樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用

黃文濤

統(tǒng)計學(xué)中，樣本（總體）的數(shù)字特征通常是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差和標(biāo)準差等. 這里的平均數(shù)、方差、標(biāo)準差與離散型隨機變量的期望、方差和標(biāo)準差在本質(zhì)上是一致的. 為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們需要通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準差來估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準差. 本文通過具體例子剖析樣本數(shù)字特征的概念、性質(zhì)和用途，以期對同學(xué)們正確理解并應(yīng)用數(shù)字特征去解決具體問題有所幫助.

用定義與公式求樣本的數(shù)字特征

例1 已知某中學(xué)高三（1）班的甲、乙兩名同學(xué)自高中以來12次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的個數(shù)為 .

A. 乙的成績中有兩個眾數(shù)

B. 甲的成績的中位數(shù)大于乙的成績的中位數(shù)

C. 甲的成績與乙的成績的平均分相同

D. 乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績穩(wěn)定

分析 莖葉圖給出了甲、乙兩同學(xué)的成績，用定義與公式即可求出甲、乙同學(xué)的成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差.

解 乙同學(xué)的成績中98，99各有兩次，其余成績均只出現(xiàn)一次，故乙同學(xué)的成績有兩個眾數(shù)，A正確.

甲同學(xué)成績的中位數(shù)為，乙同學(xué)成績的中位數(shù)為，B項不正確.

計算知，甲同學(xué)的平均分為89分，乙同學(xué)的平均分為92.83分，C項不正確.

乙同學(xué)的分數(shù)較為集中，甲同學(xué)的分數(shù)較為分散，D項正確.

答案 2

點撥 雖然方差是用來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的，但本題利用莖葉圖的直觀優(yōu)勢，可以直接得出乙同學(xué)成績更為穩(wěn)定這一結(jié)論，從而避免了繁瑣的方差計算.

利用頻率分布直方圖估計總體的數(shù)字特征

例2 從某校1000名學(xué)生中抽200人統(tǒng)計數(shù)學(xué)會考成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖，試估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)會考成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

分析 利用樣本的頻率分布直方圖來估計總體的數(shù)字特征，方法如下：眾數(shù)的估計值是最高矩形的底邊的中點. 中位數(shù)的估計值將直方圖分成左右面積相等的兩部分. 平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

解 圖中最高矩形底邊區(qū)間為，其中點為75，故樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，則總體眾數(shù)的估計值為75.

圖中所有小矩形面積之和為1，左邊三個小矩形面積之和為，第四個小矩形面積為.第四個小矩形中面積為的部分所占比例為，即直線將直方圖左右分成面積相等的兩部分，故總體中位數(shù)的估計值約為.

總體平均數(shù)的估計值為.

點撥 確定中位數(shù)的估計值時，先要確定面積等分線位于哪一個小矩形中，再確定向左劃出面積與該矩形面積的比值，根據(jù)此比例關(guān)系即可得到面積等分線的具體位置. 平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和，而每個小矩形的面積等于該組頻率，若該組頻率用表示，小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)用表示，則平均數(shù)的估計值為，這與離散型隨機變量均值的公式一樣，可見樣本的平均數(shù)與離散型隨機變量的均值在本質(zhì)上是一致的.

利用數(shù)字特征反推原始數(shù)據(jù)

例3 為了考查某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù). 已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________.

分析 由題意知，5個樣本數(shù)據(jù)為互不相同的整數(shù)，則可以將這5個數(shù)據(jù)按大小排序，再通過值的范圍試探求解.

需要指出的是，對眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準差等數(shù)字特征要有一個正確的理解. 在頻率分布直方圖中，樣本的眾數(shù)是最高矩形的中點的橫坐標(biāo)，它比較容易計算，但它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息. 樣本中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，但它僅僅利用了排在中間的數(shù)據(jù)的信息. 樣本平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和，它與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變. 這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). 也正因為這個原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息. 例如：樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值. 反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值. 另外，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準差的效果是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準差. 注意，如果根據(jù)某種利益去選擇使用中位數(shù)或平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的基本情況，則可能會產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用.