立足分式問(wèn)題尋找分式有意義的條件

薛雪林

[摘 ? 要]分式有意義的條件，是學(xué)生學(xué)習(xí)分式過(guò)程中最易忽視的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)分式的最大障礙.基于此，以學(xué)生分式意義理解中的常見(jiàn)誤區(qū)為切入點(diǎn)，探究各種分式問(wèn)題中分式有意義的條件，并引導(dǎo)學(xué)生掌握解決分式問(wèn)題的技巧和方法.

[關(guān)鍵詞]分式;有意義;條件

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2019）26-0024-02

分式有意義的條件是分母不能為零.分式問(wèn)題中都隱含分母不為零，即分式有意義的條件.為此，研究分式問(wèn)題時(shí)，挖掘、尋找分式有意義的條件，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.下列問(wèn)題中分式有意義的條件不可忽視.

一、分式有意義或無(wú)意義的問(wèn)題

使分式有意義的條件是分母不為0，若分式的分母為0則分式無(wú)意義.

[例1][x]為何值時(shí)，分式[x-4x2-16]有意義？

錯(cuò)解：[∵][x-4x2-16=x-4（x+4）（x-4）=1x+4]，

[∴]當(dāng)[1x+4]有意義時(shí)，[x+4]≠0，即[x]≠-4，

[∴]當(dāng)[x]≠-4時(shí)分式[x-4x2-16]有意義.

顯然當(dāng)[x]≠4時(shí)，分式[x-4x2-16]也有意義.

[例2][x]為何值時(shí)，分式[x-2x2-5x+6]無(wú)意義？

錯(cuò)解：[∵][x-2x2-5x+6]=[x-2（x-2）（x-3）]=[1（x-3）]，

[∴]當(dāng)分式[x-2x2-5x+6]無(wú)意義時(shí)， [x]-3=0，即[x]=3，

[∴]當(dāng)[x]=3時(shí)分式[x-2x2-5x+6]無(wú)意義.

顯然當(dāng)[x]=2時(shí)，分式[x-2x2-5x+6]也無(wú)意義.

上述兩例錯(cuò)解相同，都是先把原分式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分式，再根據(jù)最簡(jiǎn)分式求得原分式有意義或無(wú)意義的條件，從而都有漏解的現(xiàn)象.由于分式的分子和分母的公因式是否為0不確定，約去公因式時(shí)擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍.為此，確定分式有意義的條件或未知數(shù)的取值范圍時(shí)，不能先約簡(jiǎn)再確定，應(yīng)根據(jù)分母中所有因式確定.

二、分式的值為0的問(wèn)題

使分式的值為0的條件是分子為0，并且分母不為0，即分式有意義.

[例3]當(dāng)[x]為何值時(shí)，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0？

錯(cuò)解：若使分式的值為0，則[x2-4=0]，即[x=±2]，

[∴]當(dāng)[x=±2]時(shí)，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0.

顯然[x=2]時(shí)分式無(wú)意義，此解法忽視了分式有意義的條件.

正解：若分式[x2-4x2+5x-14]的值為0，則[x2-4=0]，即[x=±2]，而當(dāng)[x=2]時(shí)， [x2+5x-14=22+5×2-14=0]，

[∴]當(dāng)[x=-2]時(shí)，分式[x2-4x2+5x-14]的值為0.

三、分式的值大于0的問(wèn)題

分式的值大于0的條件是分子和分母同號(hào)，并且分母不為0，即分式要有意義.

[例4][x]為何值時(shí)，分式[x+2x2+2]的值大于0？

解： [∵]無(wú)論[x]為何值時(shí)， [x2+2>0]，

[∴]要使分式[x+2x2+2]的值大于0，則[x+2>0] ， 即[x>-2]，

[∴]當(dāng)[x>-2]時(shí)，分式[x+2x2+2]的值大于0 .

[例5][x]為何值時(shí)，分式[x-2x2-4]的值大于0？

錯(cuò)解：[∵]當(dāng)[x2-4≠0] ， 即[x≠±2]時(shí)， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，

[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，則[x+2>0]，即[x>-2]，

[∴]當(dāng)[x>-2]時(shí)，分式[x-2x2-4]的值大于0.

很明顯[x>-2]包含[x=2]，當(dāng)[x=2]時(shí)分式無(wú)意義.

正解：[∵]當(dāng)[x2-4≠0]， 即[x≠±2]時(shí)， [x-2x2-4=x-2（x-2）（x+2）] ，[∴]要使[x-2x2-4]的值大于0，則[x+2>0] ，即[x>-2]，

[∵][x>-2]包含2，若[x=2]則分式無(wú)意義.

[∴]當(dāng)[x>-2]且[x≠2]時(shí)，分式[x-2x2-4]的值大于0.

四、分式的值小于0的問(wèn)題

分式的值小于0的條件是分子和分母異號(hào)，并且分母不為0，即分式要有意義.

[例6][x]為何值時(shí)，分式[x-2x2+2]的值小于0？

解： [∵]無(wú)論[x]為何值時(shí)，[x2+2>0]，

[∴]要使分式[x-2x2+2]的值小于0，則 [x-2<0] ，即[x<2]，

[∴]當(dāng)[x<2]時(shí)，分式[x-2x2+2]的值小于0.

[例7][x]為何值時(shí)，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0？

錯(cuò)解：當(dāng)[x2-2x-3≠0]時(shí)， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，則 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∴]當(dāng)[x<3]時(shí)，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

顯然[x<3]包含[x=-1]，當(dāng)[x=-1]時(shí)，分式無(wú)意義，同時(shí)分子也為0.

正解： 當(dāng)[x2-2x-3≠0]時(shí)， [x+1x2-2x-3=x+1（x-3）（x+1）] ，

[∴]要使[x+1x2-2x-3]的值小于0，則 [x-3<0]，即 [x<3]，

[∵][x<3]包含[x=-1]，當(dāng)[x=-1]時(shí)，分式無(wú)意義且分子為 0.

[∴]當(dāng)[x<3]且[x≠-1]時(shí)，分式[x+1x2-2x-3]的值小于0.

五、選數(shù)求分式值的問(wèn)題

[例8]先化簡(jiǎn)[3xx+2-xx-2÷xx2-4] ，再給[x]選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

解：原式=[3x（x-2）-x（x+2）（x+2）（x-2）÷x（x-2）（x+2）]

=[2x（x-4）（x+2）（x-2）×（x-2）（x+2）x]

=[2x-8]

[∵]當(dāng)[x=2]時(shí)，分式[xx-2]和[xx2-4]無(wú)意義.

當(dāng)[x=-2]時(shí)， 分式[3xx+2]和[xx2-4]無(wú)意義.

當(dāng)[x=0]時(shí)，分式[（x-2）（x+2）x]無(wú)意義.

[∴][x≠±2]，0，即[x]可選[±2]和0以外的數(shù).

從而當(dāng)[x=4]時(shí)，原式=[2×4-8=0].（注：答案不唯一）

顯然選[±2]和0都會(huì)使原題中的分式或化簡(jiǎn)過(guò)程中的分式無(wú)意義.

選數(shù)求分式值的問(wèn)題，一般先化簡(jiǎn)再選數(shù)代入求值，但所選數(shù)必須使原題中的分式、化簡(jiǎn)過(guò)程中新出現(xiàn)的分式以及化簡(jiǎn)后的分式都有意義，否則所選數(shù)是不合適的.

六、分式基本性質(zhì)的理解問(wèn)題

分式基本性質(zhì)是：[AB=AMBM] ，[AB=A÷MB÷M] （A，B，M均為整式，且[M≠0]）.理解、掌握、應(yīng)用分式基本性質(zhì)的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件，分式基本性質(zhì)明確限制“A，B，M均為整式且[M≠0]”，一方面指分式的分子和分母以及所乘或除的式子都是整式，即在整式范圍內(nèi)的恒等變形（事實(shí)上隨著知識(shí)的擴(kuò)充，A，B，M還可以是任意代數(shù)式）;另一方面，因?yàn)閇AB]是分式，所以B是含有字母的整式，且[B≠0]，而A，M可以是含有字母的整式，也可以是不含字母的整式，而A，B，M中含有字母時(shí)，由于字母的取值范圍具有任意性，故整式A，B，M的值都有等于0的可能性.顯然當(dāng)[B=0]時(shí)，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]均無(wú)意義，所以性質(zhì)中隱含[B≠0]的條件;當(dāng)[M=0]時(shí)，分式[AMBM]和[A÷MB÷M]均無(wú)意義，所以性質(zhì)中限制[M≠0];而當(dāng)[A=0]或[A≠0]，且[B≠0]，[M≠0]時(shí)，分式[AB]，[AMBM]，[A÷MB÷M]都有意義.故性質(zhì)中明確限制[M≠0]，而[B≠0]隱含于分式[AB]中.

七、分式方程的問(wèn)題

分式方程的意義、解法和分式方程為什么要檢驗(yàn)以及怎樣檢驗(yàn)，都是在分式有意義的條件下進(jìn)行的.分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程，其解必須使方程中每個(gè)分式都有意義.一方面分式方程本身隱含分母不為0的條件，方程中的未知數(shù)必須滿足這一條件，若未知數(shù)使方程中某一分式的分母為0，則分式無(wú)意義，方程無(wú)解;另一方面，根據(jù)方程同解原理（或等式性質(zhì)2），分式方程化為整式方程時(shí)，由于兩邊所乘的整式（最簡(jiǎn)公分母）有可能為0，為此所得整式方程的解，有可能使分式方程中某一分式的分母為0，此時(shí)分式無(wú)意義，原分式方程無(wú)解.綜上所述，分式方程化為整式方程求解時(shí)，所得整式方程的解是否是原分式方程的解必須檢驗(yàn)：若整式方程的解使最簡(jiǎn)公分母不為0，則整式方程的解是原分式方程的解;否則，不是原分式方程的解.

[例9]解關(guān)于[x]的方程[mx-nx+1=0]（[m≠n]，[mn≠0]）.

解：[∵][x≠0] 且[x+1≠0]，[∴] 兩邊同乘以[x（x+1）]，得 [m（x+1）-nx=0]，即 [（m-n）x=-m]，[∵] [m≠n]，即[m-n≠0]，[∴] [x=-mm-n].

檢驗(yàn)：由于[x（x+1）≠0]，根據(jù)方程同解原理，[x=-mm-n]是原方程的解.另外，[x=-mm-n]是否是原方程的解，可進(jìn)一步驗(yàn)證：

當(dāng)[x=-mm-n]時(shí)， [x（x+1）] = [-mm-n] [-mm-n+1] =[-mm-n] [×][ -nm-n] = [mn（m-n）2≠0]（[m≠n]，[mn≠0]），

[∴][x=-mm-n]是原方程的解.

（責(zé)任編輯 黃春香）