2019年高考全國卷Ⅰ（理）第21題的分析與命題建議

☉合肥市教育科學(xué)教研院 許曉天

2019 年全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試卷給我們一線教師帶來了太多的信息與啟示，引導(dǎo)著廣大教師基于新課標(biāo)的教學(xué).作為壓軸題的理科21 題，難倒了廣大考生（據(jù)了解，很少有考生做全對），對題意的理解也難倒了很多教師.以下就此21 題，談?wù)剛€人的理解及高考命題的建議，供廣大教師與命題專家參考.

一、試題分析

（一）試題呈現(xiàn)

題目（2019 全國卷Ⅰ理科21）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)，對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪治療結(jié)果得出后，再進(jìn)行下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

（1）求X 的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4 分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假設(shè)α=0.5、β=0.8.

①證明：{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

（二）試題解答

解：（1）X 的所有可能取值為-1，0，1.

P（X=-1）=（1-α）β；

P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β）；

P（X=1）=α（1-β）.

又若p1-p0=0，則p0=p1=…=p8，與p0=0，p8=1 矛盾，故p1-p0=p1≠0.

故數(shù)列{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

②由①得：

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.此數(shù)據(jù)說明：甲累計(jì)得4 分的概率極??；又甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8，0.5＜0.8，說明得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明此試驗(yàn)方案合理.

（三）試題理解

從此題的解答過程可以看出，問題的解答不復(fù)雜.因?yàn)槊}專家考慮到學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)的知識儲備和能力因素，第二問直接給了數(shù)列的二階遞推式，由于考生對裂項(xiàng)求和還是很熟悉的，所以只要考生冷靜地思考，順著問題的要求做，這一題解決的可能性較大.但仔細(xì)研讀此題，發(fā)現(xiàn)很多地方學(xué)生不明白，甚至教師也難以把控.下面就此題中的難以理解的地方，談?wù)勛约旱睦斫?

1.“若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4 分”的理解

在試驗(yàn)開始時，一般賦分從0 分開始，那么此題為什么從4 分開始，也不是其他分?jǐn)?shù)呢？因?yàn)樵囼?yàn)方案中有這樣一句話：“當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.”并約定：“對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.”又pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率.習(xí)慣上，甲藥的累計(jì)得分i 往往是從0 開始的非負(fù)整數(shù)，如果試驗(yàn)開始時賦0 分，則此時累計(jì)得分的隨機(jī)變量i的取值為-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，出現(xiàn)了負(fù)整數(shù)；若賦其他分，則累計(jì)得分i 可能出現(xiàn)負(fù)整數(shù)和正整數(shù)為最小數(shù)，只有賦4 分，隨機(jī)變量i 正好從0 開始.更重要的是，此時事件“甲藥的累計(jì)得分為0 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”表示：進(jìn)行多次試驗(yàn)后，乙藥治愈的白鼠比甲藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗(yàn)，并認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”，而非事件“沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”，所以試驗(yàn)開始時賦4 分，更具實(shí)際和試驗(yàn)意義.最后說一下，在試驗(yàn)開始時要賦“相同”的4 分，是為了試驗(yàn)的“公平性”.

2.“p0=0，p8=1”的理解

題目中：“試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)，對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪治療結(jié)果得出后，再進(jìn)行下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.”

由1 的分析可知：因?yàn)殚_始時甲乙都是4 分，甲藥的累計(jì)得分為0 時，即乙藥治愈的白鼠比甲藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗(yàn)，認(rèn)為乙藥更有效.此時，乙藥累計(jì)得8 分，甲藥累計(jì)得0 分，故乙藥比甲藥更有效的概率為1，甲藥比乙藥更有效的概率為0，故p0=0；同理，甲藥的累計(jì)得分為8 時，甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗(yàn)，此時認(rèn)為甲藥更有效，甲藥比乙藥更有效的概率為1，故p8=1，乙藥比甲藥更有效的概率為0.

3.“pi（i=0，1，…，8）表示‘甲藥的累計(jì)得分為i 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效’的概率”及“求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性”的理解

從pi的含義可以看出：“甲藥的累計(jì)得分為i”中“累計(jì)得分”意思是：經(jīng)過多次試驗(yàn)后，甲藥的當(dāng)前得分為i.而pi是指：甲藥的當(dāng)前累計(jì)得分為i，并最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率.但不是說試驗(yàn)此時停止，試驗(yàn)仍可以繼續(xù)進(jìn)行下去，只有到當(dāng)甲藥比乙藥治愈的白鼠數(shù)恰好多4 只，試驗(yàn)停止.因?yàn)閕=0，1，2，…，8，所以僅當(dāng)i 為0，8 時，試驗(yàn)停止.因此，pi的值不論試驗(yàn)進(jìn)行與不進(jìn)行，都是不變的.

當(dāng)i=4 時，p4表示：經(jīng)過多次試驗(yàn)后，甲藥累計(jì)得分為4 時，最終認(rèn)為甲獲勝的概率.因?yàn)榧椎梅譃?，得出乙的得分也是4，與試驗(yàn)前的賦值相同.因此，試驗(yàn)沒有停止，仍然要繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn).但為了公平，從試驗(yàn)前最初公平的賦4 分，經(jīng)過多次試驗(yàn)后甲藥與乙藥得分相同，都為4 分，回到試驗(yàn)前相同的賦分，應(yīng)該說：p4最能夠說明甲藥與乙藥的治愈效果.試驗(yàn)從假設(shè)甲藥更有效出發(fā)，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8 的前提下，求甲藥獲勝的概率.如果概率非常小，也就是得到錯誤結(jié)論的概率趨近于零，從而否定假設(shè).說明試驗(yàn)方案合理.

4.“pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…7）”的理解

可能命題專家考慮到學(xué)生的理解和建立概率模型的能力，題目直接給出了數(shù)列{pi}的二階遞推式：pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.顯得此式來歷不明，怎么理解此遞推式呢？

由“pi”的意義知：在甲得分為i-1，i，i+1時，甲獲勝的概率分別為pi-1，pi，pi+1，假設(shè)在某一輪試驗(yàn)后，甲的累計(jì)得分為i.由于題干中：“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X”，設(shè)事件A1=“X=-1”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分為-1”；事件A2=“X=0”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分為0”；事件A3=“X=1”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分為1”，則A1A2=A2A3=A3A1=?，且P（A1+A2+A3）=1.

設(shè)事件B=“X=i”表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”，則B=B（A1+A2+A3）=BA1+BA2+BA3.

又A1A2=A2A3=A3A1=?，

所以（BA1）（BA2）=（BA2）（BA3）=（BA3）（BA1）=?，

所以P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=api-1+bpi+cpi+1.

二、試題特色

從“為治療某種疾病”的問題情景出發(fā)，不僅體現(xiàn)了“為人民服務(wù)”的“初心”，而且是與學(xué)生息息相關(guān)的“真情景”；強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與“化學(xué)”、“生物”等學(xué)科的綜合應(yīng)用；問題需要學(xué)生的閱讀理解，把實(shí)際問題進(jìn)行高度的數(shù)學(xué)抽象，建立合理的概率模型，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；把遞推數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)放在一起考查，凸顯了對學(xué)生創(chuàng)新能力的考查.

三、命題建議

由上面的“試題特色”可知，此問題有效地考查了學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析”等核心素養(yǎng)，是難得的好題，對當(dāng)前的高中“刷題”教學(xué)有很好的“抑制”作用，并有效地考查了“高智商”學(xué)生的能力，達(dá)到了選拔優(yōu)秀人才的目的.

其實(shí)，還有一些與此題相關(guān)的問題，值得大家思考，如：兩種藥品也許可以各對2n（n≥1）只白鼠進(jìn)行試驗(yàn)（n 的大小可以根據(jù)試驗(yàn)精度的要求和實(shí)際情況決定），甲藥可以先隨機(jī)抽取n 只，這樣分成兩組分別進(jìn)行試驗(yàn)，看看治愈的百分比大小，試驗(yàn)不是更簡單嗎？如果藥品試驗(yàn)必須是這樣，那么有什么統(tǒng)計(jì)或?qū)嶋H要求呢？

對于如此大的信息量的問題，學(xué)生在決定自己命運(yùn)的“高考”考試中，想全部理解是特別困難的，“智商”高的考生也只能夠按照問題設(shè)計(jì)的思路走下去，即使做對了，也是“試題”設(shè)計(jì)的“功勞”.

對命題的一點(diǎn)思考：（1）由于我們教師使用的教材對概率統(tǒng)計(jì)部分強(qiáng)調(diào)了實(shí)際應(yīng)用，對概念與原理部分只是做一介紹，系統(tǒng)性不強(qiáng).因而教師與學(xué)生對這一部分的知識結(jié)構(gòu)沒有深刻的把握.因此，此問題的命制，盡可能命制的簡單一些，降低難度，并把原理的部分盡可能講明白.因?yàn)?017 年版新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的新教材的系統(tǒng)性明顯加強(qiáng)，待到全部實(shí)施新教材教學(xué)后，可以逐步提高此種問題的命題難度；（2）從近兩年概率統(tǒng)計(jì)的全國卷試題中可以看出，題目背景是整個試卷重要的創(chuàng)新點(diǎn)，命題專家花了很大的“心血”，特別是今年的試題充分體現(xiàn)“人文關(guān)懷”，對根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)原理可以推出的公式，直接給出了.解答過程，只是代數(shù)運(yùn)算而已，不需要概念統(tǒng)計(jì)知識支撐，但反過來想，這樣考概率統(tǒng)計(jì)的意義何在？所以，建議命題盡可能從原始數(shù)據(jù)開始，體現(xiàn)“抽象與提煉”，建立概率統(tǒng)計(jì)的模型，再通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題；（3）由于概率統(tǒng)計(jì)問題，往往表述的文字量大，放在最后一題壓軸，學(xué)生選擇了放棄.其實(shí)今年21題的第一問，考生可以得一些分，可能也是命題專家的想法.但因?yàn)榉旁诹俗詈螅捎诳忌目荚嚂r間安排和學(xué)生心理因素等，大部分選擇不做此題.所以，概率統(tǒng)計(jì)題的位置，可以適當(dāng)提前.

以上是個人對今年高考全國卷Ⅰ第21 題的思考與建議，以及個人理解，請同仁多提寶貴建議.