思悟數(shù)學(xué)的教學(xué)探索*
——以“函數(shù)”教學(xué)為例

龐彥福

思悟數(shù)學(xué)，思什么？悟什么？當(dāng)下，很多的數(shù)學(xué)教學(xué)成了“解題教學(xué)”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了“做題目”。學(xué)生做了很多數(shù)學(xué)題，但學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與理解并未水漲船高，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)并未得到提升。面對如此的教學(xué)，學(xué)生的作業(yè)、考試的試卷必然出現(xiàn)這樣那樣的問題或錯誤。不少學(xué)生、家長乃至有的教師把學(xué)生本不該出現(xiàn)的問題與錯誤當(dāng)成了“失誤”。其實(shí)這種“失誤”是嚴(yán)重的錯誤，是缺少理性思考的錯誤，是對數(shù)學(xué)知識沒能理解的“失誤”。要減少或克服這種“失誤”，需要的是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度思考、理解與體悟，故筆者簡稱為“思悟數(shù)學(xué)”。思，要思是什么，為什么是什么，為什么不是什么；悟，要悟過程，悟規(guī)律，悟原理，悟本質(zhì)。

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，同時也是學(xué)生普遍感到難學(xué)、難懂，教師普遍認(rèn)為難教的內(nèi)容?！昂瘮?shù)”在蘇科版教科書中屬于八年級上冊內(nèi)容，第一節(jié)“函數(shù)”內(nèi)容主要涉及常量、變量以及函數(shù)的定義。鑒于函數(shù)定義的抽象性，而且又是初中階段重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是基本的數(shù)學(xué)概念，筆者將“函數(shù)”的教學(xué)價(jià)值，定位于：厘清函數(shù)概念，讓學(xué)生思悟“什么是函數(shù)”“函數(shù)是什么”，同時將“體悟世間萬物的‘變’與‘不變’”以及“領(lǐng)悟‘對應(yīng)’的內(nèi)涵”作為本節(jié)課的教育價(jià)值。

一、教學(xué)理解

1.概念本質(zhì)。

高屋建瓴地弄清數(shù)學(xué)概念的“外部”關(guān)系，精確地把握數(shù)學(xué)概念的“內(nèi)部”結(jié)構(gòu)［1］，是數(shù)學(xué)教學(xué)有望獲得最佳效果的根本保證。何謂“概念”？“概”，古代一種量具用詞，表示對古代量具“斛”的滿量狀態(tài)做出校準(zhǔn)，就是大略、總體或概括；念，就是想法、看法或觀點(diǎn)。概念就是人們對于一件事情或某種現(xiàn)象的大概總括的認(rèn)識，是反映并確定客觀對象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識過程中，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來，進(jìn)而形成概念。

概念是思維的基本單位，數(shù)學(xué)概念是人類智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的關(guān)鍵，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念也是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。數(shù)學(xué)概念的形成是由特殊到一般、由具體到抽象的過程。如果僅靠記憶的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，是難以理解其本質(zhì)的。

2.函數(shù)概念。

世界是運(yùn)動變化的，函數(shù)是研究運(yùn)動變化的重要的具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，其概念是從現(xiàn)實(shí)情境的具體問題抽象出來的：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x 和y，并且對于x 的每一個確定的值，y 都有唯一的值與其對應(yīng)，那么我們就說x 是自變量，y 是x 的函數(shù)。我們剖析函數(shù)概念的本質(zhì)，可以知道函數(shù)既來源于實(shí)際需要，又是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，是由常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志。理解函數(shù)概念應(yīng)厘清：它是一個變化過程；它存在兩個變量；它是一種唯一對應(yīng)關(guān)系（即“單值對應(yīng)”）。這種“聯(lián)系變化和單值對應(yīng)”［2］就是函數(shù)概念的本質(zhì)特征——函數(shù)不是數(shù)，而是一種對應(yīng)關(guān)系。

理解函數(shù)之前的鋪墊應(yīng)是適當(dāng)?shù)摹⒆匀坏?。對于所設(shè)置的問題情境，要體現(xiàn)“兩個變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應(yīng)”。還要讓學(xué)生明白：“常量和變量是相對變化過程而言的，有時可以相互轉(zhuǎn)化；如在s=vt 中，若s 一定，則v、t是變量，若v 一定，則s、t 就是變量?！?/p>

認(rèn)識和理解函數(shù)的概念需要一個過程。佛教中的“看山是山，看水是水”，可以看作是對函數(shù)概念學(xué)習(xí)過程的朦朧認(rèn)識，是“聞而信之”的過程；“看山不是山，看水不是水”，是“學(xué)后辨之”的過程，但仍是云里霧里的；“看山仍然山，看水仍然是水”，是指通過辨析理解內(nèi)化之后到了能夠“舉一反三”的層次。認(rèn)識和理解函數(shù)概念應(yīng)遵循“循序漸進(jìn)”“螺旋上升”的原則。［3］

二、教學(xué)實(shí)施

1.從已有知識中回顧。

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)內(nèi)容出現(xiàn)之前，已有了函數(shù)思想的影子。課堂上，教師不妨通過回顧、對話的方式喚醒知識，喚醒學(xué)生。在導(dǎo)入新課的過程中，從已經(jīng)學(xué)過的知識入手，尋找與函數(shù)思想相關(guān)聯(lián)的知識，進(jìn)而為新知識學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊，營造學(xué)習(xí)、探究的良好氛圍，實(shí)現(xiàn)“學(xué)”“思”“悟”的潤物細(xì)無聲。

師：七年級上冊“3.1 用字母表示數(shù)”，譬如字母x 表示某班級的人數(shù)，其實(shí)x 是變化的，是不確定的，但是它又是確定的，這已經(jīng)是函數(shù)思想的萌芽。大家想想：我們學(xué)過的內(nèi)容里還有哪些知識能夠體現(xiàn)函數(shù)思想？

生1：“3.3 代數(shù)式的值”中，在一個代數(shù)式中，當(dāng)字母取值變化時，代數(shù)式的值也隨之而變化，若給字母一個值時，代數(shù)式的值也隨之確定，這應(yīng)該是能夠體現(xiàn)函數(shù)思想的。

生2：二元一次方程中，比如2x-y=5，如果寫成y=2x-5，y 就會隨著x 的變化而變化，又隨著x 的確定而確定，從變量的角度來看就是函數(shù)。

師：同學(xué)們的思考是正確的，很有價(jià)值，這些充分說明，函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在函數(shù)概念學(xué)習(xí)之后，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，早已存在于我們學(xué)習(xí)過的內(nèi)容里。

事實(shí)上，函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)著代數(shù)式、方程、不等式，函數(shù)解析式中“=”的一側(cè)通常就是以代數(shù)式的形式呈現(xiàn)，用未知數(shù)的觀點(diǎn)看函數(shù)關(guān)系就是方程，不等式就是兩個函數(shù)之間關(guān)系的表示。八年級下冊要學(xué)習(xí)的“分式”一章中，探索分式有意義的條件相當(dāng)于探索自變量的取值范圍，探索分式值為零的條件相當(dāng)于已知函數(shù)值求自變量x 的值。因此，我們在函數(shù)教學(xué)的前和后，都應(yīng)滲透函數(shù)聯(lián)系、變化與對應(yīng)的本質(zhì)，使函數(shù)概念的理解與內(nèi)涵貫穿于整個函數(shù)內(nèi)容的全過程，用函數(shù)的觀點(diǎn)來審視有關(guān)函數(shù)內(nèi)容。

在后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)及銳角三角函數(shù)概念時，切忌出現(xiàn)“忘根”現(xiàn)象［4］，而是應(yīng)該隨著這些特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步豐富和充盈函數(shù)概念，并將其內(nèi)化和深化，使已有的函數(shù)概念推進(jìn)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)及銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)。

2.從實(shí)際問題中抽象。

教科書中安排了豐富的可選用問題情境和學(xué)習(xí)資源，另外《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標(biāo)”）中的3 個例子對認(rèn)識和理解函數(shù)概念是具有普遍意義的。［4］

【例1】小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900 米的報(bào)亭，母親隨即按原速度返回。父親在報(bào)亭看了10 分報(bào)紙后，用15 分返回家。圖1 中哪一個表示父親離家后距離與時間之間的關(guān)系？哪一個表示母親離家后距離與時間之間的關(guān)系？

圖1

生1：圖（2）表示的是母親離家后距離與時間之間的關(guān)系，清楚地看出從家到報(bào)亭與回來都是20 分走了900 米，速度一樣；圖（4）表示的是父親離家后距離與時間之間的關(guān)系，出去用20 分走了900 米，在報(bào)亭看報(bào)10 分，回來用了15 分。

師：對于圖（1）和圖（3）怎么解釋呢？

生2：觀察圖形可以看出：圖（3）出去走了900 米用的時間是30 分，時間不對；圖（1）中從20 分～40 分，是20 分，而爸爸是看了10 分報(bào)紙，時間也不對，而且回來的時間不明了。

師：分析得很好，體現(xiàn)出了“距離”隨“時間”“變化而變化”“確定而確定”的變化及對應(yīng)關(guān)系，厘清了問題中的函數(shù)關(guān)系。

【例2】某書定價(jià)8 元。如果一次購買10 本以上，超過10 本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。

師：同學(xué)們，該怎樣表示這種函數(shù)關(guān)系呢？

生1：可以列表格：

?

師：如果設(shè)購書數(shù)量為x 本，付款金額為y元，那么怎樣表示這種函數(shù)關(guān)系呢？

生2：當(dāng)x＜10 時，y=8x；當(dāng)x＞10 時，y=8×10+6.4（x-10）=6.4x+16；當(dāng)x=10 時，y=80。

生3：也可以把x＜10 和x=10 放在一起，即當(dāng)x≤10 時，y=8x；當(dāng)x＞10 時，y=6.4x+16。

師：完全可以，更簡捷一些。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，這種函數(shù)關(guān)系，可以列成表格，可以寫出變化的關(guān)系式，還可以畫出函數(shù)的圖象，大家可以比較、辨別，從而選擇適宜的方式進(jìn)行表達(dá)。

【例3】甲乙兩地相距20 千米。小明上午8：30 騎自行車由甲地去乙地，平均車速為8 千米/時；小麗上午10：00 坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40 千米/時。分別表示兩個人所用時間與距離的函數(shù)關(guān)系，并回答誰先到達(dá)乙地。

……（因版面所限，教學(xué)過程略）

2011 年版課標(biāo)是教材編寫的依據(jù)，是教學(xué)的綱領(lǐng)性文件，教師多研讀它才能更好地理解教材、理解學(xué)生及理解教學(xué)。以上3 個例子都是從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律和對應(yīng)關(guān)系，它們的共同特征：（1）是一個變化過程；（2）都有兩個變量，而且變量之間是相互聯(lián)系的，一個變量的變化會引起另一個量的相應(yīng)變化；（3）其中的一個變量取一個確定的值，另一個變量就有唯一確定的值與之相對應(yīng)（即“單值對應(yīng)”）。這些恰好體現(xiàn)了函數(shù)思想的本質(zhì)。

3.從變與不變中探尋。

函數(shù)研究的是兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。［5］例1 和例3 的兩個變量中，都蘊(yùn)含著“一個量隨另一個量的變化而變化”。所揭示函數(shù)概念的本質(zhì)是：兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)概念所反映的基本思想是：運(yùn)動變化。用函數(shù)概念建立模型，研究客觀現(xiàn)實(shí)的變化規(guī)律的基本方法是：用數(shù)量關(guān)系表示變量之間的依賴關(guān)系，并通過數(shù)及其運(yùn)算等去研究變化規(guī)律。函數(shù)的變化規(guī)律與對應(yīng)關(guān)系具有三個顯著特征（即核心思想）：（1）自變量的取值是有意義的（譬如實(shí)數(shù)或者是某個范圍）；（2）因變量（即函數(shù)值）的取值是唯一的；（3）必須借助數(shù)字以外的符號來表示函數(shù)。從后續(xù)學(xué)習(xí)中容易知道，關(guān)于符號的表達(dá)，也就是解析式、圖象以及列表。

函數(shù)與方程、不等式是從不同角度刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系，它們之間既有關(guān)聯(lián)又有本質(zhì)的區(qū)別。例如y=2x-3，是一個函數(shù)。若令y=0，表面上看，y=0 與2x=3 是等價(jià)的，但是，二者表達(dá)的意義是不同的，y=0 表示函數(shù)的值為0，而2x=3 表示的是變量之間的等量關(guān)系。同樣，y＞0與2x＞3 表達(dá)的意義也是不同的。

4.從辨析過程中內(nèi)化。

概念的應(yīng)用是概念學(xué)習(xí)的最高層次，對函數(shù)概念的理解往往需要借助于具體的例子。當(dāng)教學(xué)中通過現(xiàn)實(shí)中的事例抽象出函數(shù)定義之后，不妨讓學(xué)生舉（編）例子來內(nèi)化對函數(shù)概念的理解。

師：既然同學(xué)們知道了什么是函數(shù)，請大家列舉出你理解的熟悉的函數(shù)來。

生1：上周末，我們家出去玩，爸爸給汽車加油時，我觀察加油表上的數(shù)字，油價(jià)是7.13元/升，加油過程中的金額w（元）與加油量x（升）之間可以表示為w=7.13x，金額w 與油量x就是函數(shù)關(guān)系。

師：在加油的變化過程中，有兩個變量——加油量x 與金額w，且變量x 與w 之間是相互聯(lián)系的，一個變量的變化會引起另一個量的相應(yīng)變化，當(dāng)一個變量取一個確定的值時，另一個變量就有唯一確定的值與之相對應(yīng)，的確是函數(shù)，很好。

圖2

圖3

師：的確是函數(shù)關(guān)系，很好。

師：同學(xué)們能舉出不是函數(shù)的例子嗎？

生3：對于變量x，y，若y2=x，當(dāng)x=4 時，y 有2 和-2 兩個值，不是唯一的，所以y2=x 不是函數(shù)。同樣|y|＝x 也不是函數(shù)。

生4（多次舉手）：我畫的是圖形，圖2 的圖象表示的不是函數(shù)。

師：這個圖象怎么不是函數(shù)呢？能說得具體些嗎？

生4：如圖3，設(shè)l1、l2都是和x 軸垂直的直線，從l1與圖象的交點(diǎn)看，當(dāng)x 取定一個數(shù)值時，y 有唯一的值與之對應(yīng)；但是從l2與圖象的交點(diǎn)看，當(dāng)x 取定一個數(shù)值時，y 有3 個值，已經(jīng)不是單值對應(yīng)，當(dāng)然就不是函數(shù)了。

師：很好，一個好的反例的確很有殺傷力。

……

三、教學(xué)反思

函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)課，基礎(chǔ)課就是種子，是胚胎，是生長，是成長，是發(fā)展，是光源，是方向，是引領(lǐng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要做到“認(rèn)識本真、體悟本質(zhì)、增長智慧”，就必須讓學(xué)生“思”讓學(xué)生“悟”。函數(shù)概念本來就是難啃的硬骨頭，如果不給學(xué)生思悟的空間和時間，就算教師備課時設(shè)計(jì)出了“高思維度”的有效素材，也難以使教學(xué)有效。只有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引發(fā)學(xué)生思考，才能讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)。

函數(shù)是研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型，初中階段，函數(shù)定義是一種“變量說”（或“變化說”），到了高中，采用的對應(yīng)、映射，故是一種“對應(yīng)說”?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中?！睘槭裁磿杏X云山霧罩的？因?yàn)檫€在半山腰，當(dāng)?shù)搅隧敺?，便是“會?dāng)凌絕頂，一覽眾山小”。函數(shù)概念的學(xué)習(xí)正是這樣的經(jīng)歷過程。

高中階段對函數(shù)的定義一般是：“一般地，設(shè)A、B 都是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x，在集合B 中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B 為從集合A 到集合B 的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x 叫自變量，x 的取值范圍A 叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域?！彼哉f，高中數(shù)學(xué)凸顯的是“對應(yīng)”。其實(shí)，高中函數(shù)定義的“對應(yīng)說”這與初中階段研究函數(shù)的“變量說”并不矛盾，而是一致的。大千世界中唯一不變的就是“變”。函數(shù)凸顯的是“變”，但本質(zhì)是“對應(yīng)”。［6］

函數(shù)中從“特殊到一般”的思想、建立模型的思想、運(yùn)動變化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想等是數(shù)學(xué)中常用的思想方法與技巧，學(xué)習(xí)中，應(yīng)慢慢體味?！皬谋嫖鲞^程中內(nèi)化”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和理解舉例子的過程，是學(xué)生加深理解與內(nèi)化的過程，俗話說“一個好例子勝過一千條說教”就是這個道理。認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)，是一個循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程。當(dāng)然，教師教學(xué)更應(yīng)螺旋式設(shè)計(jì)、生長式實(shí)施、遞進(jìn)式追問。遞進(jìn)式追問還應(yīng)注意基礎(chǔ)性、層次性以及適宜性。教學(xué)過程中，要給學(xué)生“想”的空間，“悟”的時間，“潤”的氛圍，讓思悟數(shù)學(xué)落地生根。