泛型直線螺線管型電磁閥運(yùn)動(dòng)分析和改進(jìn)的電壓控制

劉雨晨， 郁林聰2, 葉 騫

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240; 2.山西柴油機(jī)工業(yè)有限責(zé)任公司， 山西 大同 037036)

引言

直線螺線管型電磁閥是當(dāng)前使用最廣泛的電磁閥之一，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低廉、控制方便、工作頻率高等優(yōu)點(diǎn)。通常，由于這種螺線管電磁閥只具備開啟和關(guān)閉2種工作模式而使得其只適用于作為流量開關(guān)使用。而近年來，由于電子技術(shù)的發(fā)展，使得高速性的開關(guān)電磁閥可以利用脈寬調(diào)制(PWM)的方式調(diào)節(jié)開關(guān)時(shí)間的比例(占空比)，來達(dá)到調(diào)節(jié)流量的效果，這使得這種廉價(jià)的高速開關(guān)型電磁閥逐漸代替昂貴的比例閥。

而現(xiàn)有的控制方法，主要使用方波信號(hào)對(duì)電磁閥占空比進(jìn)行調(diào)整，這種方法的主要缺點(diǎn)在于控制的占空比不夠精準(zhǔn)，而且功率過高導(dǎo)致發(fā)熱量大。有研究人員通過控制電流來控制電磁閥的動(dòng)作[1]，這樣的控制方法，在功率上有所降低，但不能充分的挖掘電磁閥的頻率性能，使得其實(shí)際工作頻率遠(yuǎn)小于其理論工作頻率。

本研究采用階梯型的兩段電壓以達(dá)到更精細(xì)地控制高速開關(guān)電磁閥。這樣的控制，不僅能充分挖掘電磁閥的最大工作頻率以及更精準(zhǔn)的控制占空比，而且發(fā)熱量更低。而要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須先深入分析電磁閥的工作過程和銜鐵運(yùn)動(dòng)的物理模型[2-4]。

1 直線型螺線管電磁閥銜鐵的物理模型建立

圖1為電磁閥銜鐵運(yùn)動(dòng)時(shí)輸入電壓、位移、電流隨時(shí)間變化關(guān)系圖。在直線型螺線管電磁閥中，一般工作過程為：開啟時(shí)，外界對(duì)電磁閥加載電壓，電磁閥的線圈克服電感和電阻而產(chǎn)生電磁吸力，電磁吸力隨著線圈電流增大而逐漸加強(qiáng)。直到電磁吸力大于彈簧預(yù)緊力，銜鐵克服預(yù)緊力開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，銜鐵達(dá)到開啟狀態(tài)。在關(guān)閉時(shí)，外界電壓斷開，線圈放電，當(dāng)放到一定電流時(shí)候，電磁吸力小于彈簧預(yù)緊力，使得銜鐵下落，直到閉合。所以要得到直線型螺線管銜鐵的物理運(yùn)動(dòng)模型，先要分析靜態(tài)下電磁吸力的計(jì)算[5-11]。

圖1 電磁閥銜鐵運(yùn)動(dòng)時(shí)輸入電壓、位移、電流隨時(shí)間關(guān)系圖

1.1 靜態(tài)下電磁吸力的計(jì)算

對(duì)于任意磁體，在受到磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的作用下，其靜態(tài)電磁力大小可以由Maxwell電磁力公式[12]得到：

(1)

式中,F—— 電磁力, N

S—— 電磁線穿過的作用面,m2

n0—— 法向量

μ0—— 空氣磁導(dǎo)率,H/m

B—— 磁感應(yīng)強(qiáng)度,T

對(duì)于如圖2中的一般的直線性螺線管電磁閥，其電磁力的計(jì)算公式可以簡(jiǎn)化為[1]：

(2)

式中，Φ為總磁路中的磁通量,Wb。

1.閥座 2.銜鐵 3.預(yù)緊彈簧 4.鐵芯 5.線圈 6.鐵芯固定件 7、8.密封圈

上公式的Φ,由下面方程組確定：

(3)

式中,iN—— 激勵(lì)磁動(dòng)勢(shì),Wb/H

Gm—— 磁路中磁導(dǎo),H

δi—— 對(duì)應(yīng)磁阻部分的間距,m

Si—— 對(duì)應(yīng)磁阻部分的磁面積,m2

μi—— 第i部分的磁導(dǎo)率,H/m

1.2 銜鐵開始運(yùn)動(dòng)時(shí)間和電壓的關(guān)系

要了解銜鐵的運(yùn)動(dòng)過程，首先要知道銜鐵在給定電壓下的開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

在如圖3所示的一般螺線管電磁閥的電路中，忽略電路連接電路的電感和電阻下，其輸入電壓和電流電感的關(guān)系式如下[1]：

(4)

式中，U—— 輸入電壓,V

i(t) —— 電路電流,A

L(x,t) —— 線圈產(chǎn)生的電感,H

R—— 線圈電阻,Ω

t—— 時(shí)間,s

x—— 銜鐵位移量，當(dāng)未通電時(shí)為0,m

圖3 一般直線型螺線管電磁閥電路圖

而螺線管的電感在有鐵芯和空氣間隙下隨鐵芯位移x的計(jì)算公式為[2]：

(5)

式中,d—— 螺線管的直徑和長(zhǎng)度,m

l—— 螺線管的長(zhǎng)度,m

N—— 線圈匝數(shù)

μ—— 螺線管鐵芯磁導(dǎo)率,H/m

x—— 銜鐵位移量,m

x1—— 空氣在磁路的長(zhǎng)度,m

x0—— 鐵芯在磁路中的長(zhǎng)度,m

在銜鐵上升運(yùn)動(dòng)前可以由式(5)知道電路的電感是不變的，所以在電磁閥電路中：

(6)

解得：

(7)

其中：

(8)

將方程式(7)聯(lián)立方程組式(3)代入式(2)可以得到，電壓和電磁力和時(shí)間的關(guān)系：

(9)

當(dāng)吸力F等于彈簧預(yù)緊力F0時(shí)，其電流即為銜鐵啟動(dòng)電流值。

對(duì)于在銜鐵任意定值位移x下，時(shí)間趨于無窮時(shí)的理論電磁力F等于彈簧預(yù)緊力時(shí)即F為F0+Kx時(shí)，其輸入電壓為最小起勵(lì)電壓U0(x)，最小起勵(lì)電壓和時(shí)間關(guān)系如圖4所示，由式(9)可以得到：

式中，U0(x) —— 輸入電壓,V

K—— 彈簧剛度,N/m

F0—— 彈簧預(yù)緊力,N

圖4 最小起勵(lì)電壓和時(shí)間關(guān)系示意圖

可以知道能使銜鐵開始運(yùn)動(dòng)的最小理論電壓U0(x)是關(guān)于位移x的函數(shù)。

同時(shí)由式(9)和式(10)可以知道，對(duì)于不同電壓U(t0)，達(dá)到U0(x)的時(shí)間t0可以由下面式子得到：

(11)

式中,U(t0) —— 輸入的電壓,V

U0(x) —— 銜鐵位移為x時(shí)的最小起勵(lì)電壓,V

R—— 線圈電阻,Ω

Ldown—— 在銜鐵未啟動(dòng)時(shí)的線圈電感值,H

由上式可以知道，不同輸入電壓與電磁閥銜鐵的開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的關(guān)系如圖1所示。可以知道，只要當(dāng)輸入的電壓大于U0(x)|x=0，電磁閥就能吸合。并且從加載電壓到銜鐵運(yùn)動(dòng)響應(yīng)時(shí)間可以由式(11)求解得到。

在知道銜鐵開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及相關(guān)值后，就可以討論銜鐵的動(dòng)力學(xué)模型了。

1.3 銜鐵上升的動(dòng)力學(xué)分析

銜鐵的上升過程是指銜鐵從剛開始運(yùn)動(dòng)，到運(yùn)動(dòng)完成，銜鐵被吸住不動(dòng)的過程，在此過程中不考慮銜鐵的碰撞等因素。

在銜鐵的上升運(yùn)動(dòng)中有：

(12)

式中,B—— 銜鐵運(yùn)動(dòng)相關(guān)的阻尼系數(shù),N·s/m

F—— 電磁吸力,N

F0—— 彈簧預(yù)緊力,N

K—— 彈簧剛度,N/m

m—— 銜鐵的質(zhì)量,kg

x—— 銜鐵位移量，當(dāng)銜鐵開始運(yùn)動(dòng)時(shí)為0,m

t—— 運(yùn)動(dòng)時(shí)間，當(dāng)銜鐵開始運(yùn)動(dòng)時(shí)為0,s

為解得電流，位移和時(shí)間的關(guān)系，我們代入式(1)并聯(lián)立式(4)就有方程組：

(13)

由式(10)對(duì)最小起勵(lì)電壓U0(x)有：

(14)

所以聯(lián)立式(4)，式(13)和式(14)：

式中,i為線圈電流，初始值由式(9)可得。

求解方程組便可以得到上升運(yùn)動(dòng)過程電流隨時(shí)間的關(guān)系，以及位移隨時(shí)間的關(guān)系。這樣便得到了上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的電流和時(shí)間等信息。

1.4 銜鐵上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的情況分析

在銜鐵上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，只要當(dāng)電磁閥吸力略微大于此時(shí)彈簧預(yù)緊力，電磁閥即可保持吸合狀態(tài)。實(shí)際上，由于在電磁閥的銜鐵的運(yùn)動(dòng)過程中，銜鐵和鐵芯的空氣間隙不斷減小，使得此過程實(shí)際上是整個(gè)磁路磁阻減小過程。而在此過程中，在輸入電壓不變下，線圈對(duì)銜鐵的電磁吸力是越來越大的。所以在上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，銜鐵一定會(huì)吸合住。

在吸合的時(shí)刻，銜鐵被吸住而靜止。線圈繼續(xù)充電，此過程有：

(16)

解得：

(17)

式中，Ltop—— 電路在銜鐵被磁力吸合時(shí)的電感,H

i—— 電路電流，i0是當(dāng)上升運(yùn)動(dòng)完成時(shí)的電流，可以由式(15)求解得到,A

t—— 時(shí)間，當(dāng)上升運(yùn)動(dòng)完成時(shí)為0,s

當(dāng)外界不在加載電壓后，電路先進(jìn)行放電，最終使得電磁吸力與彈簧預(yù)緊力等外力相等，這段過程有：

(18)

式中，i為電路電流，其初值為i1，即上述的充電過程結(jié)束時(shí)的電流值。

當(dāng)電壓為前面所提在吸合位置的最小起勵(lì)電壓U0(x)時(shí)電磁閥開始下落，并令此時(shí)U0(x)為Ufall。

在下落過程有：

(19)

聯(lián)立式(4)并令輸入電壓U=0有方程組如下：

式中,i為線圈電流，初始值為i2,A。

解得上面微分方程組就可以得到下落過程的時(shí)間和結(jié)束后的電流。

2 電磁閥相關(guān)參數(shù)辨識(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)

從前面的分析可以得到：要解得方程式(15)以及方程式(20)就必須要先求得L(x)和U0(x)的函數(shù)關(guān)系式。

在本研究先使用Maxwell仿真軟件對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，模型對(duì)象為樣本高速開關(guān)電磁閥，具體結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中其銜鐵的位移范圍x∈[0, 0.2] mm，當(dāng)上升運(yùn)動(dòng)未開始時(shí)位移為0，完全吸合時(shí)位移為0.2 mm。下面將闡述的參數(shù)辨識(shí)方法。雖然是以此樣本閥為載體，但是方法使用于任意直線螺線管型電磁閥。

2.1 測(cè)量電感和最小起勵(lì)電壓的實(shí)驗(yàn)方法

測(cè)量的電感即是測(cè)量電磁閥電感隨銜鐵位移變化的關(guān)系如式(5)，而最小起勵(lì)電壓即為能使得銜鐵運(yùn)動(dòng)的最小起勵(lì)電壓，其隨銜鐵位移變化的關(guān)系見式(10)。

其具體實(shí)驗(yàn)方法如下：

首先設(shè)銜鐵位移量x=x0，在此條件下，調(diào)整輸入電壓，使得其在一定的范圍取值，然后記錄電壓和銜鐵從輸入電壓到銜鐵啟動(dòng)的時(shí)間，并標(biāo)記這組為x=x0的一組數(shù)據(jù)。所以接下來依次令x=x1，x=x2……以同樣的步驟測(cè)得多組數(shù)據(jù)。

在本樣本閥中對(duì)x分別取0, 50, 100, 150 μm，對(duì)于每個(gè)x取值，分別仿真得到輸入電壓U為25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 250, 300 V一共90組仿真數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包括電流隨時(shí)間的關(guān)系，位移隨時(shí)間的關(guān)系以及吸力隨時(shí)間的關(guān)系。進(jìn)一步處理可以得到銜鐵啟動(dòng)的時(shí)間，即當(dāng)位移不為0的時(shí)刻。

2.2 最小起勵(lì)電壓隨位移的變化

對(duì)最小起勵(lì)電壓U0(x)，考慮一般電磁閥，其銜鐵位移產(chǎn)生彈簧壓縮力Kx遠(yuǎn)小于彈簧預(yù)緊力F0，所以式(10)可以簡(jiǎn)化為：

(21)

上式可寫成：

U0(x)=ax+b

(22)

式中,a,b為線性參數(shù)。

再由式(11)可以知道，當(dāng)銜鐵位移一定時(shí)，輸入電壓U(t)和時(shí)間t的變化關(guān)系為：

(23)

所以可以用形似式(23)的函數(shù)，以及用前面仿真測(cè)得的x=0, 50, 100, 150 μm時(shí)，多組輸入電壓以及對(duì)應(yīng)銜鐵啟動(dòng)時(shí)間的值，即可擬合得到不同位移下的U0(x)值，再進(jìn)而得到參數(shù)a,b的值。

2.3 電感隨銜鐵位移變化

由式(5)可以發(fā)現(xiàn)，電感在直線型螺線管內(nèi)隨銜鐵位移變化是線性的，可以寫為：

L(x)=αx+β

(24)

式中,α,β為線性參數(shù)。

并由式(11)和上式可以得到：

(25)

式中,U—— 控制的輸入電壓,V

t—— 外界加載電壓到銜鐵啟動(dòng)的時(shí)間,s

在式(25)中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)每個(gè)不同的輸入電壓U和x都有唯一的銜鐵啟動(dòng)時(shí)間t與之對(duì)應(yīng)。所以由式(23)擬合得出指數(shù)系數(shù)ξ，即可進(jìn)一步得到參數(shù)α和β。

2.4 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果與微分方程求解以及仿真對(duì)比

此次仿真以圖2所示電磁閥為樣本閥，對(duì)上述步驟進(jìn)行操作，得到的不同位移下，電壓和銜鐵啟動(dòng)時(shí)間及其擬合曲線如圖5所示，確定的最小起勵(lì)電壓U0隨位移的曲線如圖6所示，以及電感隨位移的變化如圖7所示。

圖5 激勵(lì)電壓隨時(shí)間變化擬合曲線和仿真數(shù)據(jù)圖

圖6 最小起勵(lì)電壓隨銜鐵位移的變化

圖7 線圈電感隨銜鐵位移的變化

在求得電感和最小起勵(lì)電壓后，就可以解出方程式(15)和式(20)。

由于方程式(15)和式(20)都是非線性微分方程組，很難找出方程的通解，這里先將方程組轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程組，然后采用Runge-Kutta公式[13]進(jìn)行求解：對(duì)于上升運(yùn)動(dòng)過程。

由方程式(15)有：

(26)

式中,t—— 當(dāng)銜鐵開始運(yùn)動(dòng)時(shí)為0，銜鐵上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束后的時(shí)間為t1,s

R—— 線圈電阻，取35.4 Ω

i—— 電路電流，其初始電流值由式(9)可以計(jì)算得到,A

x—— 銜鐵位移，未啟動(dòng)時(shí)為0,m

F0—— 彈簧預(yù)緊力，取15 N

K—— 彈簧剛度，取3000 N/m

m—— 銜鐵質(zhì)量，取0.0014 kg

B—— 銜鐵阻尼值，取10 N·s/m

同時(shí)，在知道最小起勵(lì)電壓，以及在銜鐵未運(yùn)動(dòng)時(shí)的電感情況下，銜鐵從加載輸入電壓U到銜鐵開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0可以由式(11)得到。

在限定銜鐵最大位移x=0.2 mm的情況下，對(duì)于不同輸入電壓U的取值，其解得的線圈電流i隨時(shí)間變化圖8，銜鐵位移x隨時(shí)間變化如圖9所示。

圖8 上升過程線圈電流和時(shí)間關(guān)系圖

圖9 上升過程銜鐵位移和時(shí)間關(guān)系圖

并將由上面方法計(jì)算得的銜鐵啟動(dòng)時(shí)間t0并加上上升結(jié)束時(shí)間t1與仿真結(jié)果對(duì)比，如表1。從表中可以發(fā)現(xiàn)，求解的時(shí)間和仿真時(shí)間的誤差均小于5%，說明理論模型的正確性。

2) 對(duì)于下落過程

對(duì)于方程式(20)有：

(27)

式中,t—— 銜鐵下落的時(shí)間，在開始下落時(shí)為0,s

i—— 線圈電流，在知道最小起勵(lì)電壓值后，其初始值i2的由式(20)可以得到,A

表1 微分方程理論解和仿真解對(duì)比

在最小起勵(lì)電壓確定后，其下落過程的解唯一，其線圈電流隨時(shí)間的變化如圖10所示，銜鐵位移隨時(shí)間的變化如圖11所示。

圖10 下落過程線圈電流和時(shí)間關(guān)系圖

圖11 下落過程銜鐵位移和時(shí)間關(guān)系圖

3 基于兩段階梯電壓下的電壓控制策略

通過直線螺線管電磁閥銜鐵的電路分析和動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)可以通過使用高電壓和低電壓組合的兩段階梯電壓的控制方式能有效提高電磁閥的實(shí)際控制頻率和精準(zhǔn)地控制占空比，同時(shí)也能減小電磁閥功率。

3.1 兩段階梯型電壓控制策略

此策略是使用兩段不同電壓值Uhigher以及Ulower來控制電磁閥，其中這種控制方式滿足：

(1) 控制的高電壓在上升運(yùn)動(dòng)結(jié)束前為Uhigher，這時(shí)銜鐵剛好完全吸合，此時(shí)電流為i1；

(2) 可以使得控制低電壓Ulower降到銜鐵被磁力吸合時(shí)最小起勵(lì)電壓U0(x)，并保持一定時(shí)間，以滿足給定占空比要求。這樣可以一直保持吸合狀態(tài)，在此過程結(jié)束時(shí)的電流為i2；

(3) 再輸入電壓為0，此時(shí)由于上面階段選擇的控制電壓Ulower=U0(x)，此段過程會(huì)經(jīng)歷3個(gè)階段：一是線圈繼續(xù)放電，直到線圈電壓小于此位置的最小起勵(lì)電壓U0(x)。二是銜鐵開始下落，直到下落結(jié)束。三是下落結(jié)束放電直到此周期結(jié)束。

所以在此種控制方案下，整個(gè)過程如圖12所示：開始加載高電壓Uhigher，時(shí)間為0→銜鐵開始上升運(yùn)動(dòng)t0→銜鐵完全吸合t1→控制電壓為Ulower，保持時(shí)間為t2→線圈放電直至銜鐵開始下落t3→銜鐵下落過程結(jié)束完全關(guān)閉t4→電路繼續(xù)放電到此周期結(jié)束t5。

圖12 新控制策略的輸入電壓、位移、電流隨時(shí)間變化過程

3.2 梯形電壓控制策略的仿真實(shí)驗(yàn)

分析了銜鐵運(yùn)動(dòng)的各個(gè)過程，得出了基于理論過程分析的控制策略，并通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)而計(jì)算得到了銜鐵的各種參數(shù)。這樣就可以利用前面的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際控制中。在此，采用仿真的方式驗(yàn)證控制策略的有效性。

在前面的參數(shù)辨識(shí)和微分方程的計(jì)算后，確定了銜鐵啟動(dòng)的時(shí)間t0，銜鐵運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)長(zhǎng)t1以及吸合后的最小起勵(lì)電壓U0(x)，可以依據(jù)上述方案設(shè)計(jì)控制高低電壓Uhigher和Ulower，在考慮到一定的理論計(jì)算誤差下，采用策略對(duì)電磁閥進(jìn)行控制如下：

以圖4的樣本電磁閥進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)置兩組仿真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：

第一組作為對(duì)比，以常規(guī)PWM方波控制方法進(jìn)行控制，設(shè)置其電壓為24 V，占空比為50%的方波進(jìn)行控制，方波的頻率為50 Hz。

而以新控制策略方法設(shè)置第二組。其中選用Uhigher=55 V，由上述方法解得其銜鐵啟動(dòng)時(shí)間t0=2.6646 ms，上升運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=1.3966 ms考慮到誤差，取高電壓的持續(xù)時(shí)間為thigh= 105%·(t0+t1)=4.2643 ms，并由前面參數(shù)確定最小起勵(lì)電壓U0(x)在吸合位置電壓為7.358 V，考慮到控制的冗余，取低電壓Ulower=8 V。

兩者的仿真結(jié)果如圖13所示，從中可以發(fā)現(xiàn)，使用傳統(tǒng)PWM控制的電磁閥的銜鐵在剛開始加載時(shí)，并不能正常工作。而在之后的運(yùn)動(dòng)中，盡管控制的占空比為50%，但實(shí)際仿真的占空比遠(yuǎn)小于50%。說明電磁閥在50 Hz頻率下，用傳統(tǒng)方法已經(jīng)不能準(zhǔn)確控制閥的開關(guān)時(shí)間了。

圖13 樣本閥以新控制策略以及傳統(tǒng)控制的輸入電壓和位移隨時(shí)間關(guān)系圖

而使用新控制策略方法進(jìn)行控制，可以發(fā)現(xiàn)。同一電磁閥的銜鐵不僅在加載開始時(shí)能正常運(yùn)作，而且控制所要求的占空比也能很好的滿足其要求。

從上面的仿真結(jié)果能有效的證明了本研究?jī)啥坞A梯電壓控制策略方法能更精準(zhǔn)的控制電磁閥的占空比，同時(shí)如果設(shè)置低電壓Ulower為0也能得出電磁閥頻率提高的結(jié)論。

4 結(jié)論

本研究從電磁閥銜鐵的靜態(tài)吸力出發(fā)，由電磁吸力公式得出了主要影響電磁閥工作性能為電壓的結(jié)論。然后通過分析電磁閥銜鐵的運(yùn)動(dòng)過程，得到了各個(gè)階段的時(shí)間、電流的計(jì)算方程。同時(shí)要解出計(jì)算方程，設(shè)計(jì)并實(shí)驗(yàn)得到了計(jì)算方程中的相關(guān)參數(shù)并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。在得到電磁閥相關(guān)計(jì)算方法的參數(shù)后，由運(yùn)動(dòng)過程，發(fā)現(xiàn)了使用兩段階梯電壓控制電磁閥的新的控制方法。然后將新的控制方法并結(jié)合得到的參數(shù)，應(yīng)用于仿真中，經(jīng)過與傳統(tǒng)PWM控制方式作對(duì)比，得出了新的控制方法的有效性，進(jìn)而間接驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確。