薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的有限梁段分析

羅文權(quán)，藺鵬臻

（1.蘭州交通大學(xué)甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070）

箱形薄壁梁在對(duì)稱荷載作用下，法向應(yīng)力沿橫截面的分布是不均勻的，對(duì)于閉口截面，稱之為剪力滯效應(yīng)［1］。對(duì)于剪力滯的計(jì)算，國(guó)內(nèi)外的分析方法有能量變分法、比擬桿法、有限條法和板殼有限元法。能量變分法中，剪滯翹曲位移函數(shù)的選取是關(guān)鍵，Reissner［2］假設(shè)翼板剪滯翹曲位移函數(shù)為二次拋物線，在橫截面上引入一個(gè)翼板剪切變形最大差φ，從而建立了矩形雙軸對(duì)稱箱梁剪力滯效應(yīng)的變分解。Luo［3］選取能量變分法導(dǎo)出控制微分方程的齊次解作為梁段單元的有限元位移模式，在變分原理的基礎(chǔ)上提出分析箱梁剪力滯效應(yīng)的有限梁段法。吳幼明等［4］針對(duì)單室箱梁，通過(guò)在橫截面分別引入頂板、懸臂板、底板3 個(gè)不同的剪滯翹曲位移函數(shù)來(lái)分析剪力滯效應(yīng)。Zhou［5］通過(guò)定義每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)剪力滯自由度的有限元法來(lái)分析剪力滯效應(yīng)，并進(jìn)一步分析預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的剪力滯效應(yīng)，周朋等［6］在此基礎(chǔ)上研究了不同荷載形式下箱梁的剪力滯效應(yīng)。張?jiān)５龋?］選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為廣義位移，在定義新剪力滯廣義力矩［8］的基礎(chǔ)上，將剪力滯變形作為獨(dú)立的變形狀態(tài)進(jìn)行有限元分析。

本文在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上選取基于翼板剪切變形規(guī)律而定義的翹曲位移函數(shù)，將其控制微分方程的齊次解作為梁段單元的有限元位移模式，再根據(jù)變分原理導(dǎo)出薄壁箱梁的單元?jiǎng)偠染仃嚭秃奢d矩陣，從而得到考慮剪力滯效應(yīng)的薄壁箱梁的撓度和應(yīng)力。

1 基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)

在豎向荷載作用下，假定薄壁箱梁（見(jiàn)圖1）的腹板仍符合梁的平截面假定，不考慮腹板的剪切變形；上下翼板、腹板的豎向纖維擠壓變形、板平面外的剪切變形及橫向應(yīng)變均很小，可以忽略。

圖1 薄壁箱梁（半截面）

定義ω(x)為截面上任一點(diǎn)(x，y，z)的豎向撓曲位移，θ(x)為相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，u(x，y，z)為縱向位移函數(shù)，φ(x)為翼板剪切變形最大差，f(y，z)為截面的剪滯翹曲位移函數(shù)。線位移以圖1 坐標(biāo)方向?yàn)檎?，轉(zhuǎn)角以順時(shí)針為正向。橫截面的縱向位移可表示為

基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)［9］

式中：ξ2=S2/S1，即懸臂板和內(nèi)側(cè)頂板面積之比；ξ3=Zx Ax/(ZsAs)，Ax為下翼板面積，As為上翼板（內(nèi)側(cè)頂板加懸臂板）的面積。

2 梁段單元的位移模式

引入豎向彎曲慣性矩I、全部翼板的剪滯翹曲慣性矩Iu、全部翼板的剪滯翹曲慣性積Iyu和全部翼板的剪滯翹曲面積Au等廣義截面特性［10］后，基于能量變分法，得到ω(x)，φ(x)關(guān)于薄壁箱梁梁段剪滯基本微分方程的齊次解為

考慮薄壁箱梁剪力滯影響的梁段單元（見(jiàn)圖2）的節(jié)點(diǎn)位移向量可表示為

當(dāng)x= 0時(shí)，ω(0)=ωi，θ(0)=θi，φ(0)=φi；當(dāng)x=l時(shí)，ω(l)=ωj，θ(l)=θj，φ(l)=φj。因此，式（3）和式（4）可分別表示為

式中：［N］和［S］均為形函數(shù)，［N］=［N1N2N3N4N5N6］，［S］=［S1S2S3S4S5S6］。

圖2 梁段單元

3 梁段單元?jiǎng)偠染仃嚭秃奢d列陣

根據(jù)截面任一點(diǎn)的縱向位移，得到截面的彈性應(yīng)變?yōu)?/p>

梁段單元的應(yīng)變能可表示為對(duì)梁段體積的積分

將式（6）和式（7）代入式（9）可得

由最小勢(shì)能原理，通過(guò)變分得到

單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

其中，i，j= 1，2，3，4，5，6。

荷載列陣為

由式（8）按胡克定律得梁段的應(yīng)力公式為

剪力滯系數(shù)定義為

4 算例對(duì)比

以文獻(xiàn)［1］中的箱梁截面為例，截面尺寸見(jiàn)圖3。彈性模量31 GPa，泊松比為1/6。不計(jì)自重的情況下，分別在跨中作用1 000 kN的集中荷載和滿跨1 000 kN/m的均布荷載。

圖3 箱梁尺寸（半截面）（單位：m）

4.1 等截面簡(jiǎn)支箱梁

通過(guò)MATLAB 編程求得簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的撓度，并將計(jì)算結(jié)果與初等梁解及文獻(xiàn)［11］解對(duì)比，見(jiàn)圖4（a）。改變荷載矩陣，計(jì)算得到集中荷載下簡(jiǎn)支梁沿梁縱向的撓度，見(jiàn)圖4（b）。

圖4 簡(jiǎn)支梁縱向撓度對(duì)比

由圖4 可知：本文解與文獻(xiàn)［11］幾乎完全一致。與初等梁解相比，本文考慮了剪力滯的影響，2種荷載作用下計(jì)算的撓度在跨中分別增大了7.49% 和8.60%。

按式（16）計(jì)算得到跨中截面縱向應(yīng)力。采用ANSYS 有限元軟件建立板殼模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與文獻(xiàn)［12］解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表1。同理可得集中荷載作用下的應(yīng)力，見(jiàn)表2。

由表1 和表2 可知：本文解與文獻(xiàn)［12］解幾乎完全一致，并且與ANSYS 有限元數(shù)值解吻合良好，均布荷載下跨中截面上翼板和下翼板的剪力滯系數(shù)最大值分別為1.071 1 和1.075 3；集中荷載下的剪力滯系數(shù)最大值則均為1.260 6。

4.2 等截面懸臂箱梁

通過(guò)MATLAB 編程求解與簡(jiǎn)支梁相同截面形式的懸臂梁作用均布荷載時(shí)的撓度，并與初等梁解及文獻(xiàn)［11］解進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖5。

表1 均布荷載下跨中截面縱向應(yīng)力

表2 集中荷載下跨中截面縱向應(yīng)力

圖5 均布荷載下懸臂梁縱向撓度

按式（17）可計(jì)算全跨頂板在y= 0 和y=b1處的剪力滯系數(shù)，并與文獻(xiàn)［12］解對(duì)比，見(jiàn)圖6。

圖6 均布荷載下懸臂梁頂板剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

由圖5 和圖6 可知：懸臂梁作用均布荷載時(shí)，本文解與文獻(xiàn)［11］幾乎完全一致；與初等梁解相比，本文計(jì)算的撓度在自由端增大了3.11%；本文計(jì)算的沿梁縱向剪力滯系數(shù)與文獻(xiàn)［12］解幾乎完全一致，其中在固定端截面頂板y=b1處剪力滯系數(shù)為1.241 9。

5 結(jié)論

1）薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)是由翼板剪切變形而引起的，根據(jù)這一基本機(jī)理定義的翹曲位移函數(shù)更符合實(shí)際。

2）與初等梁解相比，在均布荷載和集中荷載作用下，考慮剪力滯效應(yīng)后簡(jiǎn)支梁的撓度在跨中分別增大了7.49%和8.60%；在均布荷載作用下，懸臂梁在自由端撓度則增大了3.11%。

3）在均布荷載下簡(jiǎn)支梁上翼板和下翼板最大剪力滯系數(shù)分別為1.071 1 和1.075 3；集中荷載下則均為1.260 6；均布荷載下懸臂梁固定端截面處剪力滯系數(shù)為1.241 9?？芍?，剪力滯效應(yīng)對(duì)薄壁箱梁截面縱向應(yīng)力影響較大，在設(shè)計(jì)與施工時(shí)應(yīng)加以重視。