處理函數(shù)最值問題的幾個基本視角

肖海

[摘 ? 要]函數(shù)最值問題歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點和難點，也是熱點問題.在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)以及函數(shù)的應(yīng)用中，出現(xiàn)頻率高，而且此類問題的處理過程涉及函數(shù)的大部分性質(zhì)的運用方法，具有較強的綜合性.教師可基于函數(shù)、不等式、數(shù)形結(jié)合、向量等視角處理函數(shù)最大值問題.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);最值問題;視角

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0018-02

中學(xué)數(shù)學(xué)中一般把涉及函數(shù)最大值和最小值的問題稱為最值問題.函數(shù)的最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它廣泛地應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)和函數(shù)應(yīng)用問題的處理過程中.最值問題的處理過程幾乎涉及了函數(shù)的所有基本性質(zhì)，綜合性強，難度大，是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個難點，同時也是學(xué)生能力的生長點，因此受到師生的高度關(guān)注.下面筆者以一道函數(shù)題為例談?wù)勌幚砗瘮?shù)最值問題的幾個基本視角.

【題目】求函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值.

一、函數(shù)視角

【方法1】導(dǎo)數(shù)法：函數(shù)[f（x）=12-3x+x]中只含有一個變量[x]，是關(guān)于[x]的函數(shù)，最常用的方法是導(dǎo)數(shù)法.

解：[fx=12-3x+x]的定義域是[0，4]，

當(dāng)[x∈0 ? ? ? ，4]時， [f ? ? ? ? ? ? ? ?′x=-324-x+12x=4-x-3x24x-x2]，由[f ′x=0]，得[x=1]，當(dāng)[x∈0，1]時，[f ′x>0]，函數(shù)[fx]單調(diào)遞增;當(dāng)[x∈1，4]時，[f ′x<0]，函數(shù)[fx]單調(diào)遞減，所以[fx]在區(qū)間[0，4]上有極大值[f1=4]，又因為[f0=23]，[f4=2]，故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值，是處理函數(shù)最值的通用方法.

【方法2】函數(shù)[f（x）=12-3x+x]關(guān)系式中含有根式，進(jìn)行有理化是很自然的思路.

解：令[u=x]，則[fx=12-3x+x]=[12-3u2+u0≤u≤2]，令[gu=12-3u2+u0≤u≤2]，當(dāng)[0≤u≤2]時， [g′u=-23u24-u2+1=4-u2-3u4-u2]，

若[g′u=0]，則[u=1]，當(dāng)[u∈0，1]時，[g′u>0]，函數(shù)[gu]單調(diào)遞增;當(dāng)[u∈1，2]時，[g′u<0]，函數(shù)[gu]單調(diào)遞減，所以[gu]在區(qū)間[0，2]上有極大值[g1=4]，又因為[g0=23]，[g4=2]，故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：這兩個方法沒有本質(zhì)的區(qū)別，但是兩種不同的思路.也可以令[v=4-t∈0，2]進(jìn)行代數(shù)換元求解，但其求解過程與此法相比，不夠簡潔.

【方法3】三角換元法.

解：令[x=4sin2θ]，則[f（x）=12-3x+x][=]

[23] [cosθ+2sinθ]，[θ∈0，π2]，

記[M=23cosθ+2sinθ=4sinθ+π3]，[θ∈0，π2]，[π3≤θ+π3≤5π6]，[12≤sinθ+π3≤1]，

所以[M=4sinθ+π3∈2，4]，當(dāng)且僅當(dāng)[θ=π6]，即[x=1]時，[M=4].故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：通過三角換元把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題來處理.

二、不等式視角

【方法4】函數(shù)[f（x）=12-3x+x=3·4-x+1?x]中每一部分都是乘積結(jié)構(gòu)，應(yīng)用基本不等式.

解：因為[3·4-x≤3+4-x2=7-x2]，[x≤1+x2]，

所以[f（x）=3·4-x+x≤7-x2+x2=4]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時，等號成立.故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：這種方法兩次應(yīng)用基本不等式時，等號成立的條件恰好相同，是巧合，是不等式等號成立的條件.

【方法5】用柯西不等式.

解：[f（x）=12-3x+x=3·4-x+1?x]，[x∈0，4 ， ][f2（x）=3·4-x+1?x2≤][32+12]·

[4-x2+x2=16]，當(dāng)且僅當(dāng)[4-x3=x]，即[x=1]時等號成立，所以[f（x）≤4]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時，等號成立.故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：柯西不等式是不等式中十分重要的工具，通過對關(guān)系式的合理變形，構(gòu)造出柯西不等式的形式，注意等號成立的條件.

三、數(shù)形結(jié)合視角

【方法6】注意到函數(shù)[f（x）=12-3x+x]中[4-x2+x2=4]是一個定值，可借助于換元把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為與圓（或圓弧）有關(guān)的問題，再運用數(shù)形結(jié)合的方法來處理.

解：令[u=4-x∈0，2 ，v=x∈0， ?2]，則[u2+v2=4u≥0，v≥0 ，M=3u+v ，]在直角坐標(biāo)系[uOv]中，點[Pu，v]既在圓弧上又在直線[v=-3u+M]上，如圖1所示，在圓弧與直線有交點的所有情形中，由[u2+v2=4u≥0，v≥0 ，M=3u+v ，]得：[（M-3u）2+u2=4]，化成[4u2-23u+M2-4=0]的判別式啄駐[Δ=12M2-16（4M2-4）≥0]，解得[M≤4]，所以只有直線與圓弧相切時直線在縱軸上的截距最大值為4.即[M=12-3t+t]的最大值為4.故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：這種方法通過觀察函數(shù)式的特征，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，借助幾何直觀中直線在縱軸上的截距的最大值，找到函數(shù)的最大值.也是分析函數(shù)問題的常規(guī)思路.也可以利用橢圓弧[u2+3v2=12u≥0，v≥0]與直線[v=-3u+M]的位置關(guān)系來處理.兩種方法沒有本質(zhì)區(qū)別.

四、向量視角

【方法7】向量中的不等關(guān)系[a?b≤ab]是建立和與積之間不等關(guān)系的基本工具.

解：令[a=3 ?， ?1 ? ， ?b=4-x，x]，則[a=2 ?， ?b=2]，

所以[f（x）=12-3x+x=a?b=abcos=4cos≤4]，當(dāng)且僅當(dāng)[=0]，即[a//b]時等號成立，此時[4-x3=x]，[x=1].故函數(shù)[f（x）=12-3x+x]的最大值為4.

點評：這種解法應(yīng)用向量數(shù)量積構(gòu)造了與函數(shù)一致的向量關(guān)系式，應(yīng)用向量數(shù)量積中固定的不等關(guān)系直接得到函數(shù)最值，是所有解法中最簡單的方法.

普遍聯(lián)系是事物之間存在的根本規(guī)律.上面一個問題的處理過程從函數(shù)視角到不等式視角、數(shù)形結(jié)合視角、向量視角，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與方法之間的合理遷移和融匯.根據(jù)問題已知條件和結(jié)論中提供的信息，透過問題的表象挖掘出它隱含的本質(zhì)和聯(lián)系，找到知識與方法在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，是分析問題和解決問題的根本方法，也是處理問題的核心要點.多種方法來自已有的知識與方法儲備，來自對問題已知條件和結(jié)論中信息的理解與認(rèn)識，也取決于知識與經(jīng)驗的積累.變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)典方法，在日常教學(xué)中也經(jīng)常使用這種方法，可有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（責(zé)任編輯 黃春香）