以漸進(jìn)式核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

王志南

[摘 要]

以核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解和自主建構(gòu)，引領(lǐng)兒童走向深度學(xué)習(xí)。漸進(jìn)式數(shù)學(xué)核心問(wèn)題通常出現(xiàn)在學(xué)生“逐步逼近”數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)之時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從驗(yàn)證式走向探究式，在深刻理解中拓展核心問(wèn)題;以開(kāi)放性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，在互動(dòng)中逐步逼近核心問(wèn)題;設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)，在活動(dòng)中深刻感悟核心問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]

漸進(jìn)式;數(shù)學(xué)核心問(wèn)題;深度學(xué)習(xí)

課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)歸根結(jié)底就是課堂提問(wèn)的設(shè)計(jì)，如果提問(wèn)過(guò)于瑣碎和零散，則不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維則會(huì)淹沒(méi)在問(wèn)題之中，而無(wú)法真正掌握所學(xué)內(nèi)容中的核心知識(shí)。聚焦核心知識(shí)的提問(wèn)即核心問(wèn)題，解決好數(shù)學(xué)教與學(xué)中的核心問(wèn)題，則聚焦知識(shí)本質(zhì)，“綱舉目張”，事半功倍。

核心問(wèn)題的呈現(xiàn)方式是多樣的，有開(kāi)門見(jiàn)山，有引而待發(fā)，有的是老師提出，也有的由學(xué)生自主提煉。呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)也不盡相同，核心問(wèn)題的呈現(xiàn)并不一定要在課始，也不是越早越好。有時(shí)，核心問(wèn)題出現(xiàn)在學(xué)生“逐步逼近”數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)之時(shí)，我們將此類核心問(wèn)題稱為漸進(jìn)式數(shù)學(xué)核心問(wèn)題。那么，在教學(xué)實(shí)踐中，如何提煉漸進(jìn)式數(shù)學(xué)核心問(wèn)題，推動(dòng)兒童思維發(fā)展，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)呢？

一、從驗(yàn)證式走向探究式，在深刻理解中拓展核心問(wèn)題

數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得關(guān)鍵在于理解，只有被學(xué)生理解的數(shù)學(xué)，才會(huì)成為支撐學(xué)生以后發(fā)展的資源，被學(xué)生深刻理解的數(shù)學(xué)，才能融入學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，使之成為知識(shí)結(jié)構(gòu)中的一部分，并不斷地與其他知識(shí)發(fā)生聯(lián)系。某種意義上說(shuō)，“學(xué)習(xí)就是理解，理解就是一個(gè)意義賦予過(guò)程，即學(xué)生必須依據(jù)自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)建構(gòu)的知識(shí)作出解釋，在新的學(xué)習(xí)材料與主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，從而獲得真正的意義?！盵1]從這個(gè)意義上講，學(xué)生獲得的知識(shí)意義對(duì)學(xué)習(xí)者而言也是一種“創(chuàng)造性的理解”的過(guò)程。因而在教學(xué)過(guò)程中，教師設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)，不能局限于引導(dǎo)學(xué)生去驗(yàn)證已有的結(jié)論，而要將學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)得更為開(kāi)放，讓其從驗(yàn)證式學(xué)習(xí)走向探究式學(xué)習(xí)。

如在人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的《鴿巢問(wèn)題》一課中，筆者進(jìn)行了如下嘗試：

【活動(dòng)一】4只鴿子飛回3個(gè)鴿巢。鴿巢中的鴿子數(shù)會(huì)有多少種不同的情況呢？

1.一一列舉法

①組織學(xué)生小組合作，研究鴿巢中的鴿子數(shù)一共會(huì)有幾種不同的情況？

②學(xué)生匯報(bào)探究結(jié)果，揭示數(shù)學(xué)方法（板書：一一列舉法）

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

③觀察不同的方法，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無(wú)論怎么飛，總有一個(gè)鴿巢里至少有2只鴿子？

2.假設(shè)法

①引導(dǎo)：剛才我們用一一列舉法獲得了結(jié)論，如果想要發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，你還有其他的方法嗎？怎樣才能最快地知道鴿巢中鴿子的最大數(shù)至少是幾？大家討論討論。

②解釋：學(xué)生用假設(shè)法來(lái)解釋所得規(guī)律中的數(shù)學(xué)道理，課件演示驗(yàn)證。

假設(shè)每個(gè)鴿巢先飛進(jìn)1只鴿子，最多飛進(jìn)3只，余下的1只鴿子可以飛進(jìn)任意的一個(gè)鴿巢里，這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個(gè)鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子。

揭示：這種方法在數(shù)學(xué)上叫作假設(shè)法。（板書：假設(shè)法）

③追問(wèn)：繼續(xù)品味這種假設(shè)的方法，要想知道“鴿巢中鴿子的最大數(shù)至少是幾”，在分的時(shí)候要怎樣分？（盡可能分得均勻些）

④提問(wèn)：假設(shè)法體現(xiàn)了平均分的思想，你能不能把剛才平均分的過(guò)程用算式表示出來(lái)？

……

在《鴿巢問(wèn)題》一課的教學(xué)中，許多教師通常滿足于讓學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)驗(yàn)證“四只鉛筆放進(jìn)三個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2只鉛筆”這一結(jié)論。由于學(xué)生在操作前就已知結(jié)論，因而學(xué)生的操作活動(dòng)是淺層次的，缺乏探究的主動(dòng)性。這樣的驗(yàn)證式學(xué)習(xí)將學(xué)習(xí)目標(biāo)指向結(jié)論的獲得，而非深入地理解為什么會(huì)有這樣的數(shù)學(xué)規(guī)律。事實(shí)上，數(shù)學(xué)理解不是簡(jiǎn)單的被動(dòng)接受，往往需要學(xué)習(xí)者自己的積極、主動(dòng)、有意識(shí)的思維參與。如果沒(méi)有思維參與，學(xué)生難以對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生真正意義上的理解。探究式學(xué)習(xí)則更為開(kāi)放，學(xué)生思維的空間更大，有助于學(xué)生深入“卷入”活動(dòng)之中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解和內(nèi)化。

鄭毓信教授認(rèn)為，“創(chuàng)設(shè)好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境特別重要的一環(huán)在于，教師應(yīng)善于提出問(wèn)題，提出具有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性的問(wèn)題，很好地激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而促使學(xué)生積極地去進(jìn)行學(xué)習(xí)，深入地去進(jìn)行思考?！盵2]案例中，核心問(wèn)題由“鴿巢問(wèn)題中有怎樣的規(guī)律”逐漸轉(zhuǎn)向“鴿巢問(wèn)題中為什么有這樣的規(guī)律？”學(xué)生所學(xué)到的不僅是“至少數(shù)=商+1”這一結(jié)論，更指向深刻理解這一規(guī)律背后所隱藏的數(shù)學(xué)道理，實(shí)現(xiàn)“列舉法”與“假設(shè)法”之間的融合互通。

二、以開(kāi)放性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，在互動(dòng)中逐步逼近核心問(wèn)題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，開(kāi)放性的問(wèn)題情境有利于學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化的自主探究，對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行多層次的思考，獲得多樣化的解決問(wèn)題的方案。尤其是，在解決與生活密切相關(guān)的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，開(kāi)放性探究有助于不同層次的學(xué)生均能尋找到解決問(wèn)題的路徑，在結(jié)構(gòu)化的資源呈現(xiàn)中實(shí)現(xiàn)思維的互動(dòng)和碰撞，尋獲解決問(wèn)題的最佳方案。同時(shí)，在開(kāi)放性問(wèn)題的探究中，學(xué)生逐漸逼近問(wèn)題情境中的核心問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

如在教學(xué)“怎樣租船最合理”這一經(jīng)典題型時(shí)，我放手讓學(xué)生自由設(shè)計(jì)租船方案。

問(wèn)題情境：老師和同學(xué)共 46 人坐船游玩，每條大船可以坐 10 人，每條小船可以坐 6 人，大船每條 60 元，小船每條 40 元，怎樣租船比較合理呢？

學(xué)生設(shè)計(jì)的方案如下：

生1：全部租大船，租 5 條，租金為60×5=300元。

生2：全部租小船，租 8 條，租金為40×8=320元。

生3：可以租 4 條大船，1 條小船，10×4 +6×1 = 46（人），正好可以坐滿，沒(méi)有浪費(fèi)的位置。租金為60×4+40×1=280元。

生4：還可以租 3 條大船，3 條小船，10×3 +6×3 = 48（人），這樣雖然沒(méi)有多了2個(gè)位置，租金也差不多，租金是60×3+40×3=300元。

生5：我覺(jué)得正好坐滿沒(méi)有空位的思路挺好，我也想到了一種方法，租 1 條大船和 6 條小船，10×1 + 6×6 = 46（人），也正好可以做 46 人，租金是60×1+40×6=300元。

師：同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出來(lái)了不同的租船方案，你覺(jué)得哪種方案最合理呢？

生1：我覺(jué)得最合理的方案是剛好坐滿沒(méi)有空位的那種。

生2：我覺(jué)得設(shè)計(jì)方案時(shí)不僅要考慮盡可能不要有空位，還要看誰(shuí)的租金最少才是最合理的。上面的方案3和方案5都沒(méi)有空位，但方案3花錢最好，所以最合理。

師：說(shuō)得真好，觀察方案3和方案5，都是正好坐滿無(wú)空位，請(qǐng)大家思考為什么方案3花錢更少呢？

生：我發(fā)現(xiàn)方案3租的大船多，小船少。而如果算一下坐大船的同學(xué)租金單價(jià)是60÷10=6元，坐小船的同學(xué)租金單價(jià)是40÷6≈6.7元，租大船平均每人的租金便宜，因此要優(yōu)先租用大船。

上述教學(xué)片斷中，教師并沒(méi)有直接拋出核心問(wèn)題：“怎樣租船最合理呢？”而是設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，設(shè)計(jì)不同的租船方案，學(xué)生在比較中優(yōu)化設(shè)計(jì)，尋找最合理的方案。案例中，核心問(wèn)題的提出是漸進(jìn)的、學(xué)生自主的需求，核心問(wèn)題的提煉猶如“洋蔥剝皮”，在層層推進(jìn)中愈加凸顯其對(duì)學(xué)生的思維推動(dòng)作用。事實(shí)上，“怎樣租船最劃算”這一問(wèn)題對(duì)學(xué)生而言是較為復(fù)雜的，因而教學(xué)時(shí)不必急于把問(wèn)題說(shuō)透，而是要留有學(xué)生開(kāi)放性探索的空間，讓每一個(gè)層次學(xué)生都能設(shè)計(jì)出一兩種方案，并有自己的思考。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，核心問(wèn)題“哪種方案最合理呢？”的提出就顯得水到渠成。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)最合理的方案后，再次引導(dǎo)學(xué)生思考：兩種方案都沒(méi)有空位，為什么方案3更劃算呢？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，大船平均每人的租金便宜，因此租船時(shí)要遵循“優(yōu)先租大船”原則。

核心問(wèn)題采用漸進(jìn)式的呈現(xiàn)方式，可以促進(jìn)學(xué)生在開(kāi)放性的探究中不斷逼近核心問(wèn)題，不斷逼近數(shù)學(xué)核心知識(shí)。同時(shí)，正因?yàn)楹诵膯?wèn)題的漸進(jìn)呈現(xiàn)，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探索與理解處于一種積極的情感體驗(yàn)之中，學(xué)生學(xué)的不僅某一解題方法，更有數(shù)學(xué)探究所帶來(lái)的愉悅體驗(yàn)。

三、設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)，在活動(dòng)中深刻感悟核心問(wèn)題

我們時(shí)常發(fā)現(xiàn)，一些重要的數(shù)學(xué)規(guī)律、法則雖然教師在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還是有許多學(xué)生容易遺忘或是應(yīng)用時(shí)有困難。究其原因，這些規(guī)律、法則的獲得過(guò)程往往是通過(guò)淺層次的被動(dòng)學(xué)習(xí)（聽(tīng)講、閱讀、視聽(tīng)、演示等）所獲得，未能激發(fā)學(xué)生情感的參與和深層次的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。腦科學(xué)研究表明，“當(dāng)事實(shí)和技能鑲嵌在自然的空間記憶中時(shí)，我們就能最佳地理解和記憶。”[3]將空間記憶與動(dòng)手操作相結(jié)合，將極大地提升腦的效能。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)規(guī)律，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如教學(xué)《表面涂色的正方體》時(shí)，許多教師設(shè)計(jì)本課時(shí)，往往急于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)表面涂色正方體中各種小正方即體的個(gè)數(shù)，探究其中的規(guī)律，乃至用字母式表示規(guī)律。特級(jí)教師華應(yīng)龍?jiān)诮虒W(xué)本課時(shí)，華老師的設(shè)計(jì)則顯得不是那么“急于求成”，他精心準(zhǔn)備了棱長(zhǎng)為3厘米的表面涂色的正方體積木，將其打亂，讓學(xué)生去嘗試將其復(fù)原成正方體。

挑戰(zhàn)性任務(wù)：看哪一組動(dòng)手能力最強(qiáng)，能在最短時(shí)間將正方體還原。

（1）小正方體有幾種？

（2）每種小正方體各有多少個(gè)？

（3）每種小正方體分別在大正方體的什么位置？

在引導(dǎo)學(xué)生交流研究結(jié)果后，華老師再次引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖觀察和思考“棱長(zhǎng)4厘米的正方體中每種小正方體各有多少個(gè)？”“棱長(zhǎng)5厘米的正方體中每種小正方體各有多少個(gè)？”然后，再次組織學(xué)生嘗試將棱長(zhǎng)為3厘米的正方體積木還原。

教學(xué)中，華老師設(shè)計(jì)了三次“比一比”，用來(lái)認(rèn)識(shí)“表面涂色的正方體”。事實(shí)上，將表面涂色的正方體還原對(duì)學(xué)生而言是有難度的，原因在于，如果不把握表面涂色正方體的排列規(guī)律和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是無(wú)法將其還原的。另外，如果一個(gè)小正方體的位置放錯(cuò)，就不好再繼續(xù)拼了。三次“比一比”，第一次，2分鐘時(shí)間，比一比哪組同學(xué)動(dòng)手能力強(qiáng)？第二次，2分鐘時(shí)間，比一比哪組同學(xué)表現(xiàn)最棒？第三次，明天的課上比一比哪組同學(xué)用時(shí)最少？試想，下課后學(xué)生是不是會(huì)欲罷不能，繼續(xù)“玩”下去？這樣一遍又一遍地玩過(guò)之后，“表面涂色的正方體”的規(guī)律、特征是不是會(huì)深深地映刻在學(xué)生腦海里？

羅杰斯說(shuō)：“真正能夠影響一個(gè)人的行為的知識(shí)，只能是他自己親身經(jīng)歷并加以同化的知識(shí)，凡是可以教給別人的結(jié)果性知識(shí)相對(duì)來(lái)說(shuō)都用處不大。”案例中，華老師教學(xué)時(shí)并沒(méi)有直接出示本課的核心問(wèn)題：每種小正方體的擺布有怎樣的規(guī)律？在第一課時(shí)結(jié)束時(shí)也未組織學(xué)生總結(jié)“表面涂色的正方體中小正方體的個(gè)數(shù)規(guī)律”，許多教師頗感不解，學(xué)了一課，未總結(jié)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律總感覺(jué)不完整，有些別扭。事實(shí)上，華老師雖然沒(méi)有拋出核心問(wèn)題：“表面涂色的正方體”中各種小正方體有怎樣的規(guī)律？但學(xué)生對(duì)這一規(guī)律的理解和研究又是無(wú)處不在，將規(guī)律的探索蘊(yùn)含于操作實(shí)踐之中，探明小正方體的擺布規(guī)律及內(nèi)在結(jié)構(gòu)成為學(xué)生的內(nèi)在需求。組織學(xué)生挑戰(zhàn)將“棱長(zhǎng)為3厘米的表面涂色正方體積木還原”這一活動(dòng)極具創(chuàng)意，教師沒(méi)有順著教材思路讓學(xué)生去觀察、發(fā)現(xiàn)，而是“倒過(guò)來(lái)干”，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)激發(fā)學(xué)生探究需求，以有挑戰(zhàn)的操作活動(dòng)來(lái)促進(jìn)學(xué)生走向分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維。三次“比一比”，不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是經(jīng)歷思維的梳理和認(rèn)識(shí)的清晰的過(guò)程。本案例又給我們這樣一條啟示：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要規(guī)律的探索不必急于求成，要“善留白，緩說(shuō)破”，“捂緊蓋子”，給予自主探索與感悟的時(shí)間和空間，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)核心問(wèn)題進(jìn)行深入、充分地探究，獲得感性、豐富而深刻的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而使數(shù)學(xué)規(guī)律得以真正地理解和內(nèi)化。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張桂春.激進(jìn)建構(gòu)主義教學(xué)思想研究[M].大連：遼寧師范大學(xué)出版社，2002.

[2]鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[3]雷納特·N.凱恩等，呂林海譯.創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)：教學(xué)與人腦[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2004.

（責(zé)任編輯：李雪虹）