàn)的問題都考慮清楚，從而選擇用分類討論思想去解決問題，這是一種良好的思維方式，也是我們要大力提倡和培養(yǎng)的學(xué)科素養(yǎng).