《圓率考真圖解》注記
——曾紀(jì)鴻有沒(méi)有計(jì)算出π的百位真值？

高紅成

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

《圓率考真圖解》一卷是研究圓周率的專(zhuān)著，首版(1874)收入《白芙堂算學(xué)叢書(shū)》，卷首題“湘鄉(xiāng)曾紀(jì)鴻(栗諴)、湘陰左潛(壬叟)、新化黃宗憲(玉屏)同述”[1]。1874年冬丁取忠(1810—1877)作序，稱(chēng)該書(shū)是“曾君栗諴所作也”，但又稱(chēng)：

曾君銳于思而勇于進(jìn)，創(chuàng)立新法，以月余之力，推得圓率百位，并周求徑率，亦以除法補(bǔ)至百位。而黃君玉屏又析圓率為半周、為象限、及度、分、秒、微、纖、忽、芒、塵，皆列為表，以備求八線之用。又與左君壬叟共為圖解，使學(xué)者循序可知其立法之源。洵可謂難能而可貴矣。

曾紀(jì)鴻(1848—1881)的跋文(1874秋)稱(chēng)：

果臣先生囑紀(jì)鴻等凝心構(gòu)思，幸得創(chuàng)茲巧法，斂級(jí)甚速，按等推求，瞭如指掌。邇?nèi)丈钣谒阏?，窮理之功多，演數(shù)之功少，反覺(jué)不切于日用。今左君壬叟、黃君玉屏竟用此術(shù)推得各弧背真數(shù)，至百位之多。庶幾息諸家之聚訟，而為古之困于圓率者，置一左券也。

可見(jiàn)，該書(shū)中的主要方法和創(chuàng)見(jiàn)是曾紀(jì)鴻提出的，左潛和黃宗憲參與了計(jì)算和證明。該書(shū)的核心內(nèi)容是，通過(guò)π/4(四十五度弧)的二分公式或五分公式結(jié)合反正切函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(格雷戈里級(jí)數(shù))計(jì)算出π的100位真值(1)這里的“百位真值”指的是整數(shù)位和小數(shù)點(diǎn)后99位共100位與π的真值前100位數(shù)字均相同。。全書(shū)大致分為五部分。(一)寫(xiě)作緣起；(二)差角正切公式的幾何證明；(三)計(jì)算π值的兩種算法；(四)給出π/4，π，1/π等13個(gè)數(shù)值的100位真值，每個(gè)數(shù)值均為102位(包括整數(shù)位)，前100位是真值；(五)依據(jù)二分公式，給出π/4的15位真值算草示例；依據(jù)五分公式，給出π/4的24位真值算草示例。

曾氏所給圓周率的百位真值在19世紀(jì)70年代雖說(shuō)不是最先進(jìn)的成果，但已屬難能可貴，在我國(guó)數(shù)學(xué)史上可謂是一個(gè)飛躍，之前最好的成果是1808年浙江秀水(現(xiàn)屬嘉興縣)的朱鴻計(jì)算到40位，但25位之后與真值不合。后世史家，如李儼[2]、湯淺光朝[3]、李迪[4]對(duì)曾氏的成果給予了肯定。不過(guò)，書(shū)中示例有些錯(cuò)誤，引發(fā)“曾紀(jì)鴻有沒(méi)有算出π的百位真值”的疑問(wèn)，給后學(xué)留下了繼續(xù)探索的方向。本文發(fā)現(xiàn)《圓率考真圖解》的一個(gè)新版本，對(duì)曾氏算法、數(shù)據(jù)的進(jìn)行數(shù)理分析，結(jié)合一些佐證史料和前人的研究，試圖消除疑問(wèn)，對(duì)曾氏成果和計(jì)算予以肯定。

1 曾氏算法與圓周率簡(jiǎn)析

1.1 曾氏求圓周率的兩種算法

按曾氏自述，他發(fā)現(xiàn)《代微積拾級(jí)》(1859)卷三第六款中“有大弧(α)正切、小弧(β)正切求較弧(α-β)正切”公式(即差角正切公式)

(1)

此式與反正切函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

(2)

結(jié)合就可以得到π/4的值，進(jìn)而可求得π值。

曾氏在書(shū)中給出了這個(gè)正切公式的幾何證明，并稱(chēng)式(1)為“自創(chuàng)”。他稱(chēng)式(2)為“徐君青術(shù)”，即徐有壬《測(cè)圓密率》卷二第六術(shù)，“君青”為徐氏的字。此式在歐洲稱(chēng)為格雷戈里級(jí)數(shù)，是英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷戈里(James Gregory，1638—1675)1671年首先發(fā)現(xiàn)的。

緊接著，曾紀(jì)鴻認(rèn)為，公式(1)(2)配合求π/4，因?yàn)?和3數(shù)值較小，計(jì)算時(shí)收斂速度較慢，他說(shuō)“右草取數(shù)較舊術(shù)為簡(jiǎn)，惟前草以四為除法，遇首位為四以上之?dāng)?shù)，必除二次始降一位，猶嫌斂級(jí)略遲?！庇谑撬坝滞频靡环?，將四十五度弧背分作五分求之，斂級(jí)更速?！?/p>

他先運(yùn)用差角正切公式得到π/4的五分公式

(3)

可以想見(jiàn)，在當(dāng)時(shí)通過(guò)人工筆算，百位真值的計(jì)算量會(huì)更大，耗時(shí)會(huì)更長(zhǎng)，曾紀(jì)鴻稱(chēng)三人“以月余之力”，才“推得圓率百位”。

1.2 曾氏所得到的圓周率百位真值

依據(jù)前文算法示例，曾氏“以百位為限”，求得“四十五度弧背(π/4)真數(shù)”為

依次乘以4，2，8后得到π(半周率)、π/2(象限弧)、2π(全周率)等3個(gè)數(shù)值，然后在這3個(gè)數(shù)值的基礎(chǔ)上得到其它9個(gè)數(shù)值：π/18(十度弧)、十分弧、十秒弧、十微弧、十纖弧、十忽弧、十芒弧、十塵弧、1/π(圓徑率)。最受關(guān)注的圓周率為

需要注意的是，這13個(gè)數(shù)值雖“以百位為限”，實(shí)有102位，“百位”指的是前100位為真值，最后兩位尾數(shù)原文用雙行夾注字號(hào)小寫(xiě)區(qū)別出來(lái)，意為誤差數(shù)字，我們姑且稱(chēng)它們?yōu)椤按嬉蓴?shù)字”。依據(jù)這個(gè)結(jié)果，曾氏指出朱鴻所求的40位π值第25位之后與真值不合。

2 錢(qián)老的校證與疑問(wèn)

錢(qián)寶琮先生(1892—1974)很早就對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中圓周率的計(jì)算進(jìn)行了研究，1923年他在《中國(guó)算書(shū)中之周率研究》一文中對(duì)曾氏的成果予以肯定[5]。但1927年錢(qián)老在南京拜訪前輩崔朝慶(1860—1943)時(shí)曾得崔氏的提醒，“曾氏推算周率，其二十四位細(xì)草已有疏桀，決不能準(zhǔn)至百位”，開(kāi)始對(duì)曾紀(jì)鴻是否計(jì)算出百位真值有了懷疑[6]。1939年錢(qián)老經(jīng)過(guò)仔細(xì)校對(duì)，發(fā)現(xiàn)《圓率考真圖解》白芙堂本中π/4的24位真值細(xì)草有4處錯(cuò)誤([6]，頁(yè)335)：

1964年，錢(qián)老主編《中國(guó)數(shù)學(xué)史》時(shí)引用前面的論述，并且比較兩種方法的計(jì)算量，指出法二不比法一高明，“π/4的二十四位數(shù)字是偶合”，“曾紀(jì)鴻有沒(méi)有算出π的一百位有效數(shù)字是可以懷疑的”[8]。錢(qián)老治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、質(zhì)疑謹(jǐn)慎可見(jiàn)一斑，校正了曾氏算草的錯(cuò)誤，同時(shí)也為后學(xué)留下繼續(xù)探討的問(wèn)題。

1982年，楊中和《π的歷史》一文注意到錢(qián)老的疑問(wèn)，惜“至今未見(jiàn)新的辯解文章”[7]。

1988年，許康先生在一篇紀(jì)念曾氏的文章中對(duì)錢(qián)老的疑問(wèn)進(jìn)行了回應(yīng)，他認(rèn)為“曾紀(jì)鴻這項(xiàng)成果的價(jià)值主要在于得到了新的公式(3)，而不在于是否實(shí)施了計(jì)算”，并猜測(cè)“書(shū)中幾處字誤，很可能是抄寫(xiě)或者刻書(shū)時(shí)產(chǎn)生的”[9]。但這些不能解決錢(qián)老的疑問(wèn)。實(shí)際上，曾氏是否實(shí)施了計(jì)算是這個(gè)疑問(wèn)的關(guān)鍵。

3 幾個(gè)發(fā)現(xiàn)

3.1 《圓率考真圖解》的一個(gè)新版本

實(shí)際上，π/4的24位真值細(xì)草還有一處錯(cuò)誤(v)，就是最后五個(gè)數(shù)值和(π/4)應(yīng)為0.78539 81633 97448 30961 56604，而不是兩個(gè)版本中的0.78539 81633 97448 30961 56600，但這個(gè)錯(cuò)誤不影響最后得到π的24位真值誤(尾數(shù)04或00乘以4后不涉及進(jìn)位)，所以24位真值得以“偶合”。

由此可見(jiàn)，白芙堂本中π/4的24位真值細(xì)草確有錯(cuò)誤，不過(guò)，與曾氏同時(shí)代的人能發(fā)現(xiàn)并校算出這些的錯(cuò)誤，白芙堂本的失誤很有可能是校對(duì)或者刊刻時(shí)造成的。

3.2 π/4、π/2、π、2π等四個(gè)數(shù)值的存疑數(shù)字以及算法分析

從1.1節(jié)對(duì)π/4的24位真值細(xì)草分析來(lái)看，曾氏實(shí)際上是把級(jí)數(shù)各項(xiàng)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后25位，然后求和取前24位為π/4的真值，最后兩個(gè)數(shù)字作為“存疑數(shù)字”。15位真值細(xì)草情況類(lèi)似，只不過(guò)取最后一位為存疑數(shù)字。π/4的計(jì)算很重要，是計(jì)算其它數(shù)值的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

書(shū)中雖沒(méi)有給出π/4的百位真值的細(xì)草，但我們注意到，曾氏給出102位的π/4、π/2、π、2π等4個(gè)數(shù)值的最后兩位存疑數(shù)字，依次是“99”“98”“97”“94”(如表1)。驗(yàn)算可知，99依次乘以2，4，8后，不能同時(shí)得到后面三個(gè)兩位存疑數(shù)字。曾氏所給的數(shù)據(jù)存在“玄機(jī)”，應(yīng)該是經(jīng)過(guò)優(yōu)化的。

表1 曾氏所給π/4、π/2、π、2π等4個(gè)數(shù)值的尾數(shù)

一般來(lái)說(shuō)，要保證一定的精度，將展開(kāi)式(2)中各項(xiàng)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后若干位，將最后幾位尾數(shù)作為存疑數(shù)字，其余數(shù)字作為真值的做法是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)算法。對(duì)于π/4的真值而言，式(1)是兩個(gè)數(shù)值和，留取最后一位作為存疑數(shù)字；式(3)是五個(gè)數(shù)值的和，留取最后兩位尾數(shù)作為存疑數(shù)字。但要乘以4后求π的真值，兩種方法則需留取最后3位尾數(shù)作為存疑數(shù)字。因此要得到π的百位真值，需將π/4最少計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后102位(共103位)。

進(jìn)一步分析可知，π/4最后的存疑尾數(shù)需是三位，而且只有是990—999十個(gè)數(shù)中的“993”時(shí)，依次乘以2，4，8后，末尾三位數(shù)依次是986，976，944，舍去最后一位，才能與所給π/2、π、2π的末尾兩位存疑數(shù)字同時(shí)相符。

表2 兩種算法所得π/4的尾數(shù)

3.3 曾氏所給π值實(shí)際上有101位真值

經(jīng)過(guò)比對(duì)，曾氏給出的102位π值(見(jiàn)1.2節(jié))實(shí)際上前101位與真值相符，以前的研究都未曾注意到這一點(diǎn)。因?yàn)橛?jì)算方法和誤差估計(jì)，他們自己認(rèn)為只是得到“百位真值”。如果有更好的結(jié)果作為參考，他可以說(shuō)得到“101位真值”。

3.4 黃宗憲的記載佐證

1876年黃宗憲隨郭嵩燾出使歐洲，1877年在倫敦一家博物館發(fā)現(xiàn)一本數(shù)學(xué)書(shū)上記載了π的158位真值，他說(shuō)

于博物館天算書(shū)中覓得圓率真數(shù)一百五十八位，即翻行篋，檢昔日與曾、左兩君所推得百位者校之，一一吻合，何快如之!不但能證舊刻無(wú)布算之訛，且從此確知圓率真數(shù)已成鐵案矣。謹(jǐn)錄一紙寄歸中華，想果師(指丁取忠)與栗兄(指曾紀(jì)鴻)見(jiàn)之當(dāng)亦欣喜。(4)此條史料李儼先生最先發(fā)現(xiàn)([2]，頁(yè)290)。湯淺光朝《解說(shuō)科學(xué)文化史年表》“中國(guó)近代科學(xué)史”錄有“1877年，左潛和曾紀(jì)鴻把圓周率計(jì)算到100位”([3]，頁(yè)238)?！?877年”應(yīng)該是黃宗憲的記載年代，記為《圓率考真圖解》首版年“1874年”更為確切。[11]

這條史料可以作為曾氏計(jì)算出百位圓周率真值的一個(gè)佐證。

4 結(jié)語(yǔ)

綜上，我們認(rèn)為曾紀(jì)鴻的確是計(jì)算出圓周率的百位真值，他在文中所給的值是由其發(fā)現(xiàn)的π/4五分公式(3)結(jié)合反正切函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式計(jì)算得到。5個(gè)級(jí)數(shù)各項(xiàng)均計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后102位，求和得到π/4的103位數(shù)值(包括整數(shù)位)，依次乘以2，4，8之后得到π/2、π、2π的數(shù)值，取前100位作為各量的真值，最后一位舍去，剩余2位數(shù)作為存疑數(shù)字，雙行夾注字號(hào)書(shū)寫(xiě)區(qū)別。曾氏所給π值實(shí)際上有101位真值，式(3)是一個(gè)梅欽類(lèi)公式。

致 謝感謝王彩華副教授、趙志學(xué)博士、碩士研究生張靜同學(xué)等幾位同事幫助分析數(shù)據(jù)。