基于核心素養(yǎng)的高考立體幾何試題分析及教學(xué)啟示

廣東

潘敬貞 駱妃景

(作者單位：廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) 廣東省東莞市麻涌中學(xué))

2017年新課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布征求意見稿，2018年1月正式頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》.隨著新課標(biāo)的修訂與頒布，高考命題也發(fā)生了微妙的變化，試題的立意逐漸由能力立意轉(zhuǎn)向了核心素養(yǎng)立意.基于核心素養(yǎng)的高考試題分析，對(duì)了解高考命題動(dòng)向，領(lǐng)會(huì)課改精神，把握高考脈搏，提高備考效率等具有重要意義.本文通過對(duì)近三年(2017-2019年)高考全國卷文理科共18套試卷中的立體幾何試題命題進(jìn)行分析，提出對(duì)今后復(fù)習(xí)備考有效的建議，希望對(duì)新一輪基于核心素養(yǎng)的立體幾何高考復(fù)習(xí)有所裨益.

1 試題內(nèi)容分析

1.1 考點(diǎn)分析

2017-2019年高考全國卷文理科數(shù)學(xué)共18套試卷的選擇題、填空題和解答題中的立體幾何考點(diǎn)分析如下表所示.

試卷題號(hào)分值考查問題題型難度2017年全國卷Ⅰ文6,16,1822線面位置關(guān)系;多面體外接球的表面積;面面垂直的證明,已知四棱錐的體積求側(cè)面積1道選擇題,1道填空題,1道解答題6題易16題難18題中理7,16,1822組合體的三視圖,梯形面積;三棱錐的體積最值;面面垂直的證明,二面角1道選擇題,1道填空題,1道解答題7題易16題難18題中2017年全國卷Ⅱ文6,15,1822殘缺體的三視圖、體積;多面體外接球的表面積;線面平行的證明,四棱錐的體積1道選擇題,1道填空題,1道解答題6題易15題中18題中理4,10,1922殘缺體的三視圖、體積;異面直線夾角;線面平行的證明,二面角2道選擇題,1道解答題4題易10題中19題中

續(xù)表

續(xù)表

1.2 試題特點(diǎn)分析

從題型、題量上看：近三年高考全國卷的立體幾何題仍保持了高考對(duì)立體幾何題型的考查形式，包括選擇題、填空題及解答題三種.多數(shù)試卷以“二小一大”為主，偶爾有“一小一大”，分值在17～27分之間，約占總分值的11%～18%，與新課標(biāo)要求的課時(shí)比例基本吻合.

從知識(shí)點(diǎn)分布上看：選填題以考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，求體積和面積為主，部分試題滲透數(shù)學(xué)文化、實(shí)際背景以及在知識(shí)交匯處命題，突出試題的思想性和知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，聚焦核心素養(yǎng)，考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).另外2019年全國卷6套試卷均未考查三視圖，這與新課改中要求刪除三視圖有一定關(guān)系，但2020年高考的命題仍按老課標(biāo)與老教材進(jìn)行命題，沒有任何信息表明2020年高考不考三視圖，因此在備考時(shí)一定要注意.立體幾何解答題一般位于解答題的第二題左右的位置，題型比較常規(guī)，第一小問重點(diǎn)考查線線、線面和面面的位置關(guān)系的證明，理科第二小問主要考查空間角，文科第二小問主要考查求錐體的體積和面積等問題，要求學(xué)生的基本概念要清晰，并且具備一定的運(yùn)算能力.

從難度上看：選填題以容易題和中檔題為主，也有壓軸題，比如2019年卷Ⅰ理科第12題，2018年卷Ⅰ理科第12題，2017年卷Ⅰ理科第16題，解答題基本以中檔題為主.

其他方面：文科試題難度整體比理科試題難度要低一些，這與當(dāng)下文理科生的實(shí)際情況相符，但是文理科同題的趨勢(shì)越加明顯.從具體內(nèi)容上看，選填題基本屬于文理同題，解答題文科不考二面角，但文理試題的背景基本相同，這也說明文理科試題在內(nèi)容上的差異越來越小.從素養(yǎng)考查角度來看，文理科沒有明顯差異.這說明立體幾何試題為高考不分科做了積極的探索.

1.3 考查問題分析

立體幾何題一般都是研究確定幾何圖形的問題，解決立體幾何問題關(guān)鍵是要抓住幾何圖形的本質(zhì)，即一個(gè)圖形由幾個(gè)基本元素確定，要弄清楚確定這些圖形有哪幾個(gè)基本元素，根據(jù)已知的基本元素去尋找(作圖或求解)其他的基本元素，在此基礎(chǔ)上解決與基本問題有關(guān)的具體問題(位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系).

經(jīng)過分析可知，選擇題與填空題?？疾橐韵聨追矫娴膯栴}：一是分析幾何體中的線面位置關(guān)系和求數(shù)量關(guān)系，主要情形有：已知一個(gè)球及其內(nèi)接或外切的幾何圖形求其中的數(shù)量關(guān)系和已知一個(gè)多面體中的位置或數(shù)量關(guān)系求其他的數(shù)量關(guān)系；二是根據(jù)某幾何體的三視圖猜想其幾何特征并求該幾何體的某個(gè)數(shù)量關(guān)系，主要情形有：給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖或畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關(guān)數(shù)量.而且這類問題主要考查由三視圖得到直觀圖的空間想象能力；其次是根據(jù)三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征；計(jì)算量要求很低，一般是求幾何體本身的能反映其幾何特征的量，并且只要求代公式直接求值.

解答題?？疾樽C明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，主要情形有：一是通過推理、計(jì)算、證明和求解將已知的幾何體的部分線面位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為所求的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，具體呈現(xiàn)為：證明異面直線垂直、線面垂直、面面垂直、線面平行和面面平行，求幾何體的體積、表面積和點(diǎn)到面的距離等；二是通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求幾何體中的空間數(shù)量關(guān)系.

1.4 試題立意分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模.高考命題也隨之發(fā)生了微妙的變化，試題立意也逐漸從能力立意向核心素養(yǎng)立意轉(zhuǎn)變.試題凸顯以基本知識(shí)為載體，考查學(xué)生核心素養(yǎng).近三年高考立體幾何試題主要以立體幾何基本概念、基本知識(shí)和基本幾何體為載體，通過考查學(xué)生想圖、畫圖和用圖的過程，考查學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，通過判斷或證明點(diǎn)、線、面的幾何元素的位置關(guān)系，考查學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)，通過求線面的數(shù)量關(guān)系，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).由于選擇題與填空題不給幾何圖形，考生必須通過想圖、畫圖或用圖等一系列過程方可順利解決有關(guān)問題，這樣可以更好地考查學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，由于解答題受到已知圖形的限制，因此解答題更側(cè)重于考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).當(dāng)然，有的試題也有較強(qiáng)的綜合性，同一道試題既考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)，又考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

2 高考動(dòng)向透視

2.1 分析幾何體中的位置關(guān)系

例1.(2017·全國卷Ⅰ文·6)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是

( )

A

B

C

D

答案：A.

【評(píng)析】本題以學(xué)生熟悉的基本的幾何體(正方體)為載體，判斷線面平行關(guān)系，本道試題難度不大，只需掌握正方體的基本概念與性質(zhì)，由線面平行的判定定理即可快速得出答案，突出試題的基礎(chǔ)性.

例2.(2019·全國卷Ⅱ·文7理7)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是

( )

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

答案：B.

【評(píng)析】本題結(jié)合充要條件考查面面位置關(guān)系，由于沒有已知圖形，也不需要運(yùn)算，考生全憑立體幾何的基本知識(shí)通過想象解決問題，主要考查學(xué)生運(yùn)用直觀感知、推理論證解決立體幾何問題的關(guān)鍵能力，突出考查學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

例3.(2019·全國卷Ⅲ·文8理8)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則

( )

A.BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C.BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

答案：B.

【評(píng)析】割補(bǔ)法是立體幾何中的重要思想方法，如能將該幾何體補(bǔ)全成長方體更有利于問題的解決.本題考查學(xué)生處理問題的基本能力，考查學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.2 分析幾何體中的幾何關(guān)系并求其中的數(shù)量關(guān)系

2.2.1 已知一個(gè)球及其內(nèi)接或外切的幾何圖形求其中的數(shù)量關(guān)系

多面體與球的切接問題是考查球與多面體的交匯點(diǎn)，由于試題沒有已知圖形，需要考生通過想圖和畫圖，尋求點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例4.(2017·全國卷Ⅰ文·16)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

答案：36π.

【評(píng)析】解決本題的關(guān)鍵是求球的半徑，首先要想圖、畫圖，確定球心的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系建立三棱錐與外接球的數(shù)量關(guān)系，最終解出球的半徑.主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

( )

答案：B.

【評(píng)析】解答本題，首先是想圖和畫圖，再分析體積表達(dá)式中不變的量是三棱錐底面的面積，變量只有三棱錐的高，即三棱錐高的最大值是球心到底面的距離加上球的半徑，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求球心到截面的距離，構(gòu)造直角三角形易得其解.主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例6.(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

( )

答案：D.

【評(píng)析】解決本題，首先要畫圖，分析并確定球心的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系建立三棱錐與外接球的數(shù)量關(guān)系，最終解出球的半徑.主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.2.2 已知一個(gè)多面體中的位置或數(shù)量關(guān)系求其他的數(shù)量關(guān)系

例7.(2017·全國卷Ⅱ理·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

( )

答案：C.

【評(píng)析】解決本題，首先畫圖，并把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，再找異面直線AB1與BC1所成的角，最后通過運(yùn)算解決問題.主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例8.(2018·全國卷Ⅰ文·10)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為

( )

答案：C.

【評(píng)析】本題以長方體為載體，考查線面夾角的概念，建立關(guān)于線面夾角的數(shù)學(xué)模型，求出長方體的棱長從而求出長方體的體積.主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例9.(2017·全國卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

【評(píng)析】本題主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具求三棱錐體積的最大值，首先要分析數(shù)量關(guān)系，建立關(guān)于體積的數(shù)學(xué)模型，再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行解決.本題具有一定的綜合性、靈活性和創(chuàng)新性，主要考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例10.(2019·全國卷Ⅱ·文16理16)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________.(本題第一空2分，第二空3分.)

圖1

圖2

【評(píng)析】滲透數(shù)學(xué)文化既可以體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值，又可以傳承和弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，還可以讓學(xué)生逐漸感受到數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的情感態(tài)度價(jià)值觀；更重要的是在整個(gè)思考并解決問題的過程中，可考查和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

2.3 根據(jù)某幾何體的三視圖猜想其幾何特征并求該幾何體的某個(gè)數(shù)量關(guān)系

例11.(2017·全國卷Ⅰ理·7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

( )

A.10 B.12

C.14 D.16

答案：B.

例12.(2017·全國卷Ⅱ·文6理4)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

( )

A.90π B.63π

C.42π D.36π

答案：B.

【評(píng)析】給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖和畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關(guān)數(shù)量.這類問題主要考查由三視圖得到直觀圖的空間想象能力；其次是根據(jù)三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征；計(jì)算量要求很低，一般是求幾何體本身能反映其幾何特征的量，并且只需代入公式直接求值.主要考查學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2.4 證明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

2.4.1 根據(jù)幾何體的部分線面位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化、推理和計(jì)算，證明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

例13.(2017·全國卷Ⅰ文·18)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；

答案：(Ⅰ)證明略.

2.4.2 通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求幾何體中的空間數(shù)量關(guān)系

例14.(2017·全國卷Ⅰ理·18)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

例15.(2019·全國卷Ⅰ理·18)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

例16.(2019·全國卷Ⅰ文·19)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

答案：(Ⅰ)證明略.

【評(píng)析】例14考查方式與文科區(qū)別在于第(Ⅱ)問考查二面角，屬于常規(guī)題型，例15、例16與前幾年相比，第(Ⅰ)問由證明垂直關(guān)系改為證明平行關(guān)系,體現(xiàn)高考對(duì)核心考點(diǎn)命制的覆蓋性，突出主干知識(shí).例15、例16幾何體的選取為規(guī)則圖形，以學(xué)生較為熟悉的幾何體(直四棱柱)為背景，主要考查直線與平面的平行關(guān)系，求二面角的正弦值以及求解點(diǎn)到平面的距離，理科試題起點(diǎn)較低，入口寬，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解二面角，在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)選擇面廣，不同的學(xué)生可能會(huì)建立不同的坐標(biāo)系，給不同學(xué)生展開想象的空間，這在一定程度上也體現(xiàn)了高考試題的思想性和方法性.對(duì)于文科試題而言，既可以考慮直接找點(diǎn)到平面的垂線段，從而利用平面幾何知識(shí)直接求解，還可以考慮學(xué)生常用的等體積法求解，甚至可以借助空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)解題，試題的解答具有一定的基礎(chǔ)性與靈活性.達(dá)到考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的目標(biāo).

例17.(2019·全國卷Ⅱ文·17)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)證明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.

答案：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)四棱錐E-BB1C1C的體積為18.

例18.(2019·全國卷Ⅱ理·17)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)證明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

【評(píng)析】相比例15與例16，例17與例18的幾何體明顯簡(jiǎn)單很多，從底面是菱形進(jìn)一步變?yōu)榈酌媸钦叫危O(shè)問方式從證明線面平行到證明線面垂直，換湯不換藥，出發(fā)點(diǎn)都是考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)線面位置關(guān)系的理解、應(yīng)用以及語言表達(dá)，屬于學(xué)生較為熟悉的問題；文科試題的第(Ⅱ)問要求計(jì)算四棱錐的體積，理科試題要求求解二面角的正弦值，都屬于常規(guī)問題，題目入口寬有利于學(xué)生的解答，注重考查四基與四能，如能用好空間直角坐標(biāo)系，還可以給試題賦予更優(yōu)化的解答方法，關(guān)鍵看學(xué)生如何選擇使用. 建立空間直角坐標(biāo)系常用的三條途徑:(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，當(dāng)圖形中有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，可以利用這三條直線直接建系；(2)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系，圖形中雖沒有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定的對(duì)稱關(guān)系，可利用對(duì)稱關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，這是建立空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何有關(guān)問題的關(guān)鍵；(3)利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系，圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理做出兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系.

3 教學(xué)啟示

3.1 重考綱、考題，認(rèn)準(zhǔn)命題方向

高考試題不僅是《考試說明》的具體體現(xiàn)，而且代表著高考考查的方向、深度與廣度.這就要求我們熟悉全國卷的出題模式，歸納總結(jié)近幾年的高考試題，并認(rèn)真分析高考試題中隱含的命題規(guī)律，從而把握考點(diǎn)走向、考點(diǎn)命題形式、考點(diǎn)深度、廣度和難度，以及答題技巧等.備考中也應(yīng)多關(guān)注其他地方卷，在對(duì)比中找差別、找共性、找聯(lián)系，排查出高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這樣復(fù)習(xí)目標(biāo)更加明確.比如全國卷中客觀題經(jīng)常考查與球有關(guān)的結(jié)合體的體積和表面積，文科解答題第二問經(jīng)常考查棱錐的體積、表面積和側(cè)面積.

3.2 重視符號(hào)語言的理解與應(yīng)用

立體幾何涉及文字語言、符號(hào)語言和圖形語言，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三種語言進(jìn)行熟練轉(zhuǎn)化.(1)對(duì)課本上的定理、公理分別用三種語言表示；(2)對(duì)平行、垂直判定方法進(jìn)行梳理總結(jié)，形成系統(tǒng)，分別用三種語言表示；(3)多設(shè)計(jì)一些命題真假判斷問題，一方面加深學(xué)生對(duì)定理的理解，另一方面培養(yǎng)學(xué)生將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力；(4)重點(diǎn)復(fù)習(xí)規(guī)則幾何體中的線面位置關(guān)系.

3.3 強(qiáng)化學(xué)生的空間觀念，注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)

高考中立體幾何選填題一般都不給圖，而解答題中所給的圖又往往需要添加輔助元素，所以從某種意義上說，作出一個(gè)好圖等于題目解決了一半，因此在復(fù)習(xí)中注重對(duì)學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)，訓(xùn)練中要做到(1)會(huì)畫——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀，虛實(shí)要分明；(2)會(huì)看——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；(3)會(huì)用——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解和組合，或?qū)ζ淠巢糠诌M(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或割補(bǔ)等.

3.4 要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成論據(jù)充分，規(guī)范解答題解題過程的良好習(xí)慣

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法、基礎(chǔ)練習(xí)要到位，解題步驟要規(guī)范，注重通性通法，體現(xiàn)“大眾化”.從歷年備考立體幾何解答題的大體情況來看，學(xué)生“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的問題比較嚴(yán)重，很值得引起我們的重視.因此，在平時(shí)的訓(xùn)練中，我們應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范答題的良好習(xí)慣.(1)教師要以身作則，規(guī)范板書.堅(jiān)持每節(jié)課的板書至少有一個(gè)典型例題，不能只講思路，也不能用多媒體演示代替板書過程，將規(guī)范解答落到實(shí)處；(2)把典型問題的解法總結(jié)成程序化的步驟.比如用空間向量解決立體幾何問題的步驟為：合理建系——正確寫出坐標(biāo)——寫出相關(guān)向量——經(jīng)過向量運(yùn)算——向量結(jié)論——幾何結(jié)論；(3)在批閱作業(yè)和試卷時(shí)不要只看結(jié)果，要關(guān)注步驟和過程.提出明確的要求，拿出足夠多的時(shí)間糾正過程性失誤，以督促學(xué)生養(yǎng)成論據(jù)充分，規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

3.5 重視題組引領(lǐng)，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，提升基本技能，培育核心素養(yǎng)