一道函數(shù)題的低分緣由探析與啟示

摘 要：本文通過對2019年寧德市畢業(yè)班質(zhì)量檢測試卷第22題學(xué)生解答情況進(jìn)行研究，得出以下結(jié)論：初中函數(shù)的教學(xué)要加強(qiáng)學(xué)生觀察能力和數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)，用聯(lián)系的眼光看待方程、函數(shù)、不等式等問題.學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展既需要活動經(jīng)驗的積累又應(yīng)加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練.

關(guān)鍵詞：函數(shù)問題;解答分析;教學(xué)啟示

作者簡介：繆凌穎 （1988-），男，福建寧德人，本科，中學(xué)一級教師 ，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué).

在2019年寧德市畢業(yè)班質(zhì)量檢測試卷中，筆者命制了一道以反比例函數(shù)為背景的中檔試題，引發(fā)了本市師生的熱烈討論.現(xiàn)將該題的命題思考、學(xué)生的典型錯誤、優(yōu)秀解法、教學(xué)啟示整理成文.

1 試題的命制歷程與思考

1.1 試題呈現(xiàn)

已知反比例函數(shù)圖象上兩點A（2，3），B（-2x+2，y1）的位置如圖1所示.

（1）求x的取值范圍;

（2）若點C-x，y2也在該反比例函數(shù)的圖象上，試比較y1，y2的大小.

1.2 試題原型

（2018年南京中考第18題）如圖2，在數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)1，-2x+3.

（1）求x的取值范圍;

（2）數(shù)軸上表示數(shù)-x+2的點應(yīng)落在（）.

A.點A的左邊

B.線段AB上

C.點B的右邊

1.3 命題的思路與價值分析

原題改變了以往比較數(shù)軸上兩定點所表示實數(shù)的大小的命題方式，將數(shù)軸上點的相對位置、實數(shù)大小比較、不等關(guān)系、參數(shù)問題等知識巧妙結(jié)合，命制了一道富有創(chuàng)意的試題，較好地考查學(xué)生應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).本命題組借助原題的立意，結(jié)合要考查的知識進(jìn)行二次創(chuàng)新，將一維數(shù)軸上的位置關(guān)系問題拓展為二維平面反比例函數(shù)圖象上位置關(guān)系問題.改編后，試題令人耳目一新，難度適中.在原題的基礎(chǔ)上融入了函數(shù)的單調(diào)性，有效地考查了通性通法，同時注意到了與初高中函數(shù)性質(zhì)的銜接.

2 學(xué)生答題情況反饋

試題定稿后，命題組預(yù)估兩個小題的難度分別為0.66和0.22，然而實測的結(jié)果卻出乎預(yù)料：兩個小題的難度分別只有0.24和0.15，是什么因素造成如此巨大的反差呢？筆者走訪了市內(nèi)的幾所初中，通過對師生的訪談，了解了部分學(xué)生解題的想法，收集了一些典型錯誤及優(yōu)秀解答等.

2.1 學(xué)生典型錯解與分析

2.1.1 關(guān)于第（1）問

錯解1 因為點B在第一象限，

所以點B的橫坐標(biāo)大于0.

所以-2x+2>0.

所以-2x>-2.

所以x<1.

錯解2 因為點B在反比例函數(shù)圖象上，

所以點B的橫坐標(biāo)不為0.

所以-2x+2≠0.

所以x≠1.

錯解3 因為點A，B在反比例函數(shù)圖象上，且點B在 點A的右邊，則點B的橫坐標(biāo)大于點A的橫坐標(biāo).

所以x>2.

錯解4 因為點A（2，3）在反比例函數(shù)圖象上，

所以該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=6x.

所以由圖象可知點B的縱坐標(biāo)0

將y1=1代入y=6-2x+2，解得x=-2.

將y2=2代入y=6-2x+2，解得x=-12.

所以-2

評析 錯解1，2具有共性，失誤的原因顯然是對題干中的關(guān)鍵題眼——“位置”，只關(guān)注到點B在第一象限，卻忽略了A，B兩點的相對位置，這暴露出學(xué)生識圖能力的不足，在函數(shù)學(xué)習(xí)中對數(shù)形結(jié)合的思想體悟不深，對函數(shù)學(xué)習(xí)存在畏懼心理;錯解3的形成原因是主觀上認(rèn)為點B的橫坐標(biāo)就是x;錯解4失誤的原因是對不等式的解理解偏差，認(rèn)為0

2.1.2 關(guān)于第（2）問

錯解1 因為該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=6x，

所以設(shè)x=-1，則可得B（4，1.5），C（1，6）.

所以y2>y1.

錯解2 因為-x是負(fù)的，

所以點C在第三象限，則可得y2<0.

因為點B在第一象限，則可得y1>0，

所以y1>y2.

錯解3 將B-2x+2，y1、C-x，y2分別代入y=6x，得y1=6-2x+2，y2=-6x.

所以y2-y1=6-2x+2--6x=12-6x-2x2+2x=6-3x-x2+x.

所以y2-y1<0，

所以y1>y2.

評析 錯解1的原因是學(xué)生用特殊來代替一般，從考試策略上看，特殊值法對付選擇題不失是一種有效的方法，但對于解答題，只能用特殊值法去推斷結(jié)論，而完整解答，還要依賴嚴(yán)格的推斷去得到一般性的結(jié)果.組織訪談時，學(xué)生表示一般情形難以說明，只好用特值去猜想，得出結(jié)論，獲取部分分值;錯解2的原因是學(xué)生對字母表示數(shù)的內(nèi)在含義理解不深，以為-x就是負(fù)值;錯解3的原因是學(xué)生對作差結(jié)果的符號判斷出現(xiàn)偏差，實際上應(yīng)該借助x<1來判斷分式6-3x-x2+x的分子和分母的符號來確定結(jié)果，這對初中生提出了比較高的要求.

2.2 學(xué)生優(yōu)秀解法展示與賞析

在調(diào)查訪談的過程中，盡管本題難度值較大，但部分優(yōu)秀學(xué)生還是能從不同角度去思考，從而解決問題，現(xiàn)將幾類典型解法予以整理呈現(xiàn).

解法1 （1）由函數(shù)圖象可知，點B在點A的右邊，所以-2x+2>2.

所以x<0.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以-2x>-x.

所以-2x+2>-x>0.

所以點C在第一象限內(nèi)，且點C在點B左側(cè).

由于反比例函數(shù)圖象在第一象限，y隨著x的增大而減小，所以y2>y1.

評析 第（1）問利用圖象上點的位置關(guān)系來判斷相應(yīng)橫坐標(biāo)之間的大小;第（2）問利用已有的x的取值范圍巧妙地構(gòu)造-2x>-x，再借助不等式的性質(zhì)將其放縮得到-2x+2>-x>0，這種解法需要學(xué)生敏銳地觀察到-2x+2與-x的一次項系數(shù)和常數(shù)項之間的關(guān)系，有較大地思維跨越.

解法2 （1）略.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以點C在第一象限內(nèi).

因為-2x+2--x=-x+2，又因為-x>0，所以-x+2>2>0.

所以-2x+2>-x.

所以點C在點B左側(cè)（下略）.

評析 利用求差法比較-2x+2與-x的大小，結(jié)合x的取值范圍判斷差的結(jié)果為正，進(jìn)而判定出點C的位置，解答簡潔，彰顯通法.可見這類學(xué)生對不等式的知識掌握扎實，有較強(qiáng)的遷移與應(yīng)用能力.

解法3 （1）略.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以點C在第一象限內(nèi).

①當(dāng)-x=-2x+2時，x=2;

②當(dāng)-x>-2x+2時，x>2;

③當(dāng)-x<-2x+2時，x<2.

因為x<0，所以只有③式成立.

所以點C在點B左側(cè)（下略）.

評析 通過對-2x+2與-x的大小關(guān)系的分類分析，并結(jié)合x的取值范圍判斷每一種情況成立的可能性.這種解法在教材中有多次滲透，其核心思想就是利用分類討論來解決問題，發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.

解法4 （1）略.

（2）因為2+-2x+22=-x+2，

所以-x+2>-x>0.

因為-2x+2>-x+2，

所以-2x+2>-x>0.（下略）

評析 利用中點坐標(biāo)公式對A，B兩點橫坐標(biāo)的中點-x+2位置作出判斷，再觀察-x+2與-x的大小關(guān)系來尋找-x的位置.這種解法雖有“超綱”之嫌，但學(xué)生能利用數(shù)形結(jié)合的思想尋找點的位置，也實屬難能可貴.

3 教學(xué)啟示

3.1 函數(shù)圖象教學(xué)，注重數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，以形助數(shù)或以數(shù)思形，通過數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)與形的聯(lián)系，這是學(xué)習(xí)者最需要培養(yǎng)的一種素養(yǎng)[1].作為承載數(shù)形結(jié)合思想的函數(shù)圖象教學(xué)，在起步階段一定要“慢節(jié)奏、細(xì)作圖、多分析”，保護(hù)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.如在“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)中，至少要把握好三個環(huán)節(jié)：①讀式想圖，思考y=6x的圖象可能具備哪些性質(zhì)？你能大致畫出它的大致圖象嗎？②描點作圖，通過逐步改變點的位置，觀察圖象的趨勢變化使學(xué)生深刻認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性;③識圖析圖，結(jié)合已有的圖象分析，猜想函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而歸納出反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).只有經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗證等一系列數(shù)學(xué)活動過程，才能促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解和數(shù)形結(jié)合思想的體悟.

3.2 理性精神培養(yǎng)，依賴邏輯推理

數(shù)學(xué)的理性精神，就是用理性的思維方式去挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵、揭示問題實質(zhì)、辨別命題真?zhèn)?，而邏輯推理能力的發(fā)展是學(xué)生理性精神培養(yǎng)的主要途徑.邏輯推理包含推理能力和運算能力兩大核心概念，在所有的教學(xué)環(huán)節(jié)中都應(yīng)無處不在，時時滲透.如在錯解1，2中出現(xiàn)了用特殊代替一般來推理的情況，還有主觀認(rèn)為-x是負(fù)的現(xiàn)象，都是對推理的依據(jù)思考不足造成的.這就要求教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生對思考對象做出判定時應(yīng)有理有據(jù)， 合乎邏輯.

3.3 常規(guī)基礎(chǔ)問題，夯實通性通法

通性通法是學(xué)生解題的根本，是培育奇思妙解的沃土.在常規(guī)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)避免追求技巧的滲透和知識的過度補充.例如本題第（2）問的問題核心不過是-2x+2與-x的大小比較，而在各版本的教材中都涉及到了用求差法判斷對象的大小;又如在不等式的章節(jié)學(xué)習(xí)中，都有遇到以下的問題情境：某電信公司有甲、乙兩種手機(jī)收費業(yè)務(wù).甲種業(yè)務(wù)規(guī)定月租費10元，每通話1min收費0.3元;乙種業(yè)務(wù)不收月租費，但每通話1min收費0.4元.如何選擇更合算[2]？用分類討論的方法解決不等式大小比較問題.可見，只有在平時的教學(xué)實踐中將通性通法題練好、悟透，才能在不斷變換的情境中游刃有余.

3.4 變式訓(xùn)練拓展，關(guān)注思維成長

變式訓(xùn)練拓展是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一個重要組成部分，通過關(guān)注問題的本質(zhì)不斷改變情境，引導(dǎo)學(xué)生用類比、歸納等方法認(rèn)識變式，在問題解決和反思中認(rèn)識變與不變，尋找共性與差異.例如，本題的改編就是將一維數(shù)軸問題情境變換為二維函數(shù)情境，其本質(zhì)不變.當(dāng)然，還可以將反比例函數(shù)改為一次函數(shù)問題、二次函數(shù)問題等.如已知A，B是一次函數(shù)在第一象限圖象上的兩點，它們的位置如圖3所示，若點A的橫坐標(biāo)是-3m-2，點B的橫坐標(biāo)是4，求m的取值范圍.變式訓(xùn)練拓展的目的是為了發(fā)展學(xué)生的解題能力，從而促進(jìn)思維成長.在平時教學(xué)中教師要有意識地變式，甚至和學(xué)生一起變式，這對學(xué)生的思維成長大有裨益.

3.5 聯(lián)系相關(guān)知識，指向初高銜接

從中考命題趨勢來看，函數(shù)含參、對稱性、單調(diào)性、定點等問題都體現(xiàn)初高銜接.如何在函數(shù)教學(xué)中逐步滲透呢？首先，要以聯(lián)系和生長的眼光定位函數(shù)知識，將函數(shù)、方程、不等式作為一個整體來看待;其次，要加強(qiáng)函數(shù)案例的研究，尋找解題策略，如函數(shù)單調(diào)性、定義域、值域問題都與不等式緊密聯(lián)系，函數(shù)交點、定點問題與方程息息相關(guān);最后，積累函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生多經(jīng)歷“數(shù)——形——數(shù)”的反復(fù)探究過程，發(fā)展邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，凸顯函數(shù)的育人價值.

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀 [M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 趙敏，王永會.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八（下）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

（收稿日期：2019-08-01）