分數(shù)階黏性方程MHD流的數(shù)值方法

張 俊

(貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

MHD方程是等離子體流體動力學(xué)理論的重要方程組，它能描述電磁流體狀態(tài)參量隨時間演化的過程[1-3]，它的基本方程由流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程和電磁學(xué)中的Maxwell方程組成.Khan等[4]在研究不穩(wěn)定的不可壓MHD流時，得到了

其中,V是流速場，T是柯西力張量，ρ是流體密度，J是電流密度,B是總磁場.

Rivlin等[5]、Siddiqui等[6]、Palade等[7]和Rossihin等[8]對于T的不同定義，同時考慮到二階流體滿足的不同條件和，得到了一個含有黏性項的磁流體方程

這里η>0是無綱量的黏性參數(shù),μ是跟磁場、密度有關(guān)的正參數(shù).

由于方程解的復(fù)雜性，一般情況下很難求出其解析解,只能求其數(shù)值解，因此研究磁體流方程高效數(shù)值方程顯得尤其重要.對于不含分數(shù)階黏性項的MHD方程，已經(jīng)有了大量的研究結(jié)果，如WENO有限差分格式、高階G-K格式和四步龍格-庫塔法等.對于上述含分數(shù)階項的MHD方程，文獻[9]分析了方程的準確解，但仍然缺乏高效數(shù)值方法.受文獻[10]的啟發(fā)，準備用差分法來離散分數(shù)階項，提出一種高效的數(shù)值方法來處理黏性MHD方程.

本文構(gòu)造了一種求解MHD型黏性分數(shù)階方程的數(shù)值格式，所提的格式在時間方向差分，空間方向用Legendre-Galerkin譜方法，分析了格式在時間方向的穩(wěn)定性，并得到了格式的整體誤差估計O(Δt2-β+N1-m)，數(shù)值實驗驗證了理論證明.

1 黏性MHD型分數(shù)階方程

這里考慮如下的MHD分數(shù)階方程

(1)

和初值條件

(2)

以及邊界條件

u(-L,t)=u(L,t)=0,t∈(0,T],

(3)

2 時間有限差分方案與穩(wěn)定性分析

用有限差分方案離散分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，類似于Lin等[10]對分數(shù)階項的處理，有如下的等式成立：

cDβt?2xu(x,tn+1)=

[(j+1)1-β-j1-β]+rn+1=

其中

aj=(j+1)1-β-jβ,

對于第一步,考慮如下格式

(4)

當n≥1,考慮如下格式

an?2xu0)=0,

(5)

其中

定理 2.1時間離散格式(4)和(5)滿足下列估計式，即

(6)

(7)

其中

(6)式得證.

由Cauchy-Schwarz不等式可得

丟掉一些正項有

注意

因此有

所以

E(un+1)≤E(u1)+

定理得證.

3 空間Lagrange-Galerkin譜離散

這里將構(gòu)造(4)和(5)式空間譜離散方案，考慮到該問題的邊界條件，因此將用Lagrange-Galerkin譜方法對空間進行離散，定義N次多項式空間ΡN(Λ)，讓

由文獻[11]可知下面的誤差估計式成立：

‖u-πNu‖0≤N-m‖u‖m,

?u∈Hm(Λ),m>0,

?u∈Hm(Λ),m>0,k=0,1.

(8)

對于第一步：

(10)

其中

lj(x)是拉格朗日插值多項式.

由Taylor展開式可知

(11)

再定義誤差函數(shù)

enN=u(tn)-unN.

E(enN)≤c(Δt2-β+N1-m),

k=0,1,2,…,M.

(12)

丟掉一些正項，由Young不等式可知

兩邊分別對n=1,2,…,k求和，注意到(8)和(11)式有

同樣的方法，易知

由離散的Gronwall引理得

即可得(12)式.

4 數(shù)值結(jié)果

下面驗證數(shù)值算法的有效性.為了得到剛度陣和質(zhì)量陣，將

因很難得到方程的解析解，用數(shù)值方法計算其收斂階，定義

5 結(jié)束語

提出了一種求解黏性分數(shù)階MHD方程的數(shù)值格式，分析了數(shù)值格式的穩(wěn)定性，得到了格式的誤差估計，數(shù)值結(jié)果驗證了格式在時間方向的收斂階是2-β階.

表1 不同參數(shù)下的時間收斂階