高斯測(cè)度的再生核Hilbert空間與Sobolev空間的關(guān)系

胡修炎

(棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

經(jīng)典框架下單位球面，區(qū)間[-1,1]和單純形上函數(shù)逼近已經(jīng)發(fā)展的較為全面[1-3]，如何將經(jīng)典框架下的逼近結(jié)果應(yīng)用到平均框架下就成為一個(gè)很重要的問題.Jackob Creutzig在2002年的文章[4-6]中得到了經(jīng)典的與平均Kolmogorov寬度之間的關(guān)系，給平均框架下的逼近研究帶來了很大的方便.由于這個(gè)關(guān)系式中需要用到再生核Hilbert空間，所以，在研究Sobolev空間在平均框架下的逼近時(shí)，就需要先建立起具有高斯測(cè)度的Sobolev空間與其再生核Hilbert空間的關(guān)系，才能利用經(jīng)典的Kolmogorov寬度的結(jié)果.研究平均框架下函數(shù)逼近的文章都用到了高斯測(cè)度的再生核Hilbert空間與的Sobolev空間的關(guān)系，但是文章中都沒有給出這種關(guān)系式的理論證明.本文就將給出單位球體上具有高斯測(cè)度的加權(quán)Sobolev空間及該測(cè)度的再生核Hilbert空間的關(guān)系式的證明方法，并且由于再生核Hilbert空間的光滑指標(biāo)與權(quán)函數(shù)、維數(shù)無關(guān)，所以該證明可以推廣到單位球面，區(qū)間[-1,1]，單純形上具有高斯測(cè)度的加權(quán)及非加權(quán)的Sobolev空間中，具有普遍意義.

1 預(yù)備知識(shí)

(1.1)

其中

(1.2)

表示L2,μ中的內(nèi)積.

對(duì)于給定的r>0，定義分布意義下f的r階導(dǎo)數(shù)為

(1.3)

于是，Bd上的加權(quán)Sobolev空間定義為

(1.4)

其中的內(nèi)積為

[f,g]r=[f(r),g(r)]，

(1.5)

λl=(l(l+2μ+d-1))-s/2，(s>d)，

(1.6)

(1.7)

2 主要結(jié)果及證明

記X是可分的Banach空間，X*表示X上的所有連續(xù)線性泛函，γ是X上的中心高斯測(cè)度，則誘導(dǎo)測(cè)度γ°f-1是R上的高斯測(cè)度.用LP(X,dγ)表示X上的γ可測(cè)泛函，其有限擬范數(shù)為

(2.1)

則X*可以嵌入LP(X,dγ).那么測(cè)度γ的再生核Hilbert空間(又稱為Cameron-Martin空間)定義為

(2.2)

(2.3)

我們先來證明一個(gè)重要的引理.

(2.4)

證明簡(jiǎn)記I=n(n+d+2μ-1)，根據(jù)(1.6)-(1.8)及(1.3)有

所以根據(jù)柯西不等式以及(2.2)有

得(2.4).引理證畢.

(2.6)

(2.7)

即f∈H(υ).綜合(2.6)(2.7)得(2.5)式.定理證畢.

3 結(jié)論

再生核Hilbert空間的光滑指標(biāo)與權(quán)函數(shù)、維數(shù)無關(guān)，由此該證明方法同樣適用于球面，單純形上的非加權(quán)的和加權(quán)的Sobolev空間，所以具有普遍意義.

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