不同插值方法對GPS時間序列的影響分析

楊登科

(中國鐵路設(shè)計集團有限公司,天津 300142)

0 引 言

GPS時間序列中存在因突變和剔除粗差而引起的數(shù)據(jù)不連續(xù),而快速傅里葉變換(FFT)譜分析和小波分析等要求數(shù)據(jù)均勻采樣,因此在利用譜分析和小波分析對GPS時間序列進行分析時,需要對時間序列數(shù)據(jù)進行插值.

當(dāng)前,國內(nèi)外學(xué)者對不同插值方法對時間序列的影響進行了對比分析.如李靖[1]對比了最鄰近插值、三次多項式插值、三次樣條插值對GPS坐標時間序列的插值效果,并得出三次多項式插值效果最好的結(jié)論;田慧[2]利用拉格朗日、三次樣條和正交多項式擬合三種插值方法對缺失點進行插值,結(jié)果表明:拉格朗日和三次樣條插值方法適合缺失點較少的情況,而正交多項式可用于缺值點較多的情況;武艷強等[3]提出了多點三次樣條插值的方法,在一定條件下可以解決時間序列中較多數(shù)據(jù)的缺失問題;張恒璟等[4]采用正交多項式作最小二乘擬合插補缺值點,與三次樣條插值效果對比,并得出三次樣條插值當(dāng)缺失歷元較多時易發(fā)生扭曲,高次正交多項式擬合易發(fā)生擾動,一般二次或三次即可達到很好擬合效果的結(jié)論.由于缺乏對各種插值方法系統(tǒng)詳盡的對比分析,并欠缺對GPS坐標時間序列建模插值方法的研究,因此對GPS坐標時間序列建模插值及各種常用插值方法的插值效果及適用范圍進行研究極為必要.

本文的研究目的在于利用缺值不同的GPS時間序列,采用多種類的插值方法研究不同插值方法對GPS時間序列的影響,并就其插值效果進行分析,從而得出有意義的結(jié)論.

1 GPS數(shù)據(jù)介紹及數(shù)據(jù)分析

1.1 數(shù)據(jù)介紹

本文使用斯克里普斯軌道和永久陣列中心(SOPAC)提供的7個數(shù)據(jù)完整性較好的IGS基準站2001.0014-2005.9986的坐標時間序列,并按照缺值情況分為以下6種方案:

方案1:連續(xù)缺值1、2、3、4、5個,對應(yīng)缺值較少的情況；

方案2:連續(xù)缺值15個(半個月)；

方案3:連續(xù)缺值30個(一個月)；

方案4:連續(xù)缺值60個(兩個月)；

方案5:連續(xù)缺值90個(三個月)；

方案6:連續(xù)缺值180個(約半年).

各IGS基準站時間序列相關(guān)信息如表1所示.

1.2 插值方法介紹

選擇最鄰近插值、線性插值、三次多項式插值、三次樣條插值、拉格朗日插值和建模插值共6種插值方法對GPS時間序列進行插值,并就擬合效果進行對比分析.其中最鄰近插值、線性插值、三次多項式插值、三次樣條插值和拉格朗日插值方法均為較為常用的數(shù)據(jù)插補方法,這里就不再詳細論述其原理.現(xiàn)將建模插值方法進行簡要介紹.

通過對GPS時間序列建立如式(1)所示的參數(shù)模型[5],以達到插值的目的.

y(ti)=a+bti+csin(2πti)+dcos(2πti)+

H(ti-Thj)+vti,

(1)

式中:ti為GPS站點單日歷元,以年為單位;a為橫軸截距;b為線速度;c、d和e、f分別表示年周期和半年周期項的系數(shù);gi表示跳變振幅；Thj表示發(fā)生跳變的歷元;n為跳變個數(shù),H為Heaviside階梯函數(shù),在發(fā)生跳變前H值為0,跳變后H值為1;vti為觀測噪聲.

2 不同插值方法效果比較

利用1.1節(jié)中的6種方案和1.2節(jié)中的插值方法,對選取的7個IGS基準站坐標時間序列進行插值,將擬合值與真值進行對比,并取其差值的均方根(RMS)作為評判標準.

1)方案1

此方案針對缺值較少的情況(1～5個),各插值方法的插值效果如表2所示,限于篇幅,僅顯示N、U方向的擬合效果.

表2 方案1不同缺值情況下各插值方法的均方根mm

由表2可知,當(dāng)缺值較少時,最鄰近插值、線性插值、三次多項式插值和建模插值效果相當(dāng),但在N方向最鄰近插值效果較差,建模插值效果最好,U方向線性插值和三次多項式插值效果較好;三次樣條插值僅適用于缺值偏少的情況(如1,2,3,4),但插值效果并不理想;拉格朗日插值效果最差,其均方根在每個缺值階段均很大,且隨著缺值數(shù)量的增多而增大.

限于篇幅,此方案中僅列出BOR1站連續(xù)缺值5個點的插值結(jié)果圖,如圖1所示(因拉格朗日插值效果太差,未顯示).

圖1 連續(xù)缺值5個點插值結(jié)果圖

由圖1可知,當(dāng)缺值數(shù)量為5時,三次樣條插值方法擬合值偏離真值較遠,插值效果較差;其余插值方法擬合值均在真值附近,插值效果相當(dāng).

2)方案2～6

針對缺值較多的情況,缺值個數(shù)為15、30、60、90和180,對應(yīng)時間分別為半個月、一個月、兩個月、三個月及半年.不同缺值情況下各插值方法的均方根如表3所示.

表3 方案2～6不同缺值情況下各插值方法的均方根mm

缺值最鄰近NU線性NU三次多項式NU建模NU三次樣條NU拉格朗日NU151.46.91.35.71.46.21.25.64.219.1479411842 301.46.81.45.61.46.71.24.96.930.11078791034038 601.97.71.76.21.86.61.25.111.764.672548187166459768 901.99.21.48.81.99.71.35.521.2113.5213217401013780743799 1802.39.61.48.62.28.81.35.839.6213.914782444021913214512130662

由表3可知,當(dāng)缺值數(shù)據(jù)量逐步增大時,最鄰近插值、線性插值和三次多項式插值效果逐漸變差;在每個缺值階段,建模插值效果均最好;三次樣條插值和拉格朗日插值效果最差,且有隨著缺值數(shù)量增多均方根逐步增大的趨勢.

限于篇幅,此方案中僅列出BOR1站連續(xù)缺值180個點的插值結(jié)果圖,如圖2所示(因三次樣條和拉格朗日插值效果太差,未顯示).

圖2 連續(xù)缺值180個點插值結(jié)果圖

由圖2可知,當(dāng)缺值數(shù)量為180時,建模插值與真值最為接近,為最佳插值方法,其余方法插值效果較差,U方向尤為明顯.

3 結(jié)束語

隨著GPS的快速發(fā)展,怎樣從大量觀測數(shù)據(jù)中提取那些與地球物理現(xiàn)象有關(guān)的信息,已成為GPS時間序列研究的熱點問題,而譜分析和小波分析等卻需要對殘缺的時間序列數(shù)據(jù)進行插值,因此進行GPS時間序列的插值研究極為必要[15].本文通過對7個IGS基準站在不同缺值情況下的坐標時間序列進行插值分析,得出以下結(jié)論:三次樣條插值和拉格朗日插值效果較差,在每個缺值階段其均方根均較大,且有隨著缺值數(shù)量增多而增大的趨勢;最鄰近插值、線性插值和三次多項式插值僅適用于缺值較少的情況;建模插值在每個缺值階段的插值效果均較好,且隨著缺值數(shù)量的增加,這種優(yōu)勢更為明顯.