臺(tái)球桌上的秘密
——最短路徑問(wèn)題

文陳玲玲

【問(wèn)題情境】如圖，臺(tái)球桌上有一個(gè)白球、一個(gè)紅球，如何用球桿去擊白球，使其撞到AB邊反彈后再撞到紅球？

【思路解析】臺(tái)球桌上隱藏的秘密實(shí)際上是“光線反射”原理，在數(shù)學(xué)上反映的是“利用軸對(duì)稱(chēng)，求最短路徑”的本質(zhì)問(wèn)題。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型：如圖1，已知點(diǎn)M、N在AB的同側(cè)，在AB上找一點(diǎn)D，使得MD+ND的和最小。

圖1

這就需要我們利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，然后連接M′N(xiāo)，與AB的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，如圖2。

圖2

例 如圖3，點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小。

圖3

圖4

【思路解析】如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn)，與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小。

【變式訓(xùn)練】如圖5，點(diǎn)P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成四邊形，使四邊形周長(zhǎng)最小。

圖5

【思路解析】如圖6，作點(diǎn)Q關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，作點(diǎn)P關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn)，與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，此時(shí)，四邊形PQBC的周長(zhǎng)最小。

圖6

圖7

【拓展提升】如圖7，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM= ________。

【思路解析】如圖8，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，作A關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2，連接A1A2，與BC的交點(diǎn)為M，與DE的交點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最短。

圖8

由對(duì)稱(chēng)可知，∠BAM=∠A1，∠NAE=∠A2。

在△AA1A2中，∵∠A1AA2=120°，∴∠A1+∠A2=60°。

又∵∠AMN=∠BAM+∠A1=2∠A1，∠ANM=∠NAE+∠A2=2∠A2，

∴∠AMN+∠ANM=2∠A1+2∠A2=120°。

【拓展提升】如圖9，點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在射線ON上取一點(diǎn)B，使BA與點(diǎn)B到射線OM的距離之和最短。

圖9

圖10

【思路解析】

思路一：如圖10，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作OM的垂線段A1C，交射線ON于點(diǎn)B。

圖11

思路二：如圖11，作射線OM關(guān)于ON對(duì)稱(chēng)的射線OM1，過(guò)點(diǎn)A作射線OM1的垂線段AC，交射線ON于點(diǎn)B。