信息安全專業(yè)離散數(shù)學課程的教學探討

張艷群 汪楚嬌

摘要：信息安全是一門新興的交叉學科，其核心技術(shù)是密碼技術(shù)，而密碼技術(shù)的基礎是數(shù)學，離散數(shù)學是信息安全數(shù)學基礎和密碼學的先修課程。離散數(shù)學對信息安全專業(yè)課程體系具有重要作用，從專業(yè)培養(yǎng)的角度提出以離散數(shù)學為先導的專業(yè)課程教學體系。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學;信息安全專業(yè);信息安全數(shù)學基礎;密碼學

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）41-0179-02

中國礦業(yè)大學計算機學院信息安全專業(yè)成立于2004年，為國內(nèi)較早設立該專業(yè)的高校之一，授予工學學士學位，2012年設立碩士點，擁有計算機科學與技術(shù)一級學科博士點和博士后流動站。信息安全專業(yè)按照“厚基礎、寬口徑、重創(chuàng)新、高素質(zhì)”的原則，培養(yǎng)具有較強信息安全工程實踐能力，系統(tǒng)掌握信息安全的基本理論和關(guān)鍵技術(shù)，能夠從事各類信息安全的設備應用、產(chǎn)品研發(fā)、信息系統(tǒng)安全設計與分析、信息安全技術(shù)咨詢與評估服務、信息安全規(guī)劃管理等工作的高素質(zhì)人才。

一直以來，信息安全專業(yè)注重學生實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，而這兩種能力的培養(yǎng)除課外的社會實踐、認識實習和實驗環(huán)節(jié)外，在課堂教學環(huán)節(jié)中，教師在傳授創(chuàng)新思維的同時，也要將知識和技能傳授給學生并提高學生解決實際問題的能力。我校制定的2016版課程質(zhì)量標準制中，各個課程都非常重視實踐能力和創(chuàng)新能力，其中數(shù)學課程就發(fā)揮了至關(guān)重要的基礎作用，只有數(shù)學基礎扎實，后續(xù)專業(yè)課程的教學才能順利進行。

信息安全本科專業(yè)設置了高級語言程序設計、離散數(shù)學、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、計算機網(wǎng)絡、計算機組成原理、操作系統(tǒng)、信息安全數(shù)學基礎、密碼學、網(wǎng)絡安全、信息內(nèi)容安全、操作系統(tǒng)安全、軟件安全以及相應的系列實驗實踐課程。其中，離散數(shù)學是信息安全數(shù)學基礎的先修課程，信息安全數(shù)學基礎是密碼學的先修課程，即離散數(shù)學和信息安全數(shù)學基礎是信息安全專業(yè)的數(shù)學基礎。

一、信息安全專業(yè)中離散數(shù)學的特點

離散數(shù)學在第二學期開課，共48學時、3學分，線性代數(shù)為其先修課程。離散數(shù)學課程的主要內(nèi)容有四部分：集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、數(shù)理邏輯，其中集合論主要介紹集合的基本概念、關(guān)系的基本概念、關(guān)系的性質(zhì)、偏序關(guān)系、等價關(guān)系和容斥原理;代數(shù)系統(tǒng)主要介紹代數(shù)系統(tǒng)的基本概念、代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)、同構(gòu)和同態(tài)、半群和半群的基本性質(zhì)、群和群的基本性質(zhì)、子群、循環(huán)群和拉格朗日定理;圖論主要介紹圖的基本概念、通路回路和連通性、歐拉圖、哈密頓圖、圖的矩陣表示法、樹、平面圖、兩步圖;數(shù)理邏輯主要介紹命題邏輯和謂詞邏輯，重點是命題邏輯的基本蘊含式和推理規(guī)則以及謂詞邏輯推理。

信息安全數(shù)學基礎課程是信息安全專業(yè)的專業(yè)主干課程，其先修課程是離散數(shù)學。信息安全是一門新興的交叉學科，涉及通信學科、計算機學科、數(shù)學、物理、生物、法律和管理等多個學科，其核心技術(shù)是密碼技術(shù)。密碼技術(shù)的基礎是數(shù)學，主要是數(shù)論，代數(shù)和橢圓曲線等數(shù)學理論，其中的代數(shù)就對應離散數(shù)學的第二部分即代數(shù)系統(tǒng)。信息安全數(shù)學基礎以模運算為主，主要內(nèi)容均涉及代數(shù)理論和方法，主要是群、環(huán)、域及Calois理論。除信息安全專業(yè)對代數(shù)系統(tǒng)這部分的要求較高之外，計算機學院的其他專業(yè)后續(xù)課程均不涉及代數(shù)系統(tǒng)內(nèi)容。因此，離散數(shù)學的教學要針對性地介紹信息安全數(shù)學基礎課程涉及的一些基礎概念和重要定理。

二、調(diào)整離散數(shù)學教學內(nèi)容

信息安全專業(yè)的核心課程密碼學在第5學期下半學期開課，其先修課程信息安全數(shù)學基礎在第5學期上半學期開課，共48學時、3學分，該課程對抽象思維能力和邏輯推理能力要求特別高，在48學時內(nèi)要掌握整除、同余、一次同余式和高次同余式、二次同余式和平方剩余、原根與指標以及素性檢測六章內(nèi)容，學時非常緊張，這就要求學生提前熟練掌握離散數(shù)學特別是代數(shù)系統(tǒng)部分的內(nèi)容。結(jié)合信息安全專業(yè)對數(shù)學課程的要求，離散數(shù)學教學內(nèi)容作了如下調(diào)整：集合論、圖論和數(shù)理邏輯三部分內(nèi)容不變，代數(shù)系統(tǒng)在介紹基本概念的基礎上增加子群、群以及循環(huán)群的內(nèi)容，強調(diào)逆元、同態(tài)、同構(gòu)以及拉格朗日定理，有針對性地選擇和信息安全相對應的實例和素材，使離散數(shù)學的相關(guān)理論知識得以具體應用，使學生對離散數(shù)學知識點的應用有直觀認知。

三、實例教學，強調(diào)專業(yè)應用

在實際教學過程中，離散數(shù)學的理論性強、定義定理多以及方法性強等特點使課堂教學質(zhì)量一直不理想，如何吸引學生的注意力并激發(fā)學生的學習興趣是整個教學的關(guān)鍵問題。數(shù)學的理論體系源于實踐，數(shù)學的教學也要和實踐相結(jié)合，實例教學使理論學習應用實踐中，理論指導實踐，學生通過實踐可以更好地理解和應用理論，從而形成良性循環(huán)，提高學生分析問題和解決實際問題的能力。

實例一：在整數(shù)集I上定義模5同余關(guān)系R，R滿足自反、對稱、傳遞三個性質(zhì)，所以R是等價關(guān)系，等價關(guān)系對整數(shù)集進行劃分，得到5個等價類，即得到整數(shù)據(jù)I的5個互不相交的子集，記為[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，用Z5表示商集I/R，有

Z5={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}

在集合Z5上定義+5運算，證明（Z5，+5）是個周期為5的循環(huán)群。

證明思路：先列出（Z5，+5）的運算表。

從表1可以看出運算滿足的封閉性和結(jié)合律表，表中第一行和列頭元素對應相等，表中第一列和行頭元素對應相等，即[0]是（Z5，+5）的單位元，目前為止（Z5，+5）是一個單元半群，如果Z5中每個元素都有逆元且逆元屬于集合Z5，則（Z5，+5）滿足群的條件。

對于Z5中任意元素[x]求逆元，根據(jù)定義，其逆元[x]-1滿足[x]+5[x]-1=[0]，即[x]-1=[（5-x）mod 5]，因為（5-x）mod 5∈{0，1，2，3，4}，故[x]-1∈Z5，則（Z5，+5）是群。如果能在Z5中找出一個元素使得其他元素都由這個元素運算得到并且最大運算次數(shù)為5，則（Z5，+5）就是周期為5的循環(huán)群。

考慮到基本運算為加運算，所以很容易看出[1]為生成元，且：

[1]=[1]1

[2]=[1]2=[1]+5[1]

[3]=[1]3=[1]+5[1]+5[1]

[4]=[1]4=[1]+5[1]+5[1]+5[1]

[0]=[1]5=[1]+5[1]+5[1]+5[1]+5[1]

即（Z5，+5）是周期為5的循環(huán)群。

同理，（Zm，+m）是周期為m的循環(huán)群。

再根據(jù)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的定義，得出周期為m的循環(huán)群均同構(gòu)于剩余類加群（Zm，+m），周期無限的循環(huán)群均同構(gòu)于整數(shù)加群（I，+），至此對循環(huán)群的研究就歸結(jié)為對剩余類加群（Zm，+m）和整數(shù)加群（I，+）的研究。

后續(xù)課程信息安全數(shù)學基礎中由模m的原根g對應求模m的簡化剩余系這一問題就要求學生熟練掌握循環(huán)群的定義和相關(guān)應用，利用原根求解高次同余式為Elgamal密碼算法提供了對應的數(shù)學基礎。不僅如此，信息安全數(shù)學基礎中很多章節(jié)需要在模運算中求逆元，該知識點也屬于代數(shù)系統(tǒng)部分，在離散數(shù)學課堂教學中必須進行重點講解。

四、結(jié)論

離散數(shù)學不斷進行課程改革和建設，根據(jù)信息安全專業(yè)特色的實例教學將離散數(shù)學理論與后續(xù)課程知識點和專業(yè)實際相結(jié)合，注重方法論，加強了課程之間的聯(lián)系。較于傳統(tǒng)教學，實例教學能較大程度地提升學生的學習興趣，使其逐漸構(gòu)建理論與實踐的關(guān)系，真正使理論與實踐互相促進，使學生更好地掌握信息安全數(shù)學基礎知識，為后續(xù)的專業(yè)課程提供必要的數(shù)學工具和數(shù)學思想，奠定堅實的數(shù)學基礎，提高離散數(shù)學課堂的教學效果和教學質(zhì)量，從而達到教學目標。

參考文獻：

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[3]吳偉.淺析離散數(shù)學課程中的案例教學法[J].科技風.2018，（34）：42.