細(xì)品方知題真味
——2019年全國卷Ⅰ理科概率壓軸題的探究

廣東

林國紅

(作者單位：廣東省佛山市樂從中學(xué))

2019年高考結(jié)束后，多數(shù)考生反饋全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)的難度較高.其中最令人矚目的是第21題(解答題的壓軸題)，題目考查的是概率的內(nèi)容，而將對(duì)概率的考查作為解答題的壓軸題，在近幾年高考全國卷中是史無前例的.由于此題字?jǐn)?shù)較多，閱讀量大，情景陌生，而且除了考查概率的知識(shí)外，還綜合考查等比數(shù)列的證明與數(shù)列的其他相關(guān)知識(shí)，所以令考生望而生畏.本文將對(duì)此題進(jìn)行解答分析，并進(jìn)行深入探究，希望能起到拋磚引玉的效果.

一、題目呈現(xiàn)與解答

【題目】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【解答】(Ⅰ)X的所有可能取值為-1,0,1.于是P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β).

所以X的分布列為

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(Ⅱ)(ⅰ)因?yàn)棣?0.5，β=0.8，由(Ⅰ)得a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5，c=P(X=1)=0.1.

因?yàn)閜i=api-1+bpi+cpi+1，所以pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，即pi+1-pi=4(pi-pi-1).

又因?yàn)閜1-p0=p1≠0，所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

【評(píng)注】①問題(Ⅰ)只要正確理解題意，就能將其轉(zhuǎn)化為大家耳熟能詳?shù)碾x散型隨機(jī)變量分布列，相對(duì)簡(jiǎn)單.問題(Ⅱ)(ⅰ)中證明數(shù)列為等比數(shù)列，利用題目中已經(jīng)給出的遞推公式和α=0.5，β=0.8這兩個(gè)條件，用到的是常規(guī)解法.問題(Ⅱ)(ⅱ)用大家熟悉的累加法求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式，不難算出結(jié)果.最后根據(jù)概率極小說明試驗(yàn)方案的合理性也是較為容易的.

②試題的解答方法是常規(guī)的，計(jì)算量也適中，這與教育部考試中心的“多考一點(diǎn)想的，少考一點(diǎn)算的”的命題精神相吻合.

③試題的難點(diǎn)是題目閱讀量較大，對(duì)學(xué)生造成了較大的負(fù)擔(dān).會(huì)導(dǎo)致無法正確理解題意或者學(xué)生的運(yùn)算出錯(cuò)等失誤，另外試題放在最后壓軸題的位置出乎了考生意料，給考生造成了巨大的心理壓力.

二、解法優(yōu)化

在上述解答中，問題(Ⅱ)(ⅱ)的做法是可以優(yōu)化的，過程如下：

由(ⅰ)可知{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.所以可得pi+1-pi=4ip1.

從上面的解答過程，可以看出不用求出p1，同時(shí)p4的計(jì)算也得到了簡(jiǎn)化.

三、問題(Ⅱ)的一般化

在解答完本題后，思考：若試題沒有給出α與β的數(shù)值，問題(Ⅱ)還能不能解答？如果能，p4如何表示？

答案是肯定的，解答的思路與過程跟原題解答類似.

因?yàn)閍=P(X=-1)=(1-α)β，b=P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，c=P(X=1)=α(1-β)，且pi=api-1+bpi+cpi+1.

所以pi=(1-α)βpi-1+[αβ+(1-α)(1-β)]pi+α(1-β)pi+1，

又因?yàn)閜1-p0=p1≠0，所以{pi+1-pi}是以公比為q，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列，于是可得pi+1-pi=qip1.

顯然，當(dāng)α=0.5，β=0.8時(shí)，q=4，這正是原試題的情形.

四、初始條件與遞推公式的由來

試題中所給出的初始條件p0=0，p8=1和遞推公式pi=api-1+bpi+cpi+1是否合理？能否根據(jù)題意推出初始條件和遞推公式呢？

事實(shí)上，是不需要給出初始條件和遞推公式的，這些可以根據(jù)題意推出來！

依題意知，當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈白鼠只數(shù)多的藥更有效.甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，依照約定，可知每輪得分之和均為0，于是兩人得分之和始終不變，保持是8分.每多治愈一只白鼠則比對(duì)方多得2分，則若甲得0分，則乙得8分，故乙治愈的白鼠比甲多4只，實(shí)驗(yàn)即可停止，故有p0=0，同理p8=1.

若甲得分為i，考慮下一輪，要么變?yōu)閕-1，要么不變，要么變?yōu)閕+1，其相應(yīng)的概率恰為a,b,c.從而得到pi=api-1+bpi+cpi+1，其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).

所以試題完全可以不給初始條件p0=0，p8=1和遞推公式，試題把最難的求遞推公式部分直接給出來，實(shí)際是為了降低難度.而且問題(Ⅱ)(ⅰ)等比數(shù)列的證明其實(shí)也是可以不要的，之所以要證明等比數(shù)列也是為了降低難度，是命題老師給考生提示解題思路的.這樣做更好地控制了整道試題的難度，讓考生更容易解答.

當(dāng)然如果試題不給初始條件和遞推公式，直接問最后一問，那樣試題的難度就大大提升了，而且在沒有提示的情況下作為高考題，也是違背全國卷的命題原則的，因?yàn)榻陙砣珖硪恢眻?jiān)持的原則是數(shù)列簡(jiǎn)化，一般不考查由數(shù)列遞推公式經(jīng)過復(fù)雜的變形求出數(shù)列通項(xiàng)公式的問題.如果要考查此類問題，一般會(huì)先證明一個(gè)輔助數(shù)列是等差或者等比數(shù)列，也就是像試題中那樣，所以此題中所涉及的數(shù)列內(nèi)容是較常規(guī)的考查形式.

五、追本溯源

問“題”那得清如許，為有源頭活水來.原試題的題源來自于：

(2018年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽B卷第12題)棋盤上標(biāo)有第0,1,2,…,100站，棋子開始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為pn.

(Ⅰ)求p3的值；

(Ⅲ)求p99，p100的值.

【評(píng)注】①高考題的問題(Ⅱ)與聯(lián)賽題的問題(Ⅱ)(Ⅲ)基本一致，聯(lián)賽題可以看作高考題的“題源”，高考題將本題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲x予更豐富的命題背景，這說明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中，除了要進(jìn)行高考真題的訓(xùn)練外，還可以適當(dāng)加入一些接近高考難度的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的訓(xùn)練.

②對(duì)試題的探源，可以讓我們更深刻地認(rèn)識(shí)問題，教師要善于鉆研高考題，用“慧眼”去發(fā)現(xiàn)有典型性、可拓展性的高考題，善于進(jìn)行解后反思，方法的歸類，規(guī)律的總結(jié)與技巧的揣摩，再進(jìn)一步對(duì)題目進(jìn)行挖掘、拓展、延伸，擴(kuò)大考題的輻射面，以此提高復(fù)習(xí)的效率.

六、試題的概率論背景

這道概率題是命題人站在隨機(jī)過程的馬爾可夫鏈(Markov Chain)角度命制的題目.馬爾可夫鏈，又稱離散時(shí)間馬爾可夫鏈，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，是狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質(zhì).在馬爾可夫鏈的每一步，系統(tǒng)根據(jù)概率分布，可以從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)，也可以保持當(dāng)前狀態(tài).狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移，與不同的狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移概率.下圖是一種最簡(jiǎn)單的馬爾可夫鏈：隨機(jī)游走(Random Walk)的示意圖，這是概率論中著名的“直線上的隨機(jī)游走問題”.本試題相當(dāng)于是隨機(jī)游走的一個(gè)變種，增加了一種分?jǐn)?shù)維持不變的可能性.本題相當(dāng)于有兩個(gè)邊界0和8，到達(dá)邊界后即停止，所以更準(zhǔn)確地說是“有雙側(cè)吸收壁的直線上的隨機(jī)游走問題”.

馬爾可夫鏈的本質(zhì)較為簡(jiǎn)單，就是一個(gè)事件之后的狀態(tài)只取決于上一步的狀態(tài).例如在本試題中，第i+1次試驗(yàn)之后兩種藥的分?jǐn)?shù)，只會(huì)基于第i次試驗(yàn)之后的分?jǐn)?shù)+1/0/-1，所以之前的分?jǐn)?shù)是多少就不需要知道，只知道第i次實(shí)驗(yàn)之后的分?jǐn)?shù)就足夠進(jìn)行推測(cè)了.

題目中甲藥的分?jǐn)?shù)就是這樣一個(gè)馬爾可夫鏈，而我們關(guān)心甲藥的分?jǐn)?shù)和最后“試驗(yàn)表明甲藥更有效”的概率之間的關(guān)系，這就要關(guān)系到甲藥在不同分?jǐn)?shù)之間轉(zhuǎn)移的概率，就是題目中所給的遞推式：pi=api-1+bpi+cpi+1，這個(gè)關(guān)系式本質(zhì)上表達(dá)了馬爾可夫鏈的傳遞規(guī)律，從pi由概率a傳遞到pi-1，由概率b留在pi，由概率c傳遞到pi+1.所以從pi出發(fā)，最終獲勝的概率也是如此傳遞的.給出這個(gè)關(guān)系式實(shí)質(zhì)上大大降低了題目的難度，避免了考生因?yàn)椴皇煜ゎ}目的背景而束手無策的問題.試題設(shè)計(jì)注重對(duì)問題背景的理解，將大學(xué)隨機(jī)過程的知識(shí)融在高中數(shù)列的角度中讓考生分析，本質(zhì)上只需要高中數(shù)學(xué)的數(shù)列知識(shí)，而不需要復(fù)雜的計(jì)算工具.

馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕收撝兄匾囊活悊栴}，應(yīng)用非常廣泛，有興趣的讀者可以查閱概率論的專業(yè)書籍進(jìn)一步學(xué)習(xí).

七、試題的啟示

近幾年全國卷Ⅰ的概率統(tǒng)計(jì)大題考查的知識(shí)點(diǎn)與背景不穩(wěn)定，每年都有變化，例如2018年全國卷Ⅰ理科第20題結(jié)合了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，今年結(jié)合了數(shù)列.這種靈活多變的考題給考生的復(fù)習(xí)備考帶來了很多不確定性，也正是由于這種不確定性，對(duì)每位考生來說是最公平的.命題人教育理念新，專業(yè)知識(shí)精，選拔標(biāo)準(zhǔn)高，命制的試題超出一線教師的想象，但總能源于教材，高于教材，契合新課標(biāo)的精神.

高考全國卷概率統(tǒng)計(jì)大題具有以能力立意、綜合性強(qiáng)和思維量大等特點(diǎn)，且實(shí)際背景新穎，對(duì)閱讀理解、推理分析和數(shù)據(jù)運(yùn)算的要求較高，因此難度較大，但近兩年降低了運(yùn)算的難度.統(tǒng)計(jì)背景下的概率題弱化計(jì)數(shù)問題，側(cè)重于統(tǒng)計(jì)思想，數(shù)據(jù)分析與處理，結(jié)合生活實(shí)際的決策性問題，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，注重考查數(shù)學(xué)應(yīng)用，體現(xiàn)綜合性和應(yīng)用性的考查要求.試卷設(shè)置的情境真實(shí)、貼近生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和方法在解決問題中的價(jià)值和作用.這有利于在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)中學(xué)的素質(zhì)教育有很好的導(dǎo)向和促進(jìn)作用.