測(cè)量多階磁梯度張量的磁傳感器陣列

張濤　王新華　ZIA　Ullah

摘要：為實(shí)現(xiàn)多階磁梯度張量的準(zhǔn)確測(cè)量，提出一種磁傳感器陣列。陣列由9個(gè)三軸磁傳感器組成，在平面呈菱形排列。根據(jù)張量對(duì)稱性，提出一階及二階磁梯度張量計(jì)算方法。采用Floater-Hormann有理插值完成測(cè)量盲點(diǎn)的修正。根據(jù)磁偶極子原理建立仿真模型，研究陣列在地磁場(chǎng)和噪聲背景下的一階及二階磁梯度張量測(cè)量精度。仿真結(jié)果表明，提出陣列在磁梯度張量測(cè)量精度、完整性方面優(yōu)于十字形陣列和六面體陣列?；谝浑A和二階磁梯度張量的定位應(yīng)用也可證明所提出陣列的有效性。

關(guān)鍵詞：傳感器陣列;一階磁梯度張量;二階磁梯度張量;地磁場(chǎng);插值;磁源定位

中圖分類號(hào)：P203 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）08-0093-07

收稿日期：2018-11-22;收到修改稿日期：2019-01-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2017YFC0805005-1）;北京市教育委員會(huì)科研計(jì)劃項(xiàng)目資助（KZ201810005009）;中國(guó)博士后基金（20187110020）

作者簡(jiǎn)介：張濤（1989-），男，山西太原市人，博士研究生，研究方向?yàn)楣艿赖卮艡z測(cè)。

通信作者：王新華（1969-），男，山東德州市人，教授，博士，研究方向?yàn)楣艿罒o損檢測(cè)、流體傳動(dòng)與控制。

0 引言

磁梯度張量由多階磁場(chǎng)分量在不同方向上的空間變化率組成，相比于單分量磁場(chǎng)和總磁場(chǎng)，磁梯度張量包含豐富的磁場(chǎng)信息和諸多旋轉(zhuǎn)不變量，被廣泛應(yīng)用于無損檢測(cè)[1-2]、磁偶極子源定位[3-4]、磁性體幾何參數(shù)反演[5]等領(lǐng)域。

磁梯度張量測(cè)量陣列通過捷聯(lián)于載體上的多個(gè)磁傳感器間接得到磁場(chǎng)梯度。一階磁梯度張量是在實(shí)際應(yīng)用中最常用的測(cè)量量。陳海龍等[6]采用兩個(gè)三軸磁場(chǎng)傳感器測(cè)量磁場(chǎng)，根據(jù)張量縮并理論求取磁梯度張量模量，并利用局部波數(shù)實(shí)現(xiàn)缺陷定位。但該陣列結(jié)構(gòu)需保持磁傳感器移動(dòng)速度恒定，不具備實(shí)用性。于振濤等[7]利用等邊三角形陣列，計(jì)算連續(xù)3個(gè)測(cè)量點(diǎn)的磁梯度張量，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)測(cè)量平面的磁偶極子源定位。但該陣列計(jì)算的磁梯度張量方法繁瑣，誤差較大。YIN等[8]利用十字形陣列計(jì)算單位磁矩向量和單位距離向量，在此基礎(chǔ)上利用最小二乘法完成了磁性目標(biāo)定位。LIU等[9]采用多組并聯(lián)的十字形陣列結(jié)構(gòu)，利用磁梯度張量各分量觀測(cè)值與理論值差值的平方和作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，利用粒子群優(yōu)化算法完成目標(biāo)車輛位置的反演。萬成彪等[10]通過十字形陣列計(jì)算磁梯度張量矩陣特征值，進(jìn)一步得到位置方向矢量，實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)定位。NARA等[11]通過六面體陣列計(jì)算一階磁梯度張量實(shí)現(xiàn)電磁線圈定位。但是，在遇到強(qiáng)噪聲時(shí)，十字形陣列和六面體陣列會(huì)存在較大誤差。

二階磁梯度張量同樣在定位中具有重要的應(yīng)用，SUI等[12]利用安裝在刻度盤上的單軸傳感器和泰勒級(jí)數(shù)測(cè)量二階磁梯度張量，實(shí)現(xiàn)了最大誤差為0.8cm的高精度定位。但是，此系統(tǒng)需要精確控制傳感器旋轉(zhuǎn)角度，缺乏實(shí)用性。YIN等[13]設(shè)計(jì)了十字形的磁梯度張量系統(tǒng)，利用一階張量間的差分獲得部分二階磁梯度張量。但是，由于十字形陣列測(cè)量的一階磁梯度張量存在較大誤差，此方法會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大誤差。此外，十字形陣列只能獲取部分二階磁梯度張量，導(dǎo)致其應(yīng)用場(chǎng)合有限。

鑒于此，本文提出一種磁傳感器測(cè)量陣列，研究了一階及二階磁梯度張量的計(jì)算方法。采用Floater-Hormann有理插值完成盲點(diǎn)的修正，并通過仿真驗(yàn)證了所提陣列能夠完成高精度及完整的一階及二階磁梯度張量測(cè)量。此外，磁源定位應(yīng)用的結(jié)果也表明所提陣列相比于其他陣列更加適合作為磁梯度張量測(cè)量陣列。

1 磁梯度張量

磁感應(yīng)強(qiáng)度B_x，B_y，B_z在3個(gè)方向x，y，z的變化率為一階磁梯度張量，其表達(dá)式[14]為

在沒有空間電流密度的觀測(cè)區(qū)域，磁場(chǎng)的散度和旋度都為0，因此磁梯度張量分量具有對(duì)稱性。式（1）可改寫為

二階磁梯度張量是一階磁梯度張量9個(gè)分量的空間導(dǎo)數(shù)，擁有27個(gè)分量。二階磁梯度張量分量同樣具有對(duì)稱性，可表示為

2 張量計(jì)算方法

陣列由9個(gè)三軸磁場(chǎng)傳感器構(gòu)成，在平面形成菱形排列，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

一階磁梯度張量可表示為其中，2d為基線距離;j=x，y，z，代表笛卡爾坐標(biāo)中的三軸方向。

二階磁梯度張量可表示為

為更好地驗(yàn)證新陣列的有效性，引入十字形陣列和六面體陣列，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。十字形陣列的一階磁梯度張量可表示為

十字形陣列無法計(jì)算完整二階磁梯度張量，則部分二階磁梯度張量的計(jì)算公式為其中，*代表分量無法計(jì)算。同樣的，六面體陣列的一階磁梯度張量可表示為

與十字形陣列相同，六面體陣列也只能計(jì)算部分二階磁梯度張量，其中S_x³和S_y³與十字形陣列的S_x²和S_y²相同，S_z³可表示為

3 一階磁梯度張量測(cè)量精度研究

設(shè)置仿真條件為：磁源位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，磁矩大小M=（-12500，12500，10000）A·m²。測(cè)量平面為2m×2m的正方形區(qū)域，測(cè)量高度為1m，每隔0.05m×0.05m作為一個(gè)測(cè)量點(diǎn)。陣列基線距離d=0.01m，誤差公式為其中，G_ij-a和G_ij-t分別為一階磁梯度張量測(cè)量值和理論值。

3.1 Floater-Hormann有理插值

在測(cè)量過程中，某些點(diǎn)會(huì)使式（17）失去意義，這些點(diǎn)被稱為盲點(diǎn)。采用Floater-Hormann有理插值方法[15]實(shí)現(xiàn)盲點(diǎn)的修正。區(qū)間[a，b]有離散點(diǎn)：

a=x₀1

3）在不同背景場(chǎng)下的磁源定位的應(yīng)用中，提出陣列的位置反演誤差相比于十字形陣列和六面體陣列小，也證明了提出陣列能夠完成高精度的多階磁梯度張量測(cè)量。

參考文獻(xiàn)

[1]陳海龍，王長(zhǎng)龍，左憲章，等.磁記憶梯度張量測(cè)量信號(hào)預(yù)處理方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2017，39（3）：488-493.

[2]SONG Q，DING W，PENG H，et al.A new magnetic testingtechnology based on magnetic gradient tensor theory[J].Insight-Non-Destructive Testing and Condition Monitoring，2017，59（6）：325-329.

[3]LEE K，LI M.Magnetic tensor sensor for gradient-basedlocalization of ferrous object in geomagnetic field[J].IEEI：Transactions on Magnetics，2016，52（8）：1-10.

[4]張朝陽(yáng)，肖昌漢，閻輝.磁性目標(biāo)的單點(diǎn)磁梯度張量定位方法[J].探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2009，31（4）：44-48.

[5]MA G，DU X.An improved analytic signal technique for thedepth and structural index from 2D magnetic anomaly data[J].Pure&Applied Geophysics，2012，169（12）：2193-2200.

[6]陳海龍，王長(zhǎng)龍，朱紅運(yùn).基于磁梯度張量的金屬磁記憶檢測(cè)方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2016，37（3）：602-609.

[7]于振濤，呂俊偉，許素芹，等.運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)定位方法[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，36（5）：606-610.

[8]YIN G，ZHANG Y，LI Z，et al.Detection of ferromagnetictarget based on mobile magnetic gradient tensor system[J].Journal of Magnetism&Magnetic Materials，2016，402：1-7.

[9]LIU R，WANG H.Detection and localization of improvisedexplosive devices based on 3-axis magnetic sensor arraysystem[J].Procedia Engineering，2010，7（12）：1-9.

[10]萬成彪，潘孟春，張琦，等.基于張量特征值和特征向量的磁性目標(biāo)定位[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工），2017，47（2）：655-660.

[11]NARA T，SUZUKI S，ANDO S.A closed-form formula formagnetic dipole localization by measurement of its magneticfield and spatial gradients[J].IEEE Transactions onMagnetics，2006，42（10）：3291-3293.

[12]SUI Y，LESLIE K，CLARK D.Multiple-order magneticgradient tensors for localization of a magnetic dipole[J].IEEEMagnetics Letters，2017，8：1-5.

[13]YIN G，ZHANG Y，F(xiàn)AN H，et al.Magnetic dipolelocalization based on magnetic gradient tensor data at a singlepoint[J].Journal of Applied Remote Sensing，2014，8（1）：1-18.

[14]李光，隨陽(yáng)軼，劉麗敏，等.基于差分的磁偶極子單點(diǎn)張量定位方法田.探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2012，34（5）：50-54.

[15]FLOATER M，HORMANN K.Barycentric rationalinterpolation with no poles and high rates ofapproximation[J].Numerische Mathematik，2007，107（2）：315-331.

[16]于振濤，呂俊偉，樊利恒，等.基于磁梯度張量的目標(biāo)定位改進(jìn)方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2014，36（7）：1250-1254.

（編輯：商丹丹）