空間向量在立體幾何中的應用

陶新平

高中數(shù)學中，立體幾何占有很重要的位置，教師在教授的過程中要注重學生立體幾何意識的培養(yǎng)，鍛煉學生的想象能力.空間向量是學生學習立體幾何的一種很好的工具，能夠降低立體幾何的難度，讓解題更加準確，也可以為學生提供更多立體幾何的解答方式，因此空間向量在立體幾何中的位置還是比較重要的，是解決立體幾何的一種常用方法，學生應該掌握好這種有效的方法.

一、空間向量在立體幾何解題方法中的應用

空間向量可以對立體幾何題目進行優(yōu)化，讓立體幾何問題變得更簡單.利用空間幾何向量，可以在立體幾何問題上建立坐標進行計算.將立體幾何轉化成數(shù)字，更加方便計算，學生也更加容易理解.

例如，圖1所示的空間四邊形的邊長和對角線的長度都為a，點M、N分別是邊長AB和CD的中點.求證：（1）MN⊥AB，也垂直于CD.（2）求MN的長度.（3）異面直線AN和CM的夾角余弦值.在這一題目中，如果用傳統(tǒng)的幾何方法解題，那么證明兩條線的垂直可以用簡單的定理來證明，但是求MN的長度時，如果還采用原始的方法，就需要做輔助線，利用幾何關系來求解，過程會比較復雜.在對異面直線夾角的余弦值進行求解的過程中，要利用余弦值的公式，代入兩邊的長度，才能夠求解，還需要計算出三條邊的值，計算很煩瑣，而利用空間向量的方式就可以避免這些復雜的計算，快速得到答案，計算出余弦值為23.

二、空間向量在立體幾何解題策略中的應用

學習空間向量這種方法是要讓學生掌握立體幾何的解題策略，培養(yǎng)學生運用空間向量解決立體幾何問題的能力，讓學生能夠將復雜的立體幾何問題轉化成簡單的代數(shù)運算，在這一過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和空間想象能力.學生在解決立體幾何問題時，應當掌握一定的策略，對圖形進行正確分析;然后建立正確的坐標系，用最簡單的方法將立體幾何圖形中涉及的元素提取出來，用空間坐標去表示，在建立好坐標系之后，可以利用相關的公式，代入進行解決;最后，只需要進行簡單的運算就可以解決復雜的空間幾何問題.

例如，如圖2所示，求直線和平面的夾角，需要學生能夠想象出直線的方向向量和平面法向量之間的關系，能夠對自由平移向量構成清晰標準的圖示，在此基礎上，弄清楚線面所成角θ和直線方向向量與法向量夾角的三角函數(shù)值之間的關系sinθ=|cos|，這一環(huán)節(jié)與用綜合法解題中在復雜圖形中辨識想象出定理內容的基本圖示是相同的.

三、空間向量在立體幾何優(yōu)化解題中的運用

利用空間向量還可以優(yōu)化解題，應用范圍廣，可以很好地解決空間中的成角問題，包括直線和直線的成角、直線和平面的成角，以及平面和平面之間的成角.每種不同的成角問題都有相對應的公式，只要建立好了坐標系，就可以快速方便地求解.

例如，如圖3，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求線段PH的長.解答該題目學生應該明確平面的向量表達是由法向量和面內一點可確定平面內任意點或是由面內一組基底的線性表達可以確定平面內任意點，那么就不難獲得確定點H的方法，由點H在線段PC上，設PH=λPC，λ∈（0，1），借助λ可表示AH.在此之后，一種方法，是用平面ABF的法向量與AH垂直來確定λ;另一種方法，是依據(jù)平面向量基本定理，以AB，AF為基底，設AH=mAF+nAB，通過向量相等解出λ.

綜上所述，隨著社會的發(fā)展和時代的進步，需要不斷地更新和優(yōu)化教學理念和教學方式，提高課堂效率，完成素質教育的目標.在立體幾何的學習中，空間向量是一種很好的方法，教師應該以學生為主體，不斷地探索和實踐空間向量的教學方法，更新教學理念，讓學生掌握空間向量這種高效的解題方法，對立體幾何有更深入的理解，掌握更多的解題方法和策略，提高解題效率和準確率.