微積分傳入前后清朝數(shù)學(xué)家對微積分相關(guān)問題的研究

李丹 大連財經(jīng)學(xué)院

微積分傳入我國是以1859 年李善蘭與偉烈亞力合作翻譯出版《代微積拾級》為標(biāo)志的。微積分傳入前后這段時間，項(xiàng)名達(dá)和夏鸞翔等數(shù)學(xué)家分別將開方術(shù)應(yīng)用于無理式積分的相關(guān)問題，如橢圓求積術(shù)等問題的研究，亦有較為突出的成就。而這些成就恰巧在微積分傳入前后這段時間所取得，具有較為重要的意義。

項(xiàng)名達(dá)（公元1789—1850），原名萬準(zhǔn)，字步萊，號梅侶，浙江仁和人。嘉慶二十一年（1816）舉人，考授國子監(jiān)學(xué)正。道光六年（1826）進(jìn)士，改官知縣，呈請歸學(xué)正本班銓補(bǔ)。未幾乞假歸，主講杭州紫陽書院，直至1846 年辭去講席，專事著述。著有《下學(xué)庵算學(xué)》三種各一卷，分別為《勾股六術(shù)》（1825）、《三事和較術(shù)》（1843）、《開諸乘方捷術(shù)》（約1845），還有未完稿《象數(shù)一原》六卷（1849）。戴煦（公元1805—1860），字鄂士，號鶴墅，又號仲乙，浙江錢塘人。十五歲，入杭州府學(xué)，后絕意進(jìn)取。戴煦讀書興趣廣泛，數(shù)學(xué)、音律、文學(xué)、古文字、繪畫、篆刻乃至堪輿無不精究，而以數(shù)學(xué)為主要研究領(lǐng)域。1860 年3月19 日，太平天國軍攻克杭州，戴煦隨兄自盡。戴煦著有《四元玉鑒細(xì)草》三卷、《求表捷術(shù)》四種共九卷。

項(xiàng)名達(dá)和戴煦二人關(guān)系密切。1826 年，戴煦初成《四元玉鑒細(xì)草》若干卷，項(xiàng)名達(dá)閱后即與戴煦相見，二人遂為忘年之交。二人均治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)術(shù)交往頻繁，許多成果兩人都相互討論研究。戴煦遵項(xiàng)名達(dá)遺囑為其校補(bǔ)《象數(shù)一原》并補(bǔ)第七卷。二人在開方術(shù)的研究上亦交流頻繁，故本章討論二人的研究。

項(xiàng)名達(dá)有未完稿的《象數(shù)一原》六卷（1849），戴煦受項(xiàng)名達(dá)囑托于咸豐七年（1857）校補(bǔ)并補(bǔ)卷七橢圓求周術(shù)圖解。該著作在三角函數(shù)冪級數(shù)展開式和橢圓求周方面均有深入的研究。其中，卷六是在董 誠研究的基礎(chǔ)上，對橢圓求周術(shù)的研究，卷七是戴氏所補(bǔ)圖解。以 a，b 分別為橢圓的長半軸和短半軸，以p 為橢圓周長，e 為離心率，則項(xiàng)名達(dá)所給出的橢圓周長公式為

戴煦指出項(xiàng)名達(dá)的橢圓求積術(shù)以大輔圓立算，故以“借大積”開平方，也可以小輔圓立算，以“借小積開平方?！庇谑?，戴煦借助《開諸乘方捷術(shù)》中的補(bǔ)第一術(shù)，亦即《續(xù)對數(shù)簡法》中的“以本數(shù)為積求折小各率第二術(shù)”，

給出了橢圓周長的另一個公式

項(xiàng)名達(dá)和戴煦所給出的橢圓周長公式是正確的，他們運(yùn)用了橢圓基本定理，開方術(shù)及相似等知識。他們的工作是在微積分傳入之前，而其思想與橢圓積分的原理相同。他們的方法在微積分傳入前，對解決微積分所研究的相關(guān)問題具有重要的意義，而微積分傳入后，對我國數(shù)學(xué)家理解微積分知識也有一定的作用。但是，他們的方法較為初等，因此計(jì)算量很大。

項(xiàng)名達(dá)和戴煦之后，夏鸞翔也研究了曲線求積問題，得到了一般的橢圓弧長公式。

夏鸞翔（公元1825—1864），字紫笙，浙江錢塘人?！跋男帐呛贾菀粠У拇笞?，歷史上出過不少達(dá)官名儒，……清初以后夏族漸衰，然家世好學(xué)，門風(fēng)濡染，知名于鄉(xiāng)里者仍不少?！毕柠[翔自小刻苦勤學(xué)，尤其酷愛繪畫和詩歌。同樣是因?yàn)槭艿郊彝ビ绊?，夏鸞翔醉心于功名，多次參加科舉考試，但均為中第。

1845 年，夏鸞翔因?yàn)殚喿x戴煦的著作，遂登門拜訪而結(jié)識同鄉(xiāng)戴煦，后又與項(xiàng)名達(dá)相識，拜項(xiàng)名達(dá)為師，從此系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識。1857 年，夏鸞翔通過輸餉議敘的方式得到了一個詹事府主簿的職位，1858 年，因喪母而歸家守孝，這個時期，夏鸞翔與時任江蘇巡撫的數(shù)學(xué)家徐有壬有所交往，在學(xué)術(shù)上也有所交流。1860 年初，李善蘭應(yīng)徐有壬之邀來到蘇州做幕賓，夏鸞翔很可能結(jié)識了李善蘭，并見到了李善蘭與偉烈亞力合譯的《代微積拾級》，從而因此學(xué)習(xí)到了微積分的知識。后來，因?yàn)樘教靽\(yùn)動，蘇杭一帶戰(zhàn)事不斷，夏鸞翔為逃避戰(zhàn)亂，于1863 年到達(dá)廣州，同時帶去了自己的主要著作和戴煦的《對數(shù)簡法》。不久之后，夏鸞翔便結(jié)識了鄒伯奇和吳嘉善等人，這些數(shù)學(xué)家互相探討交流，得到了一些數(shù)學(xué)研究成果。1863 年底，廣東巡撫郭嵩燾開始籌建輿圖館和同文館?；I建中的同文館擬設(shè)西文教習(xí)、中文教習(xí)各一人。郭打算聘請夏鸞翔為中文教習(xí)，可惜，夏鸞翔未到任便于1864 年因病去世，享年僅42 歲。

夏鸞翔的主要數(shù)學(xué)著作有《少廣縋鑿》一卷）（約1850）、《洞方術(shù)圖解》二卷（1857）、《致曲術(shù)》和《致曲圖解》各一卷（約1860—1861）和《萬象一原》九卷（1862）等。夏鸞翔去世后，鄒伯奇等甚為痛惜，鄒囑托吳嘉善搜尋夏鸞翔的著作，后來郭嵩燾亦出資。直到1874 年，鄒伯奇的后人在出版《鄒征君遺書》時，才將夏氏的部分著作（以上所列前四種）一并刊印。

他的相關(guān)研究成果主要記載在《致曲術(shù)》《致曲圖解》以及《萬象一原》中。夏鸞翔在《致曲術(shù)》“橢正弦求橢弧背術(shù)”中給出了橢圓弧長的冪級數(shù)展開式。對于橢圓，設(shè)L 為橢圓上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段橢弧長，則

夏鸞翔在《致曲術(shù)》中并沒有給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程，可以根據(jù)夏氏相關(guān)著作對該式予以說明，如下

李善蘭和偉烈亞力翻譯出版的《代微積拾級》的卷十四第八款給出曲線的弧長微分式為

卷十八還給出橢圓弧長公式

在上式中的

將上列各式代入式（2）可得式（1）。而式（1）是表示橢圓從點(diǎn)到點(diǎn)的弧長，若將點(diǎn)換為，即在式（1）中令，再乘以4，整理可得項(xiàng)名達(dá)所給出的橢圓周長公式。

夏鸞翔利用開方術(shù)等知識得到了橢圓弧長的一般公式，其成果比項(xiàng)名達(dá)的更具一般性。夏氏的成果在微積分傳入我國之后，并且從他的著作中可以得知其已經(jīng)接觸學(xué)習(xí)到了《代微積拾級》中的相關(guān)知識。然而，在處理被積函數(shù)中的無理式的展開式時，他拋開了《代微積拾級》中的泰勒公式和馬克勞林公式，而應(yīng)用了中國傳統(tǒng)的遞加數(shù)的知識對二項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行展開，然后再逐項(xiàng)求積分。在當(dāng)時的許多中國數(shù)學(xué)家看來，“‘微分術(shù)’幾乎等同于級數(shù)展開式的求法，而級數(shù)展開法在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中‘遞加數(shù)’就可以解決，因此在夏氏看來，微分術(shù)就是‘遞加數(shù)’”。

綜上，在微積分傳入以前，中國數(shù)學(xué)家借助開方術(shù)的研究成果，解決了一部分曲線求積問題，他們因此易于接受積分中無限分割的思想。但是，由于開方術(shù)的知識背景是以遞加數(shù)為基礎(chǔ)，這使得中國數(shù)學(xué)家在學(xué)習(xí)微積分的時候認(rèn)識過于狹隘，往往認(rèn)為與中國的遞加數(shù)沒有區(qū)別，而阻礙了廣大數(shù)學(xué)家對微積分的吸收與研究。